直線和平面所成的角與二面角第1課時-文庫吧
2025-04-20 21:38 本頁面
【正文】 D、 PB的中點 . (1)求證 :平面 AEF⊥ 平面 PAB。 (2)設(shè) AB= BC，求直線 AC與 平面 AEF所成的角的大小 . 2題型 1 求直線和平面所成的角 解法 1： (1)證明：連結(jié) PE. 因為 PD⊥ 底面 ABCD， 所以 PD⊥ CE=ED， PD= AD=BC， 所以 Rt△ BCE≌ Rt△ PDE， 所以 PE=BE. 因為 F為 PB的中點， 所以 EF⊥ PB. 由三垂線定理，得 PA⊥ AB. 所以在 Rt△ PAB中， PF=AF. 又 PE =BE=AE， 所以 △ EFP≌ △ EFA，所以 EF⊥ FA. 因為 PB、 FA為平面 PAB內(nèi)兩相交直線， 所以 EF⊥ 平面 PAB， 故平面 AEF⊥ 平面 PAB. (2)不妨設(shè) BC=1，則 AD=PD=1， AB = 2， PA=2， AC=3. 所以 △ PAB為等腰直角三角形 ,且 PB =2. 因為 F為斜邊 PB的中點，所以 BF= 1， 且 AF⊥ PB. 又 EF⊥ PB，所以 PB⊥ 平面 AEF. 連結(jié) BE，交 AC于 GH∥ BP交 EF于 H， 則 GH⊥ 平面 AEF， 所以 ∠ GAH為 AC與平面 AEF所成的角 . 由 △ EGC∽ △ BGA可知， EG= GB， 所以 EG= EB，從而 AG= AC= . 由 △ EGH∽ △ EBF可知， GH= BF= . 所以在 Rt△ AHG中 ， 所以 AC與平面 AEF所成的角為 arcsin . 121323233133s in6GHG A HAG? ? ?3613解法 2： 以 D為坐標原點， DC、 DA、 D P 所在直線分別為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角 坐標系，如圖 . (1)設(shè)點 A(0， 1， 0)， 點 E(a， 0， 0) (a＞ 0)， 則點 C(2a， 0， 0)， B(2a， 1， 0)， P(0， 0， 1)， F(a， ， )， 所以 =(0， ， )， =(2a， 1， 1)， =(2a， 0， 0). 12EF PBPB121212于是 ， ， 所以 EF⊥ PB， EF⊥ AB. 則 EF⊥ 平面 PAB，故平面 AEF⊥ 平面 PAB. (2)由 ，得 a= ， 所以 =( ， 1， 0)， =( ， 1， 1)， =( ， ， ). 于是 ，所以 PB⊥ AF. 又 PB⊥ EF，所以 PB⊥ 平面 AEF， 0E F PB?? 0E F A B??2222A C B C?AC PB 2AF 22 12 120PB A F??即 是平面
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