【正文】 A 是 nm? ）只有零解的充分必要條件是 ． 正確答案 ： ()r A n= 14．若 ( )d ( )f x x F x c??? ，則 e (e )dxxfx??? = . 正確答案： (e )xFc+ 15． 0 3edx x???= ． 正確答案： 31 16． 設線性方程組 AX b= ，且 1 1 1 60 1 3 20 0 1 0At?????????，則 ___t 時，方程組有唯一解． 正確答案： 1?? 17．設齊次線性方程組 11m n n mA X O? ? ?? ，且 )(Ar = r n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于 ． 正確答案： n – r 18．線性方程組 AX b= 的增廣矩陣 化成階梯形矩陣后為 1 2 0 1 00 4 2 1 10 0 0 0 1Ad????????? 則當d= 時，方程組 AX b= 有無窮多解 . 正確答案： 1 19. 已知齊次線性方程組 AX O= 中 A 為 53? 矩陣，則 ()rA? ． 正確答案： 3 ? ? 11xfx e? ?的間斷點是 ． 正確答案： 0x? ? ? 222xf x d x x C? ? ?? ，則 ? ?fx? ． 正確答案： 2 ln2 4x x? 三、微積分計算題 1．已知 22 sinx x= ，求 y? ． 解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得 2 2 2( 2 sin ) ( 2 ) sin 2 ( sin )x x xy x x x? ? ? ?? ? ? 2 2 22 l n 2 si n 2 c os ( )xxx x x ??? 222 ln 2 si n 2 2 c osxxx x x=+ 2．設 2cos 2 sinxyx=，求 y? ． 解； 2si n 2 2 l n 2 2 c osxxy x x? ? ? ? 3．設 23ln e xyx=+，求 y? ． 解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得 23(ln ) (e )xyx ?? ? ??? 32ln 3e xxx = 4．設 sine tanxyx=+，求 yd ． 解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得 sind d (e ta n )xyx=+ sind (e ) d (ta n )x x=+ s in21e d ( s in ) dc o sx xxx=+ s in21e c o s d dc o sx x x xx=+ s in 21( e c o s )dc o sx xxx=+ 5． 2e01 d1 ln xxx?? 解： 2e11 d1 ln xxx?? = 2e11 d (1 ln )1 ln xx ??? = 2e12 1 lnx+=2( 3 1) 6．計算21sindx xx? 解 21si n 1 1 1d si n d ( ) c osx xcx x x x? ? ? ??? 7．計算 2dx xx? 解 2 d 22 2 d ( ) 2l n 2x xxx xcx ? ? ??? 8．計算 sin dx x x? 解 sin d c o s c o s d c o s sinx x x x x x x x x x c? ? ? ? ? ? ??? 9．計算 ( 1)ln dx x x?? 解 ( 1)ln dx x x?? = 221 1 ( 1 )( 1 ) ln d22 xx x xx??? ? = 221 ( 2 ) ln24xx x x x c+ + 10．計算 1221e dx xx? 解 1221e dx xx? = 211 12 21 11e d ( ) e e exxx? ? ? ? ?? 11． 2e11 d1 ln xxx?? 解 2e11 d1 ln xxx?? = 2e11 d (1 ln )1 ln xx ??? = 2e12 1 ln x?= 2( 3 1) 12． π20 cos2 dx x x? 解： 20 cos2 dx x x?? = 201 sin22xx? 201 sin2 d2 xx?? = 201cos24 x? = 12 13． e10 ln( 1)dxx? ?? e 1 e 1e1000l n ( 1 ) d l n ( 1 ) d1xx x x x xx?? ?? ? ? ? ??? = e10 1e 1 (1 )d1 xx?? ? ? ?? = e10e 1 [ ln( 1)]xx +＝ eln =1 四、代數(shù)計算題 1．設矩陣 1 1 0 11 2 1 , 22 2 3 5AB?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，求 1AB ． 解：因為 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 01 2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 02 2 3 0 0 1 0 4 3 2 0 1??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 1 1 0 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 6 4 11 1 0 1 0 00 1 0 5 3 10 0 1 6 4 1??????? ? ????????? ? ????1 0 0 4 3 10 1 0 5 3 10 0 1 6 4 1??????? ? ???? 即 1 4 3 15 3 16 4 1A ???????? ? ???? 所以 1 4 3 1 1 55 3 1 2 66 4 1 5 9AB?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 2． 設矩陣 0 1 32273 4 8A??????? ? ? ?? ? ???，I是 3階單位矩陣，求 1()IA ． 解：由矩陣減法運算得 1 0 0 0 1 3 1 1 30 1 0 2 2 7 2 3 70 0 1 3 4 8 3 4 9IA??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 利用初等行變換得 1 1 3 1 0 0 1 1 3 1 0 02 3 7 0 1 0 0 1 1 2 1 03 4 9 0 0 1 0 1 0 3 0 1? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 1 1 3 1 0 0 1 1 0 2 3 30 1 1 2 1 0 0 1 0 3 0 10 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 0 0 1 3 20 1 0 3 0 10 0 1 1 1 1?????????? 即 1 1 3 2( ) 3 0 11 1 1IA ??????? ? ???? 3. 設矩陣 A = 1 0 21 2 0????????， B = 631241????????，計算 (AB)1． 解 因為 AB = 1 0 21 2 0????????631241????????= 2141???????? (AB I ) = 2 1 1 0 2 1 1 04 1 0 1 0 1 2 1??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 112 0 1 1 10 220 1 2 1 0 1 2 1??? ? ??? ???????? ?? 所以 (AB)1= 112221?????? 2 3 13 4 2X? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?。 解：由 2 3 13 4 2X? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?，得 12 3 13 4 2X?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 2 3 1 0 1 1 1 13 4 0 1 3 4 0 11 1 1 1 1 0 4 30 1 3 1 0 1 3 3??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 所以， 12 3 1 4 3 1 23 4 2 3 2 2 1X?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5．求線性方程組 1 3 41 2 3 41 2 3 4203 2 02 5 3 0x x xx x x xx x x x? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??的一般解． 解：因為系數(shù)矩陣 1 0 2 1 1 0 2 11 1 3 2 0 1 1 12 1 5 3 0 1 1 1A??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 0 2 10 1 1 10 0 0 0????????? 所以一般解為 1 3 42 3 42x x xx x x?? ??? ???（其中 3x ， 4x 是自由元） 6．當 ? 取何值時，線性方程組 1 2 31 2 31312451x x xx x xxx?? ? ???? ? ???? ? ?? 有解？并求一般解． 解 因為增廣矩陣 1 1 1 12 1 41 0 5 1A ??????????1 1 1 10 1 6 20 1 6 2?????? ? ? ???1 0 5 10 1 6 20 0 0 ?????????? 所以，當 ? =0 時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 13235162xx???? ?? ?? (x3 是自由未知量〕 五、應用題 1． 投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 36（萬元），且邊際成本為