統(tǒng)計(jì)學(xué)區(qū)間估計(jì)詳細(xì)講解-文庫(kù)吧
2025-04-22 23:15 本頁(yè)面
【正文】 定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 s作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值，仍然采用上述區(qū)間估計(jì)的方法進(jìn)行總體參數(shù)的估計(jì)。 ? 未 知 時(shí) 的 大 樣 本 下 的 區(qū) 間 估 計(jì)nZx ?? ??2值。的為側(cè)尾部中所提供的面積為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右）為置信系數(shù)；式中，（Z212???Z?未知時(shí)的大樣本情況?STAT 【 例 2】 斯泰特懷特保險(xiǎn)公司每年都需對(duì)人壽保險(xiǎn)單進(jìn)行審查，現(xiàn)公司抽取 36個(gè)壽保人作為一個(gè)簡(jiǎn)單隨即樣本，得到關(guān)于、投保人年齡、保費(fèi)數(shù)量、保險(xiǎn)單的現(xiàn)金值、殘廢補(bǔ)償選擇等項(xiàng)目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險(xiǎn)投保人總體平均年齡的 90%的區(qū)間估計(jì)。 投保人 年齡 投保人 年齡 投保人 年齡 投保人 年齡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 50 40 24 33 44 45 48 44 10 11 12 13 14 15 16 17 18 47 31 36 39 46 45 39 38 45 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 43 54 36 34 48 23 36 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 34 39 34 35 42 53 28 49 39 STAT 上表是一個(gè)由 36個(gè)投保人組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的年齡數(shù)據(jù)?，F(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計(jì)。 分析：區(qū)間估計(jì)包括兩個(gè)部分 —— 點(diǎn)估計(jì)和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計(jì)。 解：已知 （ 1）樣本的平均年齡 （ 2）誤差邊際 %90136 2 ???? ?? Zn ，（大樣本）， 36405032 ?????????? ? n xxs2樣本標(biāo)準(zhǔn)差（未知）總體標(biāo)準(zhǔn)差????? ???nZxSTAT 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 誤差邊際 （ 3） 90%的置信區(qū)間為 177。 即（ ， ）歲。 注意 （ 1）置信系數(shù)一般在抽樣之前確定，根據(jù)樣本所建立的區(qū)間能包含總體參數(shù)的概率為 （ 2）置信區(qū)間的長(zhǎng)度（準(zhǔn)確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動(dòng)，若要提高估計(jì)準(zhǔn)確度，可以擴(kuò)大樣本容量來達(dá)到。 1)(2???? ?nxxs36*22???????nsZnZx ?? ?STAT ：小樣本的情況 在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。我們討論總體服從正態(tài)分布的情況。 t分布的圖形和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形類似，如下圖示： ???????)(30n???stxx分布服從未知總體標(biāo)準(zhǔn)差服從正態(tài)分布已知總體標(biāo)準(zhǔn)差小樣本STAT 0 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 t分布（自由度為 20） t分布（自由度為 10） 圖 2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與 t分布的比較 STAT 在ｔ分布中，對(duì)于給定的置信度，同樣可以通過查表找到其對(duì)應(yīng)的臨界值 ，利用臨界值也可計(jì)算區(qū)間估計(jì)的誤差邊際 因此，總體均值的區(qū)間估計(jì)在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的小樣本情況下可采用下式進(jìn)行： 假定總體服從正態(tài)分布； 2?tnst ?2?nsZx ??2?值。的供的面積為分布的右側(cè)尾部中所提）的自由度為（為在為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差；）為置信系數(shù)；式中，（t2t1n12?? ?ts?STAT 【 例 3】 謝爾工業(yè)公司擬采用一項(xiàng)計(jì)算機(jī)輔助程序來培訓(xùn)公司的維修支援掌握及其維修的操作，以減少培訓(xùn)工人所需要的時(shí)間。為了評(píng)價(jià)這種培訓(xùn)方法，生產(chǎn)經(jīng)理需要對(duì)這種程序所需要的平均時(shí)間進(jìn)行估計(jì)。以下是利用新方對(duì)１５名職員進(jìn)行培訓(xùn)的培訓(xùn)天數(shù)資料。 根據(jù)上述資料建立置信度為９５％的總體均值的區(qū)間估計(jì)。（假定培訓(xùn)時(shí)間總體服從正態(tài)分布）。 職員 時(shí)間 職員 時(shí)間 職員 時(shí)間 １ ５２ ６ ５９ １１ ５４ ２ ４４ ７ ５０ １２ ５８ ３ ５５ ８ ５４ １３ ６０ ４ ４４ ９ ６２ １４ ６２ ５ ４５ １０ ４６ １５ ６３ STAT 解：依題意，總體服從正態(tài)分布，ｎ＝１５（小樣本），此時(shí)總體方差未知?？捎米杂啥葹椋?n1） =14的 t分布進(jìn)行總體均值的區(qū)間估計(jì)。 樣本平均數(shù) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 誤差邊際 95%的置信區(qū)間為 63554452 ?????????? ? n xx14 5 11)(2????? ?nxxs15*2?????nstx ? 177。 即（ ， ）天。 STAT 誤差邊際 其計(jì)算需要已知 若我們選擇了置信度 由此，得到計(jì)算必要樣本容量的計(jì)算公式： nZx ?? ???2。和樣本容量 n,2??Z2,1 ?? Z就可以確定?2Zn??在 已 知 和 后 ， 我 們 可 以 求 出 誤 差 邊 際 為 任 何 數(shù) 值 時(shí) 的樣 本 容 量等于期望的誤差邊際。令 E)(222222 EZnEZnnZE?????? ????????STAT 【 例 4】 在以前的一項(xiàng)研究美國(guó)租賃汽車花費(fèi)的研究中發(fā)現(xiàn)，租賃一輛中等大小的汽車，其花費(fèi)范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天 36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天 元不等，并且租金的標(biāo)準(zhǔn)差為 。假定進(jìn)行該項(xiàng)研究的組織想進(jìn)行一項(xiàng)新的研究，以估計(jì)美國(guó)當(dāng)前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設(shè)計(jì)該項(xiàng)新的研究時(shí)，項(xiàng)目主管指定對(duì)總體平均日租賃支出的估計(jì)誤差邊際為 2美元，置信水平為 95%。
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1