高數(shù)線性代數(shù)第一章-文庫(kù)吧
2025-04-24 22:45 本頁(yè)面
【正文】 分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之 和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)． ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ., 13232221212 并討論奇偶性的逆序數(shù)求排列kkkkkk???? ?解 例１ 一、計(jì)算排列的逆序數(shù) 。0,2 故逆序數(shù)為排在首位k。1),2(11 故逆序數(shù)為大的數(shù)有一個(gè)的前面比 k。1 ),2()12()12( 逆序數(shù)為 故大的數(shù)有一個(gè)的前面比 kkk ??。2),12,2(22 數(shù)為故逆序大的數(shù)有兩個(gè)的前面比 ?kk。2),12,2(2222 故逆序數(shù)為大的數(shù)有兩個(gè)的前面比 ??? kkkk?????? 。1),2,12,2(111 ??????kkkkkkk故逆序數(shù)為個(gè)大的數(shù)有的前面比?。1),2,12,2(111 ??????kkkkkkk故逆序數(shù)為個(gè)大的數(shù)有的前面比?。),1,12,2( kkkkkkk故逆序數(shù)為個(gè)大的數(shù)有的前面比 ?? ?? ? ? ? kkkt ??????????? 1122110 ?? ?? ?? ? kkk ?????211122k?當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列， k當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列． k于是排列的逆序數(shù)為 １ 用定義計(jì)算（證明） 例２ 用行列式定義計(jì)算 000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD ?二、計(jì)算（證明）行列式 的非零元素分別得到行可能中第那么，由行的元素分別為中第設(shè)5,4,3,2,1,,5,4,3,2,1554321554321DaaaaaDppppp解 .3,2。3,2。5,4,3,2,1。5,4,3,2,1。3,254321?????ppppp.05,,554321?Dppppp故元排列也不能組成，一個(gè)在上述可能取的代碼中因?yàn)? 評(píng)注 本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn) 順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注 意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般 方法． . 2 于零還多，則此行列式必等素比階行列式中等于零的元如果一個(gè)nnn?注意 例３ 設(shè) ,2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn????????,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn?????????????.2DD ?１證明：證明 由行列式的定義有 .,)1( 21211 21的逆序數(shù)是排列其中 ppptaaaDnpnpptn??? ??.,)1( )())(()1( 21)()21(212211221212211的逆序數(shù)是排列其中 ppptbaaabababaDnpppnpnpptpnpnpppptnnnn????? ??????????? ??? ??,212 nppp n ??????? ??１而.)1( 1212 21 DaaaD ppp nnt ?? ?? ?所以 評(píng)注 本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩 點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一 項(xiàng)所帶的符號(hào)相同．這也是用定義證明兩個(gè)行列 式相等的常用方法． ２ 利用范德蒙行列式計(jì)算 例４ 計(jì)算 利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德 蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。 .333222111222nnnDnnnn?????????，于是得到增至冪次數(shù)便從則方若提取各行的公因子，遞升至而是由變到序排列，但不是從次數(shù)自左至右按遞升次方冪數(shù)的不同方冪中各行元素分別是一個(gè)10.1,10,??nnnD n解 .1333122211111!121212nnnnDnnnn????????????? 上面等式右端行列式為 n階范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 !.1!2)!2()!1(!)]1([)2()24)(23()1()13)(12(!)(!1?????????????????? ?????nnnnnnnnxxnDjinjin 評(píng)注 本題所給行列式各行（列）都是某元 素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如 提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行 列式化成范德蒙行列式． ３ 用化三角形行列式計(jì)算 例５ 計(jì)算 .43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxD nnnn??????????
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