【正文】 ........... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。 參考文獻(xiàn) ......................................................................................................................................... 37 翻譯部分 ......................................................................................................................................... 39 致 謝 ............................................................................................................................................. 46 中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 1 頁 1 邊界元發(fā)展概況 發(fā)展歷史 力學(xué)的問題應(yīng)用到實(shí)際工程時(shí)，我們可以將其歸結(jié)為求解定解問題的數(shù)學(xué)問題。不過，只有比較簡單的問題可以通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出問題的解析解，一般遇到的復(fù)雜問題都需要用實(shí)際有效的數(shù)值模擬方法來求解問題。邊界積分方程 —— 邊界元方法建立在有限元方法發(fā)展之后，成為了解決實(shí)際工程問題的一種有效而且比較廣泛的數(shù)值模擬理論。邊界元方法降低了問題的維數(shù)使這種方法更優(yōu)于其他數(shù)值模擬的理論，這種方法通過設(shè)定邊界上未知的一些量把他們作為基本量，根據(jù)問題的需 要可以通過設(shè)定的量求解出求解域內(nèi)的未知量。求解彈性力學(xué)問題時(shí)，邊界元方法的解可以精確的滿足求解域內(nèi)的偏微分方程，因此邊界元法優(yōu)于有限元法的方面是邊界元法的解具有較高的精度。 與此同時(shí)，在某一些相關(guān)情況下，例如：線彈性體的應(yīng)力集中問題，有應(yīng)力奇異性的彈性裂紋問題，考慮脆性材料中裂紋擴(kuò)展的結(jié)構(gòu)軟化分析，局部進(jìn)人塑性的彈塑性局部應(yīng)力問題以及彈性接觸的問題??等，邊界元方法比有限元方法更加有效、更加精確。邊界元方法的這些特點(diǎn)，使邊界元法得到了廣泛的應(yīng)用，并且受到了力學(xué)研究領(lǐng)域的重視。相對于邊界元方法而言，比有限元方 法有很多優(yōu)勢：首先，在解決問題時(shí)，邊界元方法通過降低問題維數(shù)使求解問題更加簡單，比如把比較復(fù)雜的空間問題簡化為平面問題求解，這樣有效地降低了問題的難度。其二，有限元法采用的是將求解區(qū)域進(jìn)行離散化，邊界元方法則是只把邊界區(qū)域離散，這樣劃分單元遠(yuǎn)小于區(qū)域劃分，使得求解問題時(shí)需要求解的方程和求解所需要的數(shù)據(jù)都減少了很多，既節(jié)約了時(shí)間又降低了難度，然后，邊界元方法不需要建立型函數(shù)，邊界元方法直接建立在控制微分方程，以及對應(yīng)的邊界條件上，即使泛函無法建立，邊界元方法也可以求解，而有限元就不可以了，所以這種方法可以求解 無限域內(nèi)的一些問題。最后，邊界元法有較高的精度，因?yàn)樗x散解析相結(jié)合，通過基本解來解決問題，精度提高。 有優(yōu)點(diǎn)也會有缺點(diǎn)，邊界元方法在求解問題時(shí)需要知道基本解，也需要建立 Green函數(shù)并且一些問題的基本解釋不知道的，如非線性問題，因此，邊界元方法不能求解。不過，邊界元方法的使得在許多領(lǐng)域難以求解的問題得到解決。被廣泛應(yīng)用到了許多領(lǐng)域。而且在力學(xué)當(dāng)面取得了廣泛的應(yīng)用，也得到了豐富的成果，邊界元的發(fā)展起步比較晚，但是邊界元方法的發(fā)展取得了很大的進(jìn)展，因?yàn)檫吔缭椒ń鉀Q問題的優(yōu)勢，很多人都為邊界元的發(fā)展做出了貢獻(xiàn) 。