【正文】 +4*x+3)。 y1=diff(y)。 y0=int(y1)。 pretty(y0) % 對(duì)導(dǎo)數(shù)積分 sin(x) sin(x) 1/2 + 1/2 x + 3 x + 1 ? 對(duì)原函數(shù)求 4 階導(dǎo)數(shù)，再對(duì)結(jié)果進(jìn)行 4次積分 y4=diff(y,4)。 y0=int(int(int(int(y4))))。 pretty(simple(y0)) sin(x) 2 x + 4 x + 3 ? 例 :證明 syms a x。 f=simple(int(x^3*cos(a*x)^2,x)) f = 1/16*(4*a^3*x^3*sin(2*a*x)+2*a^4 *x^4+6*a^2*x^2*cos(2*a*x)6*a*x*sin(2*a*x)3*cos(2*a*x)3)/a^4 f1=x^4/8+(x^3/(4*a)3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+... (3*x^2/(8*a^2)3/(16*a^4))*cos(2*a*x)。 simple(ff1) % 求兩個(gè)結(jié)果的差 ans = 3/16/a^4 ? 定積分與無(wú)窮積分計(jì)算 : – 格式： I=int(f,x,a,b) – 格式： I=int(f,x,a,inf) ? 例： syms x。 I1=int(exp(x^2/2),x,0,) ％無(wú)解 I1 = 1/2*erf(3/4*2^(1/2))*2^(1/2)*pi^(1/2) vpa(I1,70) ans = 532156326729917229308528 I2=int(exp(x^2/2),x,0,inf) I2 = 1/2*2^(1/2)*pi^(1/2) 2 /2() xf x e ??202() x te r f x e d t??? ?? 多重積分問(wèn)題的 MATLAB求解 ? 例： syms x y z。 f0=4*z*exp(x^2*yz^2)*(cos(x^2*y)10*cos(x^2*y)*y*x^2+... 4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2sin(x^2*y))。 f1=int(f0,z)。f1=int(f1,y)。f1=int(f1,x)。 f1=simple(int(f1,x)) f1 = exp(x^2*yz^2)*sin(x^2*y) f2=int(f0,z)。 f2=int(f2,x)。 f2=int(f2,x)。 f2=simple(int(f2,y)) f2 = 2*exp(x^2*yz^2)*tan(1/2*x^2*y)/(1+tan(1/2*x^2*y)^2) simple(f1f2) ans = 0 順序的改變使化簡(jiǎn)結(jié)果不同于原函數(shù)，但其誤差為 0，表明二者實(shí)際完全一致。這是由于積分順序不同，得不出實(shí)際的最簡(jiǎn)形式。 ? 例： syms x y z int(int(int(4*x*z*exp(x^2*yz^2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi) ans = (Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2))*pi^2*hypergeom([1],[2],pi^2) Ei(n,z)為指數(shù)積分，無(wú)解析解，但可求其數(shù)值解： vpa(ans,60) ans = 021863483588 函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)與 級(jí)數(shù)求和問(wèn)題求解 ? Taylor 冪級(jí)數(shù)展開(kāi) ? Fourier 級(jí)數(shù)展開(kāi) ? 級(jí)數(shù)求和的計(jì)算 Taylor 冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 單變量函數(shù)的 Taylor 冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 例 : syms x。 f=sin(x)/(x^2+4*x+3)。 y1=taylor(f,x,9)。 pretty(y1) 2 23 3 34 4 4087 5 3067 6 515273 7 386459 8 1/3 x 4/9 x + x x + x x + x x 54 81 9720 7290 1224720 918540 taylor(f,x,9,2) ans = 1/15*sin(2)+(1/15*cos(2)8/225*sin(2))*(x2)+ (127/6750*sin(2)8/225*cos(2))*(x2)^2 +(23/6750*cos(2)+628/50625*sin(2))*(x2)^3 +(15697/6075000*sin(2)+28/50625*cos(2))*(x2)^4 +(203/6075000*cos(2)+6277/11390625*sin(2))*(x2)^5 +(585671/2733750000*sin(2)623/11390625*cos(2))*(x2)^6 +(262453/19136250000*cos(2)+397361/5125781250*sin(2))*(x2)^7 +(875225059/34445250000000*sin(2)131623/35880468750*cos(2))*(x2)^8 syms a。 