【正文】 統(tǒng)穩(wěn)定性的研究是自然科學(xué)與工程技術(shù)中特別受人們關(guān)注的問題。經(jīng)典的例子是太陽系的穩(wěn)定性， 旋轉(zhuǎn)流體所構(gòu)成的穩(wěn)定性等。近些年來世界各國對于運(yùn)動穩(wěn)定性的理論極為關(guān)注。這個由著名俄國科學(xué)家李雅普諾夫在上世紀(jì)九十年代所開創(chuàng)的理論在工程技術(shù)與物理科學(xué)的各個部門得到了廣泛的應(yīng)用。 李雅普諾夫意義下的運(yùn)動穩(wěn)定性理論研究的是干擾性因素對物質(zhì)系統(tǒng)運(yùn)動的影響。所謂干擾性因素指的是那些在描述運(yùn)動時因?yàn)楹突玖ο啾壬跣《醇右钥紤]的力。通常這些力是不確切知道的，它們可以是瞬時的作用，因而引起系統(tǒng)初始狀態(tài)的微小變化。 眾所周知，對于不同的運(yùn)動，微小的干擾因素對系統(tǒng)的影響是不同的。對于一些運(yùn)動來說，這種影響并不明顯，所以不 受干擾的運(yùn)動與受干擾的運(yùn)動差異很小；相反，對于另外一些運(yùn)動，干擾對于運(yùn)動的影響可能很明顯，以至于無論干擾的力多小，隨著時間的推移，不受干擾的運(yùn)動與受干擾的運(yùn)動差異可能很大。簡而言之，符合第一類的運(yùn)動稱之為穩(wěn)定的；而第二類的運(yùn)動則稱之為不穩(wěn)定的。研究運(yùn)動穩(wěn)定性理論就是建立一些準(zhǔn)則用以判斷所要考察研究的運(yùn)動是否是穩(wěn)定的。 在實(shí)際應(yīng)用中自動控制系統(tǒng)能正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。所以，對于自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究，一直是控制理論研究的重要課題?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性通常從兩個方面進(jìn)行定義：第一外部穩(wěn)定性，其指的 是系統(tǒng)在零初始條件下通過外部狀態(tài)也就是由系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系所給出的外部穩(wěn)定性，即有界輸入有界輸出穩(wěn)定。外部穩(wěn)定性只對于線性系統(tǒng)適用。第二內(nèi)部穩(wěn)定性，其指的是系統(tǒng)在零輸入條件下通過其內(nèi)部狀態(tài)變化所給出的內(nèi)部穩(wěn)定性，即狀態(tài)穩(wěn)定。內(nèi)部穩(wěn)定性不僅適應(yīng)于線性系統(tǒng)，同時也適用于非線性系統(tǒng)。只有滿足一定條件下兩種定義的同一線性系統(tǒng)才具有等價性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身所具有的一種特性，只和系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)而與系統(tǒng)的輸入輸出無關(guān)。在線性定常系統(tǒng)的分析中，基于李雅普諾夫第一法的一些穩(wěn)定性判據(jù)，例如， Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù) 、 Routh 以及 Hurwitz 穩(wěn)定判據(jù) [11]都為我們提供了特別方便和實(shí)用的判別穩(wěn)定性的方法。而對于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，上面所提及的各種穩(wěn)定判據(jù)就不能直接應(yīng)用，在這種情況下李雅普諾夫第二法，又稱李雅普諾夫直接法，則是確定線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性更為一般的方法。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 5 穩(wěn)定性的基本概念 本節(jié)主要介紹了李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性的定義，李雅普諾夫函數(shù)以及采用李雅普諾夫直接法所得到的穩(wěn)定的、漸近穩(wěn)定的、大范圍漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定的概念，并利用適當(dāng)?shù)睦觼黻U述概念之間在理解上可能造成的誤解。 常 用符號說明 英文大寫字母用來表示矩陣，例如 A B X Y， ， ， ；英語小寫字母用來表示向量，例如 a b x y， ， ， 。 用帶下標(biāo)的小寫希臘字母表示向量的分量和矩陣的元素，希臘字母的選取和所表示的向量和矩陣的英文字母相對應(yīng)，其下標(biāo)表示他在向量和矩陣中的位置，例如 a 的第 i 個分量表示為 ia ， A 的 ? ? ij， 元素表示為 ija 等。用小寫希臘字母表示標(biāo)量，例如 ? ? ? ?， ， ， 。一般用 t 表示時間。 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ? ? ( , ) ( 1 .1 )X X t? ， 其中， X 是系統(tǒng)的狀態(tài)向量， 1n? 矩陣即 ? ?12 TnX x x x? ； ? ?? ,t? 是狀態(tài)向量 X及時間 t 的函數(shù)向量即 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2? , , , , TnX t f x t f x t f x t? ????。設(shè)在已給定的初始條件下，系統(tǒng)的狀態(tài)方程（ ）有唯一解 ? ?00,t X t? 