常規(guī)邊界元的弱點(diǎn)更為明顯，舉例如下：邊界元方法求解問題時(shí)，所需要求解的代數(shù)方程是滿陣，而且是非對稱的，對于 1000 個(gè)邊界點(diǎn)的二維問題，大概需要計(jì)算 2021 個(gè)自由度，這樣對應(yīng)的系數(shù)矩陣就有 20210000個(gè)元素，其中元素是雙精度的，因此，每個(gè)系數(shù)矩陣占有 800M 的儲存空間。可想而知，邊界元方法計(jì)算的難度，這樣邊界元方法只能夠?qū)δ硞€(gè)關(guān)鍵構(gòu)件進(jìn)行分析計(jì)算，難以分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)。 總體來開，邊界元有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)，而且相對于有限元來說，在實(shí)際應(yīng)用中也發(fā)揮自己的優(yōu)勢。邊界元 有限元耦合法能夠綜合兩者的優(yōu)勢，經(jīng)過發(fā)展具有良 好的應(yīng)中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 2 頁 用前景。 邊界元法的發(fā)展可分如下幾個(gè)時(shí)期： 萌芽與奠基期 ( 1950— 1978 ) 50 年代初期， MuskhelishVili ( 1953 )將積分方程的方法用于結(jié)構(gòu)力學(xué)的分析，Kellogg ( 1953 )用積分方程的方法求解 Laplace 的問題，這便是邊界元方法的前身。 現(xiàn)代邊界積分方程方法與 Fredholm 的工作有著直接關(guān)系，他討論了建立在離散技術(shù)上的求解方法。關(guān)于間接邊界元法的概念是 Jaswon， Hess 和 Symm 等研究形成的。關(guān)于直接邊界元方法，曾出現(xiàn)在 KuPradze 的著 作中，但更多的早期工作是 Rizzo和 Cruse 用邊界積分方程方法求解彈性動力學(xué)問題和經(jīng)典的彈性力問題。 在這一時(shí)期， Richard Shaw 對波的傳播問題的邊界積分方程方法進(jìn)行了廣泛的研究。 1960 年，他完成了博士學(xué)位論文，并在其后發(fā)表了兩篇重要論文，提出了有任意形狀障礙的聲波脈沖的瞬態(tài)散射問題的邊界積分方程法。除此之外，他還對彈性動力學(xué)的間接邊界積分公式、特征值問題、流固藕合問題、三維散射問題、漸近膨脹解和擴(kuò)散問題等進(jìn)行了研究。 1963 年， Jaswon 和 Ponter 討論了扭轉(zhuǎn)問題的積分方程方法，第 一次利用了邊界值和法向?qū)?shù)的積分關(guān)系。同年， Jaswon 對 Laplace 方程由勢理論建立了邊界積分方程的數(shù)值方法，為間接邊界元法的提出作出了重要貢獻(xiàn)。其后， Jaswon 等人建立了平面彈性靜力學(xué)的邊界積分方程，提出了數(shù)值求解的有效途徑，并首次用邊界積分方程方法求解了板彎曲問題。 1966 年， Symm 建立了保角映射下的邊界積分方程。 1969 年他發(fā)展了邊界積分方程在勢問題包括熱傳導(dǎo)分析方面的應(yīng)用。 1967 年， Rizzo 運(yùn)用了 BettiSomighana 公式建立彈性靜力學(xué)問題的邊界積分公式，指出了邊界位移和面 力的函數(shù)關(guān)系，這是文獻(xiàn)中最早的一篇關(guān)于直接邊界元方法的論文。雖然這些公式的數(shù)學(xué)理論源于 KaPradze 的著作，但是 Rizzo 以一種簡明的形式提出了與當(dāng)今邊界元法有著密切聯(lián)系的公式。 1967 年， Cruse 完成了直接邊界元方法若干重要問題的推導(dǎo)，隨后， Cruse 與 Rizzo和 Shippy 配合，對這些邊界積分公式進(jìn)行了數(shù)值求解，相繼提出了直接邊界元法的若干重要論文。 邊界元法實(shí)施的困難之一是積分奇異性的處理。 Symm 在 70 年代對二維勢問題的邊界積分方程中的積分奇異性問題進(jìn)行了研究，并發(fā)展了計(jì)算軟件。 