用坐標(biāo)法研究仿射變換-文庫吧
2025-09-17 15:07 本頁面
【正文】 ) 的方程 . 解 : 方法 1. 根據(jù)題設(shè)變換公式反解得 ???????????????23431632yxyyxx代入 l 的方程得 3(?2x? + 3y? ? 16) + (?3x? + 4y? ?23) ?1 = 0. 整理得 9x? ? 13y? + 72 = 0 . 于是 f(l) 的方程為 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 方法 2. (待定系數(shù)法 ) 設(shè) f(l) 的方程為 Ax + By + C = 0, 將題設(shè)變換公式代入得到 l 的方程為 A(4x ? 3y ? 5) + B(3x ? 2y + 2) + C = 0, 它與 3x + y ? 1 = 0 都是 l 的方程 , 于是 .1251 233 34 ? ???????? CBABABA從左式得 A : B = 9 : ?13, 右式得 A : C = 1 : 8. 取 A = 9, B = ?13, C = 72, 得 f(l) 的方程為 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 方法 3. 取 l 上一點(diǎn) P1(0, 1) 和 l 的方向向量 u(1, ?3), 根據(jù)題設(shè)變換公式得 f(P1) 的坐標(biāo)為 (?8, 0), 根據(jù)題設(shè) , 向量變換公式為 ?????????yxyyxx2334得 f(u) 的坐標(biāo)為 (13, 9), 于是 f(l) 的方程為 ,913 8 yx ??即 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 例 2 在仿射坐標(biāo)系 I 中 , 仿射變換 f 把直線 x + y ? 1 = 0 變?yōu)? 2x + y ? 2 = 0, 把直線 x + 2y = 0 變?yōu)? x + y + z = 0, 把點(diǎn) (1, 1) 變?yōu)?(2, 3) , 求 f 在 I 中的 變換公式 . 解 : 方法 1. (待定系數(shù)法 ) 假設(shè)所求變換公式為 .??? ???? ????2222111211byaxaybyaxax因?yàn)? f 把直線 x + y ? 1 = 0 變?yōu)? 2x + y ? 2 = 0, 即 直線 2x + y ? 2 = 0 的原像是 x + y ? 1 = 0, 從而 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 2(a11x + a12y + b1) + (a21x + a22y + b2) ? 2 = 0 就是直線 x + y ? 1 = 0, (2a11+a21) : (2a12+a22) : (2b1+b2?2) = 1 : 1 : (?1), 即 2a11 + a21 = 2a12 + a22 2a11 + a21= ?(2b1 + b2 ? 2) 類似地 , 由 f 把直線 x+2y = 0變?yōu)?x+y+1= 0 可得到 (a11+a21) : (a12+a22) : (b1+b2+1) = 1 : 2 : 0, 即 2 (a11 + a21) = a12 + a22 b1 + b2 +1 = 0 于是 ① ② ③ ④ 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 再由 f 把點(diǎn) (1, 1) 變?yōu)辄c(diǎn) (2, 3) 得到 a11 + a12 + b1 = 2 a21 + a22 + b2 = 3 從上面這 6個(gè)方程解出 a11= 3, a12 = 1, b1 = ? 2, a21= ?1, a22 = 3, b2 = 1, 于是所求變換公式為 .??? ????? ???? 13 23 yxy yxx⑤ ⑥ 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 方法 2. 把點(diǎn) (x, y) 經(jīng)過變換得到的 像點(diǎn)的坐標(biāo) x?, y? 看作 x, y 的函數(shù) , 用條件來決定變換公式 . 直線 2x + y ? 2 = 0 的原像是 x + y ? 1 = 0, 從而 2x? + y? ? 2 = 0 (其中 x?, y? 看作 x, y 的函數(shù) ) 與 x + y ? 1 = 0表示同一條直線的方程 , 因此存在數(shù) s, 使得 2x? + y? ? 2 = s (x + y ? 1), 再由 f 把點(diǎn) (1, 1)變?yōu)辄c(diǎn) (2, 3), 用 x = 1, y = 1, x?=2, y?=3 代入 , 求出 s = 5. 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 直線 x + y + 1 = 0 的原像是 x + 2y = 0, 因此存在數(shù) t, 使得 x? + y? + 1 = t (x + 2y), 再由 f 把點(diǎn) (1, 1)變?yōu)辄c(diǎn) (2, 3), 用 x = 1, y = 1, x?=2, y?=3 代入 , 求出 t = 2. ,)( )(??? ?????? ??????? yxyx yxyx 221 1522由此解得 . ??? ????? ???? 13 23 yxy yxx從而 x? + y? + 1 = 0與 x + 2y = 0表示同一條直線 , 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 例 3 (P207. 1) 證明 : 在 任何仿射坐標(biāo)系 中 , 位似 變換 的 變換矩陣 都是 數(shù)量矩陣 kE, 其中 k 是 位似 系數(shù) . 反之 , 如果一個(gè) 仿射變換 在某個(gè) 仿射坐標(biāo)系 中的 變換矩陣 是 數(shù)量矩陣 kE, 其中 k ? 1, 則它一定 是 位似變換 . 證明 : 設(shè) f 是 位似變換 , 位似中心 M, 位似系數(shù) k. 建立平面 仿射坐標(biāo)系 I: [O。 e1, e2], 設(shè) 位似中心 M 在 I 中的坐標(biāo)為 (a, b),平面上任一點(diǎn) P 在 I 中的 坐標(biāo)為 (x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐標(biāo)為 (x?, y?). 根據(jù) 位似變換 的定義 , 有 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 M f(P) = kMP = (ae1 + be2) + (k(x?a) e1 + k(y?b) e2) 故 ,)( )( ??? ???? ???? bkkyy akkxx 11因此 位似變換 f 在 I 中的 變換矩陣 為 數(shù)量矩陣 kE. 從而 O f(P) = OM + M f(P) = (kx + (1? k) a) e1 + (ky +(1? k) b) e2 = OM + kMP 又 O f(P) = x?e1 + y?e2 即 ,)()( ??????????????????????????????bkakyxkkyx1100 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 反之 , 設(shè) 仿射變換 f 在某個(gè) 仿射坐標(biāo)系 I 中的 變換 矩陣 是 數(shù)量矩陣 kE, 其中 k ? 1, 設(shè)其 變換公式 為 , ?????????dkyy
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