電子技術課程設計-巴特沃思帶通濾波器的設計-文庫吧
2025-05-12 21:47 本頁面
【正文】 線性、時不變數字濾波器 。 a： 雙線性變換法的原理 為了克服脈沖響應不變法所存在的缺點，提出采用雙線性變換法。 該法的基本思想是首先按給定的指標設計一個模擬濾波器，其次將這個模擬濾波器的系統(tǒng)函數 H (s)，通過適當的數學變換方法把無限寬的頻帶，變換成頻帶受限的系統(tǒng)函數 H (s~)。最后再將 H (s~)進行常規(guī) z變換，求得數字濾波器的系統(tǒng)函數 H (z)。這樣由于在數字化以前已經對頻帶進行了壓縮，所以數字化以后的頻響可以做到無混疊效應。顯然，這里尋找壓縮頻帶而又能滿足上述映射條件的變換式是個關鍵。 上圖 雙線性變換法的映射關系 設將 s平面映射到 s~平面存在下列的關系式 （ ） 式中 s ~= σ ~ + jω ~， C為變換常數，在式的右邊是以 ω ~表示的周期函數，其周期為 2π / T 。如果考慮頻率特性則分別以 s = jω ， s~ = jω ~代入式（ ）故得： () 現(xiàn)以 ω 為縱坐標， Ω ~=ω ~T 為橫坐標，則模擬與數字頻率變量間的關系將如圖 所示。結合式（ ）不難看出； s的左半平面與 s~的左半平面相對應；s的右半平面與 s~的右半平面相對應； s平面的虛軸與 s~平面的虛軸相對應。它們之間主要的區(qū)別在于 s平面 ∞ω∞ 的無限頻率范圍，被映射到 s~平面的主值范圍內 ,即： 也就是說，通過變換式（ ），把整個 s平面映射到 s~平面以 +ω s/2為邊界的水平窄區(qū)內。這避免數字化后可能出現(xiàn)的頻譜混疊提供了必要條件。 為了求出數字濾波器的系統(tǒng)函數，最后還得通過常規(guī) z變換將 s~平面變換到z平面上來，其關系式為： () 顯見，這時在 s~左半平面的窄區(qū)就被映射到 z 平面的單位圓內?，F(xiàn)將式（ ）代入式 ()最后求得： 或 (） 該式是兩個線性函數之比，稱為線性分式變換，若把它展開求 z，則得： （ ） 可見，其反變換也是線性分式函數，所以這種變換是雙向的，因此叫做雙線性變換。雙線性變換仍然具有將 s的左半平面映射到 z 平面單位圓內 。jω 軸映射到單位圓上的基本性質。因為當 σ=0 時， │z│=1 ，說明 s平面 jω 軸映射到z平面單位圓上。當 σ0 時，上式中的分母大于分子 │z│1 ，說明 s左半平面映射到 z 平面單位圓 內。因而它們一一對應，有著單值關系，是一種保角交換。因此一個穩(wěn)定的模擬濾波器，通過雙線性變換只能得到一個（唯一）穩(wěn)定的數字濾波器。它不象脈沖響應不變法那樣，由于在 z平面與 s平面之間的映射存在著多值關系，以至在 s平面上許多不同的 ω 值，映射到 z 平面后都重疊在一個點子上，造成頻譜混疊。由此可見，雙線性變換法將；頻帶嚴格限制在 ω s/2 范圍內，從根本上消除了頻譜混疊。
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