利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分-文庫(kù)吧
2025-09-20 12:04 本頁(yè)面
【正文】 22Dyx d xd ye?? ???Syx d x d ye 22 .222?? ???Dyx dx dye1D2DSS2DR R2例題 又 ?? ???Syx d x d yeI 22??? ??? R yR x dyedxe 00 22 。)( 20 2? ?? R x dxe ?1I ?? ??122Dyx dxdye?? ?? ?? R r r d red 00 22 )。1(4 2Re ????同理 ?2I ?? ??222Dyx dx dye)。1(422 Re ????例題 當(dāng) ??R 時(shí) ,41 ??I ,42 ??I故當(dāng) ??R 時(shí) ,4??I 即 ??? ? 20)( 2 dxe x 4? ,所求廣義積分 ??? ?02 dxe x2? .,21 III ???)。1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?例題 例 4 計(jì)算 dxdyyxD)(22?? ? ，其 D 為由圓yyx 222?? ， yyx 422?? 及直線 yx 3? 0? ，03 ?? xy 所圍成的平面閉區(qū)域 .解 32 ?? ??61?? ???sin4?? r?s i n2?? rdxdyyxD)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 36s i n4s i n22 r d rrd ).32(15 ???yyx 422 ??yyx 222 ??03 ?? yx03 ?? xy例題 例 5 計(jì)算二重積分 ?????Ddxdyyxyx2222 )s i n (,其中積分區(qū)域?yàn)?}41|),{(22 ???? yxyxD.解 由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分 ， 注意： 被積函數(shù)也要有對(duì)稱性 .?? ? ??Ddxdyyxyx2222 )s i n ( 4? ?????12222 )s i n (Ddxd yyxyx?? ??? ? 210 s in4 2 r d rr rd .4??14 DD ?1D例題 例 6 求曲線 )(2)( 222222 yxayx ??? 和 222 ayx ?? 所圍成的圖形的面積 .解 根據(jù)對(duì)稱性有 14 DD ?在極坐標(biāo)系下)(2)( 222222 yxayx ??? ,2c o s2 ?ar ??,222 arayx ????1D例題 由?????arar ?2c o s2, 得交點(diǎn) )6,(?? aA , 所求面積 ???Ddxd y????14Dd x d y?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd).33(2 ??? a例題 基本解法 ： 先在有界區(qū)域內(nèi)積分，然后令有界區(qū)域趨于原無(wú)界區(qū)域時(shí)取極限求解 . 解 先考慮圓域 }|),{( 222 RyxyxD ????? ???D yxdRI??)1()( 22例 1 求廣義二重積分 .1,)1( 22???? ?? ???D yxdI D 是整個(gè) xO y 平面 廣義二重積分 ? ? ?? ? ??20 0 2 )1(R
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