【正文】 分形的應(yīng)用 分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一?；ǚ郏瑫?huì)看見它不間斷地作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)（布朗運(yùn)動(dòng)）， 這是花粉在大量液體分子的無規(guī)則碰撞下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo)數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是 2，大大高于它的拓?fù)渚S數(shù) 1。 在某些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近成績的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。 自然界中更大的尺度上也存在分形對(duì)象。一枝粗干可以分出不 規(guī)則的枝杈，理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第一章 分形概論 2 每個(gè)枝杈繼續(xù)分為細(xì)杈??，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學(xué)去測量。當(dāng)然，還有海岸線的長度到底是多少這個(gè)問題也用到分形。 有人研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從 1 公里到 1000 公里的無標(biāo)度區(qū)。小于 1 公里的云朵，更受地形概貌影響，大于 1000 公里時(shí)，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個(gè)數(shù)量級(jí)的無標(biāo)度區(qū)。分形存在于這中間區(qū)域。 近幾年在流體力學(xué)不穩(wěn)定性、光學(xué)雙穩(wěn)定器件、化學(xué)震蕩反映等試驗(yàn)中，都實(shí)際測得了混沌吸引子，并從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中計(jì)算出它們的分維。學(xué)會(huì)從實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)測算分維是最近的一大進(jìn)展。分形幾何學(xué)在物理學(xué)、生物學(xué)上的應(yīng)用也正在成為有充實(shí)內(nèi)容的研究領(lǐng)域。 本文選題的背景 分形幾何，這門新的數(shù)學(xué)分支一創(chuàng)立，就日益受到各國學(xué)者的重視，在過去的十幾年里，分形科學(xué)已有了很大的發(fā)展。她在純數(shù)學(xué)、物理學(xué)、材料科學(xué)、地質(zhì)勘探、疾病診斷、股價(jià)預(yù)測以及計(jì)算機(jī)和信息科學(xué)等許多領(lǐng)域中，都得到了廣泛的應(yīng)用。并且由于分形幾何方法的引入，使一些原已死寂的老學(xué)科方向煥發(fā)了新的生機(jī)，也使一些正蓬勃發(fā)展的新學(xué)科獲得了巨大的推動(dòng)力。分形幾何與計(jì)算機(jī)科學(xué)的結(jié)合就是一個(gè)明顯的例證。一方面，分形理 論推動(dòng)了計(jì)算機(jī)繪圖方法的迅速發(fā)展，使計(jì)算機(jī)在信息壓縮及模仿自然現(xiàn)象中的各種奇妙圖形發(fā)揮了重要的作用；另一方面，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用也大大地推動(dòng)了分形理論的發(fā)展，并且由于模擬分形圖成功而展現(xiàn)出優(yōu)美的分形圖像，迅速提高了分形這門新興科學(xué)的聲望，擴(kuò)大了她的影響。目前用計(jì)算機(jī)繪制分形圖是如此流行，以致不僅使繪制分形的算法理論與程序設(shè)計(jì)已成為一個(gè)獨(dú)立的研究方向，同時(shí)繪制的分形圖也已成了一種相當(dāng)時(shí)髦的藝術(shù)形式。并且分形圖形已經(jīng)開始應(yīng)用在包裝，服裝，陶瓷裝飾上面。