1973 年 ， Brebbia、 Watson 等將邊界積分方程應(yīng)用于應(yīng)力分析問題。 1975 年， Lachat完成了他的博士論文，第一次使用高次單元求解三維彈性靜力學(xué)問題，徹底解決了邊界積分方程中的奇異積分問題，大大提高了計(jì)算精度，為邊界元法的發(fā)展作出了非常重要的貢獻(xiàn)。 1974 年， Cruse 首先使用了曲面元建立了三維彈性應(yīng)力分析的邊界積分方程的新模式，為幾何區(qū)域的更準(zhǔn)確描述，提高邊界元法的精度做了重要工作。 Cruse 還討論了由邊界面力獲得表面應(yīng)力、體積力向邊界力轉(zhuǎn)換技術(shù)、斷裂力學(xué)問題以及對特殊形狀的裂紋采用特殊的應(yīng)力函數(shù)等。 這些成果對現(xiàn)代邊界元法的發(fā)展起了重要作用。 1976 年， Crouch建議用位移不連續(xù)法 (Displacement Discontinuity Method， )中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 3 頁 求解平面彈性問題，這是一種間接邊界元法，它以單元均勻位移 (不連續(xù)位移分量 )為未知數(shù)，可以很便利地求解巖石力學(xué)問題，因而， Crouch 被公認(rèn)為是間接邊界元法的開創(chuàng)者。 1977 年， Cruse 就固體力學(xué)的邊界積分方程法，包括直接法和間接法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)表論文，是該方面最早、全面的系統(tǒng)性的理論著作。同年， Symm 將直接邊界元法應(yīng)用于有界面的多介質(zhì) 問題，是非均質(zhì)問題最早的具有開拓性的貢獻(xiàn)。 1978 年 Brady 與 Bray提出了一種四級 ( Quadrupoles ) 虛載荷用于模擬礦山薄層采場的變形，這種方法后來被確認(rèn)為應(yīng)力不連續(xù)法 ( Fietitious Stress Method， )。 DDM 和 FSM 均可用于模擬裂縫或夾層，兩種方法實(shí)質(zhì)上相同，但 DDM法更適合于裂隙、斷層的模擬。 邊界元法 ( Boundary Element Method， ) 這一名稱是 Cruse 于 1973 年首先提出，但之后的有關(guān)文章包括 Cruse 自己也沒有再使用這一提法，而用的是邊界積分方程法 ( Boundary Integral Equation Method， ) 。 1977 年， Brebbia 和Banerjee 重新使用了邊界元法這個(gè)名稱，邊界元法從此有了明確的定義。 1978 年，由Brebbia 編著的第一本邊界元法專著出版，對邊界元法的發(fā)展有著極為重要的意義，其重要性在于它指出了邊界元法與其他數(shù)值方法特別是有限元法的關(guān)系，提出了如何用加權(quán)余量法來建立邊界積分方程，初步形成了邊界元法的理論體系，確立了邊界元法作為一種數(shù)值方法的地 位，標(biāo)志著邊界元法從此進(jìn)入了系統(tǒng)性的研究時(shí)期。 方法完善與初步應(yīng)用期 ( 1978— 1990 ) 1978 年，第一屆邊界元法國際會議在英國南安普敦 ( Southampton ) 大學(xué)舉行。此后，邊界元法國際會議幾乎每年一次在世界各地舉行，迄今己舉行了 28 次。大量論文和專著先后面世，發(fā)展之快、水平之高是前所未有的。 1984 年，邊界元法國際性刊物《 Engineering Analysis Joumal》創(chuàng)刊，它主要致力于邊界元法研究新進(jìn)展的宣傳，為邊界元法的發(fā)展起了重要的推動作用。從這些會議文集和 各種刊物，如《 Engineering Analysis Journal》、《 Compute rand Struetures》、《 of Numerieal Methods in Engineering》、《 Computational Mechanies))和《 Computer Methods in App1ied Mechanics and Engineering》等登載的論文以及Brebbia 和 Banerjee 等人的專著來看，這一時(shí)期邊界元法的發(fā)展可歸結(jié)為以下三個(gè)方面： 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域 : 雖然邊界元法的發(fā)展是由計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用帶來的，但也與近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展關(guān)系密切。