taylor(f,x,5,a) % 結(jié)果較冗長(zhǎng)，顯示從略 ans = sin(a)/(a^2+3+4*a) +(cos(a)sin(a)/(a^2+3+4*a)*(4+2*a))/(a^2+3+4*a)*(xa) +(sin(a)/(a^2+3+4*a)1/2*sin(a)(cos(a)*a^2+3*cos(a)+4*cos(a)*a4*sin(a)2*sin(a)*a)/(a^2+3+4*a)^2*(4+2*a))/(a^2+3+4*a)*(xa)^2+… 例 :對(duì) y=sinx進(jìn)行 Taylor冪級(jí)數(shù)展開(kāi) ,并觀察不同階次的近似效果。 x0=2*pi::2*pi。 y0=sin(x0)。 syms x。 y=sin(x)。 plot(x0,y0,39。r.39。), axis([2*pi,2*pi,])。 hold on for n=[8:2:16] p=taylor(y,x,n), y1=subs(p,x,x0)。 line(x0,y1) end p = x1/6*x^3+1/120*x^51/5040*x^7 p = x1/6*x^3+1/120*x^51/5040*x^7+1/362880*x^9 p = x1/6*x^3+1/120*x^51/5040*x^7+1/362880*x^91/39916800*x^11 p = x1/6*x^3+1/120*x^51/5040*x^7+1/362880*x^91/39916800*x^11+1/6227020800*x^13 p = x1/6*x^3+1/120*x^51/5040*x^7+1/362880*x^91/39916800*x^11+1/6227020800*x^131/1307674368000*x^15 多變量函數(shù)的 Taylor 冪級(jí)數(shù)展開(kāi) ? 多變量函數(shù) 在 的 Taylor冪級(jí)數(shù)的展開(kāi) 12( , , , )nf x x x 12( , , , )na a a? 例： ？？？ syms x y。 f=(x^22*x)*exp(x^2y^2x*y)。 F=maple(39。mtaylor39。,f,39。[x,y]39。,8) F = mtaylor((x^22*x)*exp(x^2y^2x*y),[x, y],8) maple(‘readlib(mtaylor)’)。％讀庫(kù)，把函數(shù)調(diào)入內(nèi)存 F=maple(39。mtaylor39。,f,39。[x,y]39。,8) F = 2*x+x^2+2*x^3x^4x^5+1/2*x^6+1/3*x^7+2*y*x^2+2*y^2*xy*x^3y^2*x^22*y*x^43*y^2*x^32*y^3*x^2y^4*x+y*x^5+3/2*y^2*x^4+y^3*x^3+1/2*y^4*x^2+y*x^6+2*y^2*x^5+7/3*y^3*x^4+2*y^4*x^3+y^5*x^2+1/3*y^6*x syms a。 F=maple(39。mtaylor39。,f,39。[x=1,y=a]39。,3)。 F=maple(39。mtaylor39。,f,39。[x=a]39。,3) F = (a^22*a)*exp(a^2y^2a*y)+((a^22*a)*exp(a^2y^2a*y)*(2*ay)+(2*a2)*exp(a^2y^2a*y))*(xa)+((a^22*a)*exp(a^2y^2a*y)*(1+2*a^2+2*a*y+1/2*y^2)+exp(a^2y^2a*y)+(2*a2)*exp(a^2y^2a*y)*(2*ay))*(xa)^2 Fourier 級(jí)數(shù)展開(kāi) function [A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b) if nargin==3, a=pi。 b=pi。 end L=(ba)/2。 if a+b, f=subs(f,x,x+L+a)。 end％變量區(qū)域互換 A=int(f,x,L,L)/L。 B=[]。 F=A/2。 %計(jì)算 a0 for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,L,L)/L。 bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,L,L)/L。 A=[A, an]。 B=[B,bn]。 F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*