且 ? ?0 0 0,t X t X??，其中 t是時間變量， 0t 為初始時刻， 0X 為狀態(tài)向量 X 的初始值。 由（ ）給出的系統(tǒng)，對于所有的 t ，如果總存在 ? ? ? ?? , 0 1 .2eXt ? ， 那么 eX 則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。對于線性定常系統(tǒng)，則 ?( , )X t AX? ，并且當(dāng) A是非奇異矩陣時，該系統(tǒng)的平衡狀態(tài)唯一；當(dāng) A 為奇異矩陣時，則該系統(tǒng)的平衡狀態(tài)有無窮多個。如果系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可以有一個或多個，且與系統(tǒng)的常直解相對應(yīng)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài) eX 可以通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 6 點(diǎn)即 ?(0, ) 0t ? 處。所以，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，重點(diǎn)是研究系統(tǒng)平衡狀 態(tài)的穩(wěn)定性，尤其是分析坐標(biāo)原點(diǎn)所代表的狀態(tài)的穩(wěn)定性。 在介紹穩(wěn)定性定義之前首先引入一個定義歐幾里德范數(shù)，即應(yīng)用范數(shù)表示以平衡狀態(tài) eX 為圓心，半徑是 k 的球域 ,eX X k?? 式中 eXX? 稱為歐幾里德范數(shù)，? ?2 221 1 2 2( ) ( )e e e n e nX X x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)滿足 0eX? 及 2n? 時，2211X x x c? ? ?即 2 2 212x x c??，其表示狀態(tài)平面上以原點(diǎn)為圓心 c 為半徑的圓；當(dāng)滿足 0eX? 及 3n? 時 2 2 21 2 3X x x x? ? ?，其表示以狀態(tài)空間原點(diǎn)為球心 c 為半徑的球域。 設(shè) ()S? 是含有滿足 eXX ???的所有點(diǎn)的一個球域， ()S? 是含有滿足? ? ? ?0 0 0et X t X t t?? ? ? ?， ， 的所有點(diǎn)的一個球域，其中 ??， 為給定的常數(shù)。那么李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義可以表述為，如果系統(tǒng) ? ?( , )X X t? 對任意給定的 0?? 存在一個實(shí)數(shù) ? ?0 0t?? ?， ，使得當(dāng) eXX ???時，恒有? ? ? ?0 0 0et X t X t t?? ? ? ? ? ?， ， ，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。 定義中 ? 與 ? 、 0t 有關(guān)，當(dāng) ? 與 0t 無關(guān)時平衡狀態(tài) eX 稱為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。從定義我們可以看出，如果對于每一個球域 ()S? 總存在一個球域 ()S? 使得 t不斷增大時，從 ()S? 出發(fā)的軌跡不會離開 ()S? ，那么系統(tǒng)的平衡狀態(tài) eX 是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 若 eX 是系統(tǒng) ? ?( , )X X t? 的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，即從 ()S? 出發(fā)的每一條運(yùn)動軌跡? ?00,t X t? ，無論 t 多大都離不開球域 ()S? ，并且最終都能夠收斂到 eX 的附近，即 ? ?00lim et t X t X ??? ? ? ?， ，其中 ? 是任意選取的微量， 則稱平衡狀態(tài) eX 為濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 7 漸近穩(wěn)定的。若狀態(tài)方程（ ）在任意初始條件下的解，無論 t 多大都收斂于 eX ，則稱其為大范圍漸近穩(wěn)定。簡而易見，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是狀態(tài)空間內(nèi)平衡狀態(tài)唯一。如果線性系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定。若從球域 ()S? 出發(fā)的軌跡無論 ()S? 多小，只要有一條軌跡脫離 ()S? ，則稱其不穩(wěn)定的。 李雅普諾夫函數(shù)和標(biāo)量函數(shù)定號性 （ 1）李雅普諾夫函數(shù) 由于系統(tǒng)的形式多種多樣，所以很難找到一種定義“能量函數(shù)”的統(tǒng)一形式和簡便方法。為了解決這一問題，李雅普諾夫引入了一個虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)。它是具有更一般形式和能量含義的函數(shù)。在應(yīng)用中，只要符合李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件，任意一個標(biāo)量函數(shù)都可以作為李雅普諾夫函數(shù)。 李雅普諾夫函數(shù)的選取不唯一，多數(shù)情況下可取為二次型，因此二次型及其定號性是該理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [12]。 