【正文】 計算結(jié)果 （ 1） 1t?? 時 1=u 1=d 1=p 1=q （ 2） 3t?? 時 2=u 2=d 2=p 2=q （ 3） 5t?? 時 3=u 3=d 3=p 3=q 二叉樹模型的原理 二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔 t? ，并假設在每一個時間間隔 t? 內(nèi)證券價格只有兩種運動的可能：從開始的 S 上升到原先的 u 倍，即到達 Su ；下降到原先的 d 倍，即 Sd 。其中， 1u? ， 1d? ，如圖 。價格上升的概率假設為p ，下降的概率假設為 1p? 。 南山鋁業(yè) —— 股票價格及期權(quán)分析 5 pS uS1 pS d 圖 21 t? 時間內(nèi)資產(chǎn)價格的變動 相應地，期權(quán)價值也會有所不同，分別為 uf 和 df 。在較大的時間間隔內(nèi)，這種二值運動的假設當然不符合實際，但是當時間間隔非常小的時候，比如在每個瞬間，資產(chǎn)價格只有這兩個運動方向的假設是可以接受的。因此，二叉樹模型實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運動。 二叉樹模型估值結(jié)果 （ 1） 1t?? 時股票價格 15 期的估值 表 22 1t?? 時股票價格 15期的估值 （ 2） 3t?? 時股票價格 15 期的估值 陜西科技大學數(shù)理金融課程設計 6 表 23 3t?? 時股票價格 15期的估值 （ 3） 5t?? 時股票價格 15 期的估值 表 24 5t?? 時股票價格 15期的估值 二叉樹模型估值結(jié)果分 析 從表中可以看出 ,從下往上 ,股票的價格升高； 從上往下 ,股票的價格降低 ,這是由二叉樹這種方法本身所決定的 ,所以最后的股價要選擇一個合適的價格 ,一般在二叉樹最后一層的中間取值較為合適。 南山鋁業(yè) —— 股票價格及期權(quán)分析 7 3 幾何布朗運動模型對股票估值 幾何布朗運動模型中的參數(shù) 時間間隔 t? =1/365。 股票均值 mu = 。 標準差 ? =。 幾何布朗運動模型原理 布朗運動假設是現(xiàn)代資本市場理論的核心假設?，F(xiàn)代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機性特征。這里的所謂隨機性，是指數(shù)據(jù)的無記憶性，即過去數(shù)據(jù)不構(gòu)成對未來數(shù)據(jù)的預測基礎(chǔ)。同時不會出現(xiàn)驚人相似的反復。 用(y)S (0 y + )? ? ? 表示 y 時刻某證券的價格，若對任何非負實數(shù) yt， 有： （ 1）隨機變量 (y+t)/ (y)SS獨立于 y 時刻及此前的所有價格； （ 2） ln ( (y+t)/ (y))SS是均值為 ut， ，方差為 2t? 的正態(tài)隨機變量； 則稱價格集服從漂移參數(shù)為 u ，波動參數(shù)為 ? 的幾何布朗運動。 如果證券價格遵循幾何布朗運 動，那么一旦 u ,? 的值確定了，影響未來價格概率分布的只是現(xiàn)在的價格，而與歷史價格無關(guān)。涉及未來時刻 t 以后的價格與當前價格比值的所有概率都與當前價格無關(guān)。比如一種證券在一個月后增長一倍的概率與該證券現(xiàn)在的價格是 10還是 25是沒有關(guān)系的。 若隨機變量為以 y 為參數(shù)的對數(shù)正態(tài)隨機變量，則 若已知證券的初始價格為 0S（ ） ，時刻 t 價格的期望值僅依賴于幾何布朗運動的漂移參數(shù)和波動參數(shù)，即對于 ()St 我們有 用Δ表示一個小的時間增量，并假定，在每個Δ時間單位內(nèi)，證券的價格或者以概率 p 增長 u 倍，或者以概率 1p? 下跌 d 倍，其中 當Δ取得越來越小時，價格的變化就越來越頻繁，相應的價格集就近似為一個幾何布朗運動。 幾何布朗運動模型估值結(jié)果 2()2[ ( )] (0 )tE S t e S?? ??22()E Y e ????,uede???????1 (1 )2p ??? ? ?陜西科技大學數(shù)理金融課程設計 8 （ 1）歷史數(shù)據(jù)截止日前三個月的股票交易日的估值結(jié)果 均值： mu=。 方差： var=。 （ 2） 90 天的股票交易日的真實數(shù)據(jù) 7 7 8 南山鋁業(yè) —— 股票價格及期權(quán)分析 9 均值 mu=。 方差 var=。 (3) 估值結(jié)果與實際值的對比圖 圖 31估值結(jié)果與實際值的對比圖 幾何布朗運動模型估值結(jié)果分析及與實際圖形對比分析 從上圖可以看出估值結(jié)果與實際股價的變化趨勢大致相同，只是相對于真實值會較高或較低一些陜西科技大學數(shù)理金融課程設計 10 4 用幾何布朗運動模型估計未來股價 模型參數(shù) 時間間隔 t? =1/365。 股票均值 ? =。 標準差 ? =。 估值結(jié)果 (1)估值結(jié)果數(shù)據(jù) Mu=。 var= (2)估值結(jié)果與時間的趨勢圖 南山鋁業(yè) —— 股票價格及期權(quán)分析 11 圖 41 幾何布朗運動模型股價估值趨勢圖 結(jié)果分析 由上圖可以看出幾何布朗運動模型預測的股價整體呈上升趨勢，價格在隨著時間上下波動。 陜西科技大學數(shù)理金融課程設計 12 5 計算股票歐式期權(quán)的價格 蒙特卡洛模擬法原理 蒙特卡洛模擬方法亦稱隨機模擬方法，其基本思想是，求解科學、工程技術(shù)和經(jīng)濟金融等方面的問題。首先建立一個概率模型后隨機過程，使其參數(shù)等于問題的解；然后通過對模型或過程的觀察計算所求的統(tǒng)計特征，最后給出所求問題的近似值，