【正文】 （ 311） 寫為張量形式為 或 （ 312） ),(),(321321nnnnpppp??n333223113333222211223312211111nnnpnnnpnnnp??????????????????????????????333231232221131211??????????? ijij?ij?ij???? npjjii np ?? 于是動量方程式可寫為： 此即為拉格朗日型積分形式的動量方程。右側(cè)第一項(xiàng)為體積力，第二項(xiàng)為面積力。由雷諾第二輸運(yùn)方程，此式改為： 即歐拉型積分形式的動量方程。此時(shí)也可寫為 : 由高斯公式，右側(cè)第二項(xiàng)的面積分寫為體積分的形式： 由于 V(t)是任取的一個(gè)控制體體積，可得微分形式的歐拉型動量方程為： （ 313） 向量形式為： （ 314） ???????? ?? )()()( tStVtV dSpdVfdVudtd ?????????? ??? )()()( tStVtV dSndVfdVdt ud ??????????? ?? )()()( tS jijtV itV i dSndVfdVdtdu ???????????? ???? )()()( tV jjitV itV i dVxdVfdVdtdu ???jjiii xfdtdu???? ?????? ???? fdtud36 能量方程 能量方程是能量守恒原理在流體運(yùn)動中的表現(xiàn)形式。令 e代表單位質(zhì)量流體所具內(nèi)能， 則為單位體積流體所具內(nèi)能。 代表單位體積動能，從而單位體積流體所包含的總能量 。能量守恒原理可表示為： 單位時(shí)間內(nèi)外力作功為： 由高斯公式，表面力作功可寫為積分形式： 式中 I=1,2,3,j=1,2,3。 單位時(shí)間內(nèi)傳入系統(tǒng)的熱量為： e?22121 uuu ?? ??221 ueE ?? ??? ??? ???????? ?? 由外界傳入系統(tǒng)的能量外力對系統(tǒng)做功dVuuedtd tV )( 21?dSundVuf tStV ???? ????? )()( )( ??dVuxdSundSun ijitVjijitS jtS)()( )()()( ??? ??????? ? ????? （ 1） ， Q表示由輻射或化學(xué)能釋放等因素而產(chǎn)生的系統(tǒng)內(nèi)單位體積流體熱量的增量。 （ 2） ， q為熱通量向量，負(fù)號表示熱的流通與外法線方向 相反，即熱量進(jìn)入系統(tǒng)。 應(yīng)用雷諾第二輸運(yùn)方程即得歐拉型能量方程的積分形式： （ 315） 能量方程的微分形式為： （ 316） 向量形式為： （ 317） ???? )(tV QdVdSnqtS ?? ?? )(ndVqxdSnq tV iitS ????? ????)()(?? ? ????? ??? )( ])([tV iijijii dVxqQuxuf ??dVuuedtddVuuedtd iitVtV ii ?????? ???????? ? ????? 2121 )()( ??jijijijjiiiiii xqQxuxuufdtduudtde ???????????? ?????qQupdt ed ????????? ??37 納維 斯托克斯方程 微分形式的動量方程為： （ 318） 當(dāng)容積粘度 。由牛頓流體本構(gòu)方程式得到： （ 319） 將（ 319）代入（ 313 ）式得： （ 320） 此即牛頓流體的運(yùn)動方程，稱為納維 斯托克斯方程，簡稱 NS方程。這一方程于 1821年由法國力學(xué)家納維提出，1845年英國力學(xué)家斯托克斯完成最終的型式。 jjiii xfdtdu ???? ?????? 32,0 ???vijijij eup ???? 2)32( ??????)]([)32(ijjijiii xuxuxupxfdtdu ?????? ????????? ???? 當(dāng) 為常數(shù)時(shí) （ 321） 對于不可壓縮流動， ，則 （ 322） 對于不可壓縮的理想流體， ，則 為歐拉方程 （ 323） )()(32 2 uxxx uuxxpfdtduijjiiiii ??? ???? ????? ?????? ?????)](31[ 2 uxxx uxpfijjiii??????? ?????? ???0??? uupfdt udxx uxpfdtdujjiiii22 ?????????????? ?????? 或0,0 ???? ?upfdyud ???? ??38 納維 斯托克斯方程的邊界條件和初始條件 331邊界條件 在連續(xù)介質(zhì)假定下，由試驗(yàn)所確定的粘性流動的邊界條件為：在流體與固體的交界面處流體與固體無相對滑移。當(dāng)然從分子的尺度看滑移是可能的，但這種滑移只限于其厚度只有一個(gè)分子平均自由程量級的薄層內(nèi)。 1 固定邊界處 如果固定邊界的速度為 U,則流動的邊界條件為： u=U （ 324） 在無窮遠(yuǎn)處，流場應(yīng)與未擾動流體的狀態(tài)相銜接，如未擾動流體為靜止?fàn)顟B(tài)，則當(dāng) 時(shí)，考慮熱效應(yīng)，則一般邊界條件為：在邊界處，溫度 T為常數(shù)或邊界溫度梯度 為常數(shù)， n為邊界外法線方向。 0, ??? uxnT??2 兩種液體的分界面 在分界面兩側(cè)其速度 ,壓強(qiáng)與溫度均相等，即 （ 325） 摩擦力和通過分界面的熱傳導(dǎo)量也相等，即 （ 326） （ 327） 式中 K1 K2 分別為兩種液體的導(dǎo)熱系數(shù)。 3液體和氣體的分界面 最常見的為液體與大氣的分界面，稱為自由水面。 其邊界條件為： 212121 , TTppuu ???22112211)()()()(nTKnTKqnunu?????????????? ??? (1) 運(yùn)動學(xué)條件 位于自由水面上的流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)位于自由水面，所以： 即 （ 328） 式中 表示自由水面的高度。 可以看出自由水面上的流體質(zhì)點(diǎn) 在平均自由面的垂直方向上的速度等 于自有水面的垂直波動速度。在水面 波為微幅波的假設(shè)下， 與 均很小， 因此忽略上式最后兩項(xiàng)可得到： （ 329） 0),()( 22112133 ????????????dtdxxdtdxxtxxuxdtd ?????txxtxxtxxu ????????????? 2211213),( ????),( 213 txxx ??1x??? 2x???txxu ??? ?? ),( 213氣體 液體 平均自由面 η =η （ x1,x2,t） x1 x3 x2 （ 2）動力學(xué)條件 動力學(xué)邊界條件是在兩種流體的交界面處： ①法向應(yīng)力連續(xù) ②兩個(gè)方向的切向應(yīng)力連續(xù) 對于氣體和液體的交界面 — 自由水面，則切應(yīng)力連續(xù)的條件可以忽略。法向應(yīng)力，包括壓強(qiáng)和自由表面張力而應(yīng)起的液面壓力則必須連續(xù)。如果忽略表面張力，則自由水面上液體的壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng) pa。 有些情況下還需給定進(jìn)出口斷面上的速度，壓強(qiáng)和溫度的分布。 332初始條件 對于不恒定的粘性流動則需給出初始時(shí)刻（ t=t0） 時(shí)流場中各有關(guān)物理量的分布，即流動的初始條件。 39 粘性流動的