線性分組碼的生成矩陣54線性分組碼的編碼55線性分組碼-文庫吧
2025-08-25 12:10 本頁面
【正文】 ??????????????????????11 (4) 一致監(jiān)督矩陣特性 ? 對 H 各行實行初等變換，將后面 r 列化為單位子陣，于是得到下面矩陣，行變換所得方程組與原方程組同解。 ? 監(jiān)督矩陣 H 的標(biāo)準(zhǔn)形式 ：后面 r 列是一單位子陣的監(jiān)督矩陣 H。 ? H 陣的每一行都代表一個監(jiān)督方程，它表示與該行中“ 1”相對應(yīng)的碼元的模 2和為 0。 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 )(100010001H212222111211????????????????????????????rnrrkknrppppppppp12 ? H 的標(biāo)準(zhǔn)形式還說明了相應(yīng)的監(jiān)督元是由哪些信息元決定的。例如 (7,3) 碼的 H 陣的第一行為 (1011000)，說明此碼的第一個監(jiān)督元等于第一個和第三個信息元的模2和，依此類推。 ? H 陣的 r 行代表了 r 個監(jiān)督方程，也表示 由 H 所確定的碼字有 r 個監(jiān)督元 。 ? 為了得到確定的碼， r 個監(jiān)督方程（或 H 陣的 r 行）必須是 線性獨立 的，這要求 H 陣的秩為 r。 ? 若把 H 陣化成標(biāo)準(zhǔn)形式，只要檢查單位子陣的秩，就能方便地確定 H 陣本身的秩。 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 13 (1) 線性碼的封閉性 ? 線性碼的封閉性 ：線性碼任意兩個碼字之和仍是一個碼字。 ? 定理 ：設(shè)二元線性分組碼 CI (CI表示碼字集合 ) 是由監(jiān)督矩陣 H所定義的，若 U 和 V 為其中的任意兩個碼字，則 U+V 也是 CI中的一個碼字。 ? [證明 ]：由于 U 和 V 是碼 CI 中的兩個碼字，故有 HUT=0T， HVT=0T 那么 H(U+V)T=H(UT+VT)=HUT+HVT=0T 即 U+V 滿足監(jiān)督方程，所以 U+V 一定是一個碼字。 ? 一個長為 n 的二元序列可以看作是 GF(2)(二元域 )上的 n 維線性空間中的一點。長為 n 的所有 2n 個矢量集合構(gòu)成了 GF(2)上的 n 維線性空間 Vn。把線性碼放入線性空間中進行研究，將使許多問題簡化而比較容易解決。 ? (n,k) 線性碼是 n 維線性空間 Vn中的一個 k 維子空間 Vk。 線性分組碼的生成矩陣 14 (2) 線性分組碼的生成矩陣 ? 在由 (n,k) 線性碼構(gòu)成的線性空間 Vn 的 k 維子空間中，一定存在 k 個線性獨立的碼字： g1,g2,…, gk,。碼 CI 中其它任何碼字 C都可以表為這 k 個碼字的一種線性組合，即 線性分組碼的生成矩陣 ? ?? ?階矩陣。是一個是待編碼的信息組。寫成矩陣形式得）（nkmmmmmmkimmmmkknkkkkknikkk????????????????????????????????Gm)(GmgggC1,1,0),2(GF021121021102211?????15 ? G中每一行 gi=(gi1,gi2,…, gin ) 都是一個碼字； ? 對每一個信息組 m，由矩陣 G都可以求得 (n,k) 線性碼對應(yīng)的碼字。 ? 生成矩陣 ：由于矩陣 G 生成了 (n,k) 線性碼，稱矩陣 G 為 (n,k) 線性碼的生成矩陣。 ? (n,k) 線性碼的每一個碼字都是生成矩陣 G 的行矢量的線性組合，所以它的 2k 個碼字構(gòu)成了由 G 的行張成的 n 維空間的一個 k 維子空間 Vk。 線性分組碼的生成矩陣 )(gggG21222211121121???????????????????????????knkknnknkggggggggg????????16 ? 線性系統(tǒng)分組碼 通過行初等變換，將 G 化為前 k 列是單位子陣的 標(biāo)準(zhǔn)形式 線性分組碼的生成矩陣 ? ?)(,2,1,2,1G),(),(C)(QI100010001G02211)(0210211)(21)(22221)(11211??????????????????????????????????????????????knjqmqmqmCkimC,mmmCCCqqqqqqqqqkjjkjkjknikinnkkknnnrkkknkkkknknnk???????????????????得將上式代入17 ? 線性系統(tǒng)分組碼 ：用標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣 Gk n 編成的碼字，前面 k 位為信息數(shù)字，后面 r=n－ k 位為校驗字，這種信息數(shù)字在前校驗數(shù)字在后的線性分組碼稱為線性系統(tǒng)分組碼。 ? 當(dāng)生成矩陣 G 確定之后， (n,k) 線性碼也就完全被確定了，只要找到碼的生成矩陣，編碼問題也同樣被解決了。 線性分組碼的生成矩陣 圖 6 . 2 . 1 系 統(tǒng) 碼 的 碼 字 結(jié) 構(gòu)信 息 數(shù) 字 校 驗 數(shù) 字18 (3) 舉例 (7,4) 線性碼的生成矩陣為 線性分組碼的生成矩陣 ? ? )1010011(11010000110100111001010100010101)1010(11010000110100111001010100017441714174??????????????????????????????????GmCmG，則若19 (4) 生成矩陣與一致監(jiān)督矩陣的關(guān)系 ? 由于生成矩陣 G的每一行都是一個碼字，所以 G 的每行都滿足 Hr nCTn 1=0Tr 1，則有
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