分形理論已經(jīng)極廣泛地應(yīng)用在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，許多的計(jì)算機(jī)游戲與虛擬現(xiàn) 實(shí)中大量應(yīng)用到分形理論。 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 3 第二章 分形相關(guān)理論問題 Julia 集 Julia 集是分形中的一個(gè)經(jīng)典集合，它的基本函數(shù)形式為： 2()F Z Z C??，其中 Z 與 C 都為復(fù)數(shù)。先考慮 C=0 的情況， Z 是復(fù)數(shù)，即 Z=x+yi，則有： 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) 2z z z x y i x y i x y i x y i x y x y i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 我們還可以定義復(fù)數(shù) z=x+yi 的絕對(duì)值，即： 22||z x y??，而 |Z|恰好相反是從原點(diǎn)到 Z 的距離。 下面討論 2()f z z? 的一些性質(zhì)，假設(shè)此方程以點(diǎn) 0 0 0z x y i?? ，且 0| | 1z? 開始迭代，則有： 220 0 0 0 0| ( ) | | 2 |F z x y x y? ? ? 2 2 2 20 0 0 0( ) ( 2 )x y x y? ? ? 4 4 2 2 2 20 0 0 0 0 024x y x y x y? ? ? ? 2 2 200()xy?? 因此，在區(qū)域 00 | | 1z??中， 00| ( ) | | |F z z? ，這意味著對(duì) 2()F z z? 的每一個(gè)一次迭代，即 21nnzz? ? ，都會(huì)使 z 向靠 0 的方向移動(dòng)，可以說此時(shí) z 向 0 收斂。 當(dāng) 0| | 1z ? 時(shí)，通過上面的計(jì)算，可以得知，此時(shí) z 會(huì)趨向于 ? 。 當(dāng) 0| | 1z ? 時(shí)，很顯然， z 是平面單位圓上的點(diǎn)。 于是，我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)平面上可分為兩個(gè)區(qū)域，一個(gè)區(qū)域合落在其中的點(diǎn)向0 收斂 ，而另一個(gè)區(qū)域合落在其中的點(diǎn)向 ? 逃逸，它們的分界線便是 0| ( )| 1Fz? 。 然而，當(dāng) 0C? 時(shí)，它向一個(gè)區(qū)域收斂，而不是向一個(gè)點(diǎn)收斂，被吸進(jìn)去的點(diǎn)會(huì)遍歷整個(gè)區(qū)間，我們稱這個(gè)區(qū)間為混沌區(qū)。與此同時(shí)，分割混沌區(qū)和向 ?逃逸的分界線不再是 0| ( )| 1Fz? 的單位圓，它將是一個(gè)不規(guī)則、不光滑的分界線 。 Julia 集圖形：見圖 。 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 4 逃逸時(shí)間算法的基本思想 根據(jù)上述想法，我們將吸引域的概念進(jìn)一步擴(kuò)展。如圖 所示，假設(shè)有一個(gè)充分大的整數(shù) N，當(dāng)未逃逸區(qū)域 M 中的初始點(diǎn) a 經(jīng)過小于 N 次迭代就達(dá)到未逃逸區(qū)域 M 的邊界，甚至超出了邊界，我們就認(rèn)為點(diǎn) a 逃逸出去了；而如果經(jīng)過 N 次迭代后， a 的軌跡仍未到達(dá) M 的邊界，我們就認(rèn)為 a 是 A 上的點(diǎn)，用這樣 的 方 法 描 繪 出 A 的 邊 界 圖 形 ， 這 就 是 逃 逸 時(shí) 間 算 法 的 基 本 思 想 。 圖 逃逸時(shí)間算法繪制 Julia 集與 Mandelbrot 集 1， 從逃逸時(shí)間算法的角度來看， Julia 集的內(nèi)部收斂于某一個(gè)點(diǎn)或者幾個(gè)點(diǎn)，而 Julia 集的外部隨著逃逸時(shí)間 t 的增加將發(fā)散至 ?，其逃逸邊界就是 Julia集。 