邊界元法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究，不僅解決了由于積分奇異性造成的困難，同時(shí)又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式的統(tǒng)一進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了基本的理論。 Wendiand 是研究邊界元法數(shù)學(xué)理論的主要學(xué)者，其主要工作有：數(shù)值積分的漸近誤差分析，有限元和邊界元耦合方法的誤差分析，邊界元法解的穩(wěn)定性，彈性力學(xué)和流體流動問題邊界元法的數(shù)學(xué)理論，斷裂力學(xué)邊界元法的誤差分析等。 Hsiao 等人在邊界元法特別是 有限元和邊界元耦合方法的數(shù)學(xué)理論方面作了許多工作。近年來，一些學(xué)者將有限元理論中的區(qū)域分解方法引入邊界元法，討論了其數(shù)學(xué)理論?？偟恼f來，邊界元法數(shù)學(xué)理論的研究還中國礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)論文 第 4 頁 落后于方法和應(yīng)用的研究，與有限元法數(shù)學(xué)理論的研究尚有一定的差距，有待進(jìn)一步研究和發(fā)展。 在方法與應(yīng)用領(lǐng)域 : 70 年代以前，邊界元法的研究僅僅限于解決以下幾個(gè)方面的問題：流體力學(xué)、彈性靜力學(xué)、板彎曲問題、波的傳播、勢問題、斷裂力學(xué)等，而且對于一些問題的研究也只是初步的嘗試。 現(xiàn)在，邊界元法的發(fā)展已涉及很多工程和科學(xué)領(lǐng)域，幾乎可以解決所有有限元法能夠解決 的問題。對于線性問題，邊界元法的應(yīng)用己經(jīng)規(guī)范化；對非線性問題，其方法亦趨于成熟。邊界元法在線性問題方面的研究和應(yīng)用包括 :彈性力學(xué)、瞬態(tài)彈性動力學(xué)、斷裂動力學(xué)、斷裂力學(xué)、穩(wěn)態(tài)彈性動力學(xué)、動態(tài)板彎曲問題、板彎曲問題、殼體分析、溫度場和彈性熱應(yīng)力、殼的動態(tài)響應(yīng)分析、勢問題 (包括熱傳導(dǎo)、散射、擴(kuò)散、勢流、靜電分析等 )、瞬態(tài)勢問題、波的傳播、穩(wěn)態(tài)勢問題、流體力學(xué)、流體動力學(xué)、聲學(xué)、反問題等。 邊界元法在非線性問題方面的研究與應(yīng)用已經(jīng)涉及：非彈性力學(xué) (包括塑性、彈粘塑性、彈塑性、蠕變等 )、非彈性動力學(xué)、非彈性斷裂動力學(xué) 、非彈性斷裂力學(xué)、非彈性殼體分析、非線性勢問題、彈性有限變形、非線性斷裂力學(xué)、含時(shí)間的非線性勢問題、非線性瞬態(tài)熱分析、材料非線性熱分析、非線性板殼分析、巖土力學(xué)、非線性瞬態(tài)波的傳插、非彈性有限變形等。相對來說，邊界元法與其他數(shù)值方法 (主要是有限元法 )的耦合方法發(fā)展比較緩慢。目前，邊界元與有限元耦合方法的研究和應(yīng)用主要涉及以下幾個(gè)方面：非線性問題、斷裂力學(xué)；彈塑性力學(xué)、巖土力學(xué)、勢問題、流固禍合問題、彈性力學(xué)、土動力學(xué)、熱分析、電力工程等。 在工程和工業(yè)技術(shù)領(lǐng)域，邊界元法的應(yīng)用已涉及到：采礦、土建、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、 機(jī)械、電力、地震、航空、地質(zhì)、汽車、水工、橋梁等諸多方面。 在應(yīng)用軟件領(lǐng)域 : 邊界元法作為一種數(shù)值方法，其應(yīng)用要通過計(jì)算程序來實(shí)現(xiàn)。這種計(jì)算程序作為應(yīng)用軟件，是隨著邊