【正文】 果也正確。） 解：???????????522011113221111),( bA ? ?? r ?????????????000003111052201 3 分 7 ??? ??? ??? 0 022432431 xxx xxx 基礎解系為 ????????????????01121? ，????????????????10122? 6分 ??? ???? ??? 3522432431 xxx xxx 令 043 ??xx ，得一特解：????????????????0035? 7 分 故原方程組的通解為： ?????????????? ???????????????? ????????????????????101201120035212211 kkkk ??? ，其中 Rkk ?21, 9 分（此題結(jié)果表示不唯一，只要正確可以給分。） 解：特征方程 21 1 04 3 0 ( 2) ( 1 )1 0 2AE?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? 從而1 2 32, 1? ? ?? ? ? (4 分 ) 當 1 2?? 時，由 ( 2 ) 0A E X??得基礎解系 1 (0,0,1)T? ? ，即對應于 1 2??的全部特征向量為 11k? 1( 0)k? (7分 ) 當 231????時，由 ( ) 0A E X??得基礎解系 2 ( 1, 2,1)T? ? ? ? ，即對應于 231????的全部特征向量為 22k? 2( 0)k ? 四、證明題 （本題總計 10 分） 證： 由 12, nr? ? ? ? 為對應齊次線性方程組 0?AX 的基礎解系，則 12, nr? ? ? ? 線性無關。 (3 分 ) 反證法：設 12,nr? ? ? ?? 線性相關，則 ?可由 12, nr? ? ? ?線性表示，即： rr????? ??? ?11 (6 分 ) 8 因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故 ? 必是 0?AX 的解。這與已知條件 ? 為bAX? ? ?0?b 的一個解相矛盾。 (9 分 ). 有上可知 ，12,nr? ? ? ?? 線性無關。 (10 分 ) (試卷二 ) 一、填空題 （本題總計 20 分，每小題 2 分） 1. 排列 6573412 的逆序數(shù)是 ． ()fx? 2 1 112xx x xx??? 中 3x 的系數(shù)是 ． 3．設三階方陣 A 的行列式 3A? ,則 *1()A? = A/3 ． 4． n 元齊次線性方程組 AX=0 有非零解的充要條件是 ． 5 ．設向量 (1, 2, 1)T?? ? ?， ? =???????????22? 正交，則?? ． 6．三階方陣 A 的特征值為 1， 1? ， 2，則A＝ ． 7. 設 1 1 2 10 2 10 0 3A ????????????，則 _________A? ? . 8. 設 A 為 86? 的矩陣，已知它的秩為 4，則以 9 A 為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為 _____________． 9 ．設 A 為 n 階方陣，且 A＝ 2 則1*1()3 AA?? ? ? ． 10 ． 已 知 2 0 0223 1 1Ax????????相 似 于 1 2By????????，則?x ， ?y ． 二、選擇題 （本題總計 10 分，每小題 2 分） 1. 設 n 階矩陣 A 的行列式等于 D ，則 A－ 5 等于 ． (A) ( 5)nD? (B)5D (C) 5D (D) 1( 5)n D?? 2. n 階方陣 A 與對角矩陣相似的充分必要條件是 . (A) 矩陣 A 有 n 個線性無關的特征向量 (B) 矩陣 A 有 n 個特征值 (C) 矩陣 A 的行列式 0A? (D) 矩陣 A 的特征方程沒有重根 3． A 為 mn? 矩陣，則非齊次線性方程組 AX b? 有唯一解的充要條件是 ． 10 (A) ( , )R Ab m? (B) ()RA m? (C) ( ) ( , )R A R A b n?? (D) ( ) ( , )R A R A b n?? A 能由向量組 B 線性表示，則( ) (A)． )()( ARBR ? (B)． )()( ARBR ? (C)． )()( ARBR ? (D)． )()( ARBR ? 5. 向量組 12, , , s? ? ? 線性相關且秩為 r，則 ． (A)rs? (B) rs? (C) rs? (D) sr? 三、計算題 （本題總計 60 分，每小題 10 分） 1. 計算 n階行列式 : 22221??D 22222? 22322? ?????? 21222?n? n2222? . 2． 已知矩陣方程 AX A X?? ，求矩陣 X ,其中 11 2 2 02 1 30 1 0A???????. 3. 設 n 階方陣 A 滿足 0422 ??? EAA ,證明 3AE? 可逆，并求 1( 3 )AE?? . 4． 求下列非齊次線性方程組的通解及所對應的齊次線性方程組的基礎解系 : 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 4232 3 8 83 2 9 52 3 4x x x xx x x xx x x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 5． 求下列向量組的秩和一個最大無關組 ,并將其余向量用最大無關組線性表示 ． 1 2 3 42 1 2 34 , 1 , 3 , 5 .2 0 1 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 6 ． 已 知 二 次 型 ：323121232221321 844552),( xxxxxxxxxxxxf ??????， 用正交變換化 ),( 321 xxxf 為標準形，并求出其正交變換矩陣 Q． 四、證明題 （本題總計 10 分，每小題 10 分） 設 11ba? , 2 1 2b a a?? , , 12rrb a a a? ? ? ?, 且向量 12 組 raaa , 21 ? 線性無關，證明向量組 rbbb , 21 ? 線性無關 . (答案二 ) 一、填空題 （本題總計 20 分，每小題 2 分） 1. 17 2. 2 3． 13A 4． ()RA n? 5． 2??? 6． 27． 116A? 或1 2 110 2 160 0 3??????????8． 2 21n）（－ 2,0 ??? yx 二、選擇題 （本題總計 10 分，每小題 2 分） 1. A 2. A 5. B 三、計算題 （本題總計 60 分， 每小題 10 分 ） 解： D ),4,3(2 nirri ???00021? 00022? 00122? ?????? 03022?n? 20022?n? 4 分 12 2rr? 00001? 00022?? 00122?? ?????? 03022??n? 20022??n? 7 分 )!2(2)2()3(21)2(1 ????????????? nnn? 10 分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。） 2． 求解 AX A X??，其中 13 2 2 02 1 30 1 0A??????? 解：由 AX A X??得 ? ? 1X A E A??? (3分 ) ? ? 1 2 0 2 2 0, 2 0