Julia 集的逃逸時(shí)間算法如下： 假設(shè)繪圖窗口的寬度為 width，高度為 height。 ○ 1 選 定 參 數(shù) C p qi?? ， min min ? ? ? ， max max ??， M=100 ，maxTime=200，令： m a x m i n( ) /( 1 )x x x w id th? ? ? ? m a x m in( ) /( 1 )y y y h e igh t? ? ? ? 逃逸區(qū) M’ 收斂區(qū)域 A 未逃逸區(qū) M 逃逸邊界 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 5 其中 C 表示復(fù)數(shù)上一個(gè)點(diǎn)， minx ， maxx ， miny ， maxy 表示參數(shù)窗口大小， M 表示逃逸邊界值， maxTime 表示循環(huán)可以執(zhí)行的最大次數(shù)。對(duì)所有的點(diǎn)( , ) , 0 , 1 , 2 , 3. .. 1 0 , 1 , 2 , 3. .. 1x y x yn n n w idth n he ight? ? ? ?及，完成如下步驟的循環(huán)： ○ 2 令 0 min *xx x n x? ? ?，0 m in *yy y n y? ? ?， t=0。 ○ 3 根據(jù)下列的迭代過程從 ( , )ttxy 算出 11( , )ttxy??，計(jì)數(shù) t=t+1。 2211 2t t tt t tx x y py x y q??????? ○ 4 計(jì)算 22ttr x y??： 如果 rM? ，則轉(zhuǎn)到步驟 ○ 5 。 如果 rM? ，且 maxt Time? ，則轉(zhuǎn)至步驟 ○ 3 。 如果 maxt Time? ，轉(zhuǎn)到步驟 ○ 5 。 ○ 5 對(duì)點(diǎn) ( , )xynn 著色， 并轉(zhuǎn)至下一步，再頭從做步驟 ○ 2 。著色方案將在下面作詳細(xì)介紹。 Julia 集圖形：見圖 。 2， 繪制 Mandelbrot 集：設(shè) Z=x+yi， C=p+qi， C 的取值范圍為： min maxmin max:[ , ]:[ , ]p p pq q q ○ 1 假設(shè)繪圖窗口的寬度為 width ， 高 度 為 height 。m in m a x m in m a xp = 2 .2 ,p =1 .0 ,q = 1 .1 ,q =1 .4，逃逸半徑 M=100， maxTime=200，對(duì)繪圖窗口中所有的點(diǎn) ( , )pqnn ， 0 , 1 , 2... 1 , 0 , 1 , 2... 1pqn w idth n he ight? ? ? ?，完成如下步驟。 ○ 2 令 m a x m i n( ) /( 1 )x x x w id th? ? ? ? m a x m in( ) /( 1 )y y y h e igh t? ? ? ? ○ 3 利用下式從 ( , )kkxy 得到 11( , )kkxy??，計(jì)數(shù) k=k+1 2211 2k k kk k kx x y py x y q??????? ○ 4 計(jì)算 22ttr x y??： 如果 rM? ，則轉(zhuǎn)到步驟 ○ 5 。 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 6 如果 rM? ，且 maxt Time? ，則轉(zhuǎn)至步驟 ○ 3 。 如果 maxt Time? ，轉(zhuǎn)到步驟 ○ 5 。 ○ 5 對(duì)點(diǎn) ( , )pqnn著色，轉(zhuǎn)至 下一點(diǎn)，步驟 ○ 1 。 ○ 6 讀完所有參數(shù)空間的點(diǎn)（ p,q），結(jié)束循環(huán)。 Mandelbrot 集圖形：見圖 。 分形圖形著色方案 RGB 色彩模式是工業(yè)界的一種顏色標(biāo)準(zhǔn)，是通過對(duì)紅 (R)、綠 (G)、藍(lán) (B)三個(gè)顏色通道的變化以及它們相互之間的疊加來得到各式各樣的顏色的， RGB 即是代表紅、綠、藍(lán)三個(gè)通道的顏色，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)幾乎包括了人類視力所能感知的所有顏色，是目前運(yùn)用最廣的顏色系統(tǒng)之一。