【正文】 14．已知向量組??????????????????????????????????????????????4212,0510,2001321 t??? 的秩為 2，則數(shù) t=__3__． ???????????????????????????????????????????????000300110201000250110201402250110201ttt ，秩為 2，則 3?t ． 15．設(shè)向量 )1,21,1,2( ???，則 ? 的長度為 __5/2__． 16．設(shè)向量組 )3,2,1(1 ?? ， )6,5,4(2 ?? ， )3,3,3(3 ?? 與向量組 321 , ??? 等價，則向量組 321 , ???的秩為 __2__． ??????????????????????????????????????000630321630630321333654321 ，秩為 2． 17．已知 3 階矩陣 A 的 3 個特征值為 3,2,1 ，則 ??||A __36__． ??||A 36)321(|||| 221 ?????? AA n ． 18．設(shè) 3 階實(shí)對稱矩陣 A 的特征值為 0,3 321 ??? ??? ，則 r(A)= __2__． A 相似于??????????000030003 ， r(A)=2． 19．矩陣 A=????????????314122421 對應(yīng)的二次型 f =323121232221 28432 xxxxxxxxx ????? ． 20．設(shè)矩陣 A= ????????? 10 02， 則二次型 AxxT 的規(guī)范形是 2221 yy ? ． 8 222122212 yyxxAxx T ????? ，其中 21 xy? ， 12 2xy ? ． 三、計(jì)算題（本大題共 6小題，每小題 9分，共 54分） 21．計(jì)算行列式 D=5021011321014321??? 的值． 解：93253100271264122271216413000122215021011321014321??????????????????????? 24)1527(293 532 ??????? ???? ． 22．已知 A= ????????? 21 41， B= ????????? 11 02， C= ???????? ?10 13，矩陣 X 滿足 AXB=C，求解 X． 解： ?),( EA ????????? 10 0121 41? ???????? 11 0160 41? ???????? 11 0360 123? ???????? ?11 2160 03 ? ???????? ? 6/16/1 3/23/160 01， ??1A ???????? ? 6/16/1 3/23/1； ?)( EB ????????? 10 0111 02 ? ????????? 20 0122 02 ? ???????? 21 0120 02 ? ???????? 12/1 02/110 01 ，??1B ???????? 12/1 02/1． ?? ?? 11CBAX ???????? ? 6/16/1 3/23/1 ???????? ?10 13 ???????? 12/1 02/1= ???????? ?11 42121 ???????? ?10 13 ???????? 21 01 = ???????? 03 66121 ???????? 21 01= ???????? 03 1212121= ???????? 04/1 11． 23． 求向量 T)2,1,3( ??? 在基 T)2,1,1(1 ?? ， T)1,3,1(2 ??? ， T)1,1,1(3 ?? 下的坐標(biāo)，并將 ? 用此基線性表示． 解：設(shè) 332211 ???? xxx ??? ，即 TTTT xxx )1,1,1()1,3,1()2,1,1()2,1,3( 321 ????? ，得 9 ???????????????22133321321321xxxxxxxxx ， ?A????????????211211313111 ???????????????413040403111 ???????????????413010103111 ???????????????110010103111 ?????????????110010103111 ?????????????110010102020 ????????????110010101001 ， 11?x ， 12 ??x ， 13?x ． ? 在基 321 , ??? 下的坐標(biāo)是 )1,1,1( ? ， 321 ???? ??? ． 24．設(shè)向量組 321 , ??? 線性無關(guān)，令 311 ??? ??? ， 322 22 ??? ?? ， 3213 352 ???? ??? ，試確定向量組 321 , ??? 的線性相關(guān)性． 解：設(shè) 0332211 ??? ??? kkk ，即 0)352()22()( 3213322311 ???????? ??????? kkk ， 0)32()52()2( 3321232131 ???????? ??? kkkkkkk ， 由 321 , ??? 線性無關(guān)，得?????????????032052023213231kkkkkkk ， 052 52321520520321520201??????????? ，有非零解，321 , ??? 線性相關(guān)． 25．已知線性方程組?????????????????322321321321????xxxxxxxxx ， （ 1）討論 ? 為何值時，方程組無解、有惟一解、有無窮多個解． （ 2）在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解（用一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示 ）． 解： ?),( bA?????????????311211211???? ?????????????????3311001102112 ?????? ?????????????????)1(3)2)(1(000110211??????． （ 1） 2??? 時無解， 2??? 且 1?? 時惟一解， 1?? 時有無窮多 個解． 10 （ 2） 1?? 時， ?),( bA?????????? ?000000002111 ，???????????3322321 2xxxxxxx ，通解為 ???????????????????????????????????10101100221 kk． 26．已知矩陣 A=??????????111111111 ，求正交矩陣 P 和對角矩陣 ? ，使 ??? APP 1 ． 解：111111111)3(113113113111111111||????????????????????????????????????????? AE )3(0101001)3( 2 ???? ????? ，特征值 021 ???? ， 33?? ． 對于 021 ???? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ????????????????????????????????000000111111111111AE? ， ?????????3322321xxxxxxx ，基礎(chǔ)解系為????????????0111?，????????????1012?，正交化：令 ?1?????????????0111?，??????????????????????? ???????????? ????12/12/101121101||),(1211222 ?????? ，單位化：令???????????? ???????????? ???02/12/101121||1111 ???，?????????????????????????????6/26/16/112/12/162||1222 ???； 對于 33?? ，解齊次線性方程組 0)( ?? xAE? ： ????????????????????????????????????????????????????????????????000330112330330112422242112211121112AE? ????????????????????????????????????????000110101000110202000110112 ，????????333231xxxxxx ，基礎(chǔ)解系為???????????1113?， 單位化： 11 令?????????????????????????3/13/13/111131||1333 ???． 令????????????????3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，????????????300000000 ，則 P 是正交矩陣，使 ??? APP 1 ． 四、證明題（本題 6分） 27．設(shè) ? 為非齊次線性方程組 Ax=b 的一個解， r??? , 21 ? 是其導(dǎo)出組 Ax=0 的一個基礎(chǔ)解系．證明 r???? , 21 ? 線性無關(guān)． 證：設(shè) 02211 ????? rrkkkk ???? ?，則 0)( 2211 ????? rrkkkkA ???? ?， 02211 ????? rr AkAkAkkA ???? ?， 0000 21 ????? rkkkkb ?， 0?kb ， 由 0?b ，得 0?k （ 1） 從而 02211 ???? rrkkk ??? ? ， 由 r??? , 21