目前的顯示器大都是采用了 RGB 顏色標(biāo)準(zhǔn)，目前的電腦一般都能顯示 32 位顏色，約有一百萬種以上的顏色。 在數(shù)字視頻中，對(duì) RGB 三基色各進(jìn)行 8 位編碼就構(gòu)成了大約 萬種顏色，這就是我們常說的真彩色。 我們對(duì)分形圖形進(jìn)行著色也使用這種色彩模型。 顏色設(shè)置：我們根據(jù)逃逸時(shí)間算法的循環(huán)次數(shù)來給分形圖著色，假定 k 為循環(huán)次數(shù)，也就是上面所說的逃逸時(shí)間， time 為顏色銳化值， m_nRed， m_nGreen，m_nBlue 為 R， G， B 的初始值，有如下結(jié)果： k *= time。 red = k + m_nGreen。 green = k +m_nBlue。 blue = k + m_nRed。 下面對(duì)求得的 red， green， blue 三個(gè)值進(jìn)行變換。因?yàn)槌绦蚶L圖時(shí)使用 24位真彩色，所以 R,G,B 三個(gè)值的大小都不應(yīng)該超過 8 位的最大值，即 255，而這個(gè) 8 位的最大值，用 16 進(jìn)制表示就是 0xFF。如果 R,G,B 中的任何一個(gè)值大于0xFF，就對(duì)其進(jìn)行 ^0xFF 的位運(yùn)算。然后再將根據(jù)上述步驟求得的 R、 G、 B，用函數(shù) RGB(R,G,B)換成色彩，從而實(shí)現(xiàn)對(duì) Julia 集的著色。用計(jì)算機(jī)語言來表示就是這樣： if ((red amp。 0x1FF) 0xFF) red = red ^ 0x1FF。 if ((green amp。 0x1FF) 0xFF) 理學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第二章 分形 相關(guān) 理 論 問題 7 green = green ^ 0x1FF。 if ((blue amp。 0x1FF) 0xFF) blue = blue ^ 0x1FF。 上面的 red， green， blue 分別表示 RGB 顏色模型中的 R， G， B。 red， green，blue 與 0x1FF 進(jìn)行 amp。運(yùn)算表示取這三個(gè)值的最低九個(gè)位， amp。運(yùn)算在這里表示按位與運(yùn)算符，它對(duì)運(yùn)算符兩邊的數(shù)字的每一個(gè)位進(jìn)行計(jì)算，如果兩個(gè)位都為 1 的話，那么運(yùn)算結(jié)果就為 1，否則為 0。 ^運(yùn)算在這里表示按位異或運(yùn)算符，它 對(duì)運(yùn)算符兩邊的數(shù)字的每一個(gè)位進(jìn)行計(jì)算，如果兩個(gè)位不同的話，那么運(yùn)算結(jié)果就為 1，否則為 0。這個(gè)算法主要是為了平滑分形圖形的色彩變化，讓圖形看起來更有美感。 Julia 集與 Mandelbrot 集圖形的矢量變換 1， Julia 集與 Mandelbrot 集的矢量移動(dòng)：在逃逸時(shí)間算法中，一共有兩個(gè)窗口，一個(gè)是繪圖窗口，一個(gè)是參數(shù)窗口，其中繪圖窗口的大小與位置相對(duì)來說是固定的，因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)的是窗口的分辨率。實(shí)際上， Mandelbrot 集是將參數(shù) C 走遍參數(shù)窗口的所有值，經(jīng)過逃逸時(shí)間算法的運(yùn)算最終在繪圖窗口中畫出圖來，那么 參數(shù)窗口的大小和位置就決定了所繪 Mandelbrot 集的放大區(qū)域。如果要對(duì)窗口中的圖形進(jìn)行移動(dòng)，我們可以選擇使用移動(dòng)參數(shù)窗口的方法來實(shí)現(xiàn)。只要將鼠標(biāo)移動(dòng)的位置大小轉(zhuǎn)換成參數(shù)窗口移動(dòng)的位置大小就可以了。令 m a x m i n( ) /( 1 )x x x w id th? ? ? ?， m a x m in( ) /( 1 )y y y h e igh t? ? ? ?，xMin， yMin， xMax， yMax 代表