李氏函數(shù)和狀態(tài)變量 12, , , nx x x 及時間 t 有關(guān)系，一般用 ? ?,VXt 表示。用? ?VX表示不含 t 的李雅普諾夫函數(shù)。此函數(shù)的形式并不是惟一的，其中最簡單的形式是二次型函數(shù) ? ? TV x x Ax? 。二次型的形式一定適合線性系統(tǒng)。對于非線性系統(tǒng)來說 ? ?VX不一定都是這種簡單形式。在李雅普諾夫第二法之中，根據(jù)李雅普諾夫函數(shù) ? ?,VXt 和對時間 t 的導(dǎo)數(shù) ? ? ? ?, dV X tV X t dt? 的符號特征判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，不需要求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 （ 2）標(biāo)量函數(shù)定號性 如果對所有在域 ? 內(nèi)的非零狀態(tài) X 恒有 ? ? 0VX? ，以及在 0X? 處有? ?00V ? ，那么標(biāo)量函數(shù) ? ?VX在域 ? 內(nèi)是正定。如果標(biāo)量函數(shù) ? ?VX除了在狀態(tài)空間原點(diǎn)以及某些狀態(tài)處等于零外，對于域 ? 內(nèi)的所有狀態(tài)均為正定，那么? ?VX是正半定。 如果 ? ?VX? 是正定，那么標(biāo)量函數(shù) ? ?VX是負(fù)定。如果 ? ?VX? 是正半定，濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 8 那么標(biāo)量函數(shù)是負(fù)半定。如果無論域 ? 取多小， ? ?VX既可以是正也可以是負(fù)，那么這類標(biāo)量函數(shù)稱為不定。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 9 判別系統(tǒng) 穩(wěn)定性的李雅普諾夫方法 李雅普諾夫第一法 李雅普諾夫第一法又稱間接法，其基本思想是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解的情況進(jìn)而判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常系統(tǒng)只要解出特征方程的根就可以判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定性；而非線性不嚴(yán)重的系統(tǒng)可以先進(jìn)行線性化處理，得到與之相似的線性化方程，進(jìn)而再根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ? ?( , )X X t? ，其中， X 是系統(tǒng)的狀態(tài)向量； ?( , )Xt 是 n 維向量函數(shù)，且對于狀態(tài)向量 X 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在。若系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 0eX? ，將系統(tǒng)的狀態(tài)方程在 0eX? 鄰域展成泰勒級數(shù)得 ? ?? ( ) ,X AX B X?? 其中 1 1 1122 2 21212? ? ?? ? ?? ( , ).? ? ?nnTn n nnx x xXtx x xAXx x x? ? ?????? ? ?? ? ????? ? ??? ?????? ? ???? ? ??? AX 是狀態(tài)方程 ? ?( , )X X t? 的一次近似， ? ?BX 是一階以上各高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的總和。 李雅普諾夫第一法的主要內(nèi)容： （?。┤粼谝淮谓剖降南到y(tǒng)狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣 A 的特征值都是負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 0eX? 處是穩(wěn)定的，且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)無關(guān)。 （ⅱ）若在一次近似式的系統(tǒng)狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣 A 的特征值中至少有一個含有正實(shí)部時，無論高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)情況如何，系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 0eX? 處不穩(wěn)定。 （ⅲ）若一次近似式的系統(tǒng)狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣 A 包含有等于零的特征值，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ? ?BX 決定。當(dāng) ? ? 0BX? 時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 因此，李雅普諾夫第一法是依據(jù)系統(tǒng)矩陣 A 的特征值來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。運(yùn)用此法可以在不求出狀態(tài)方程解的條件下，直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)對于有界輸入 u 所引起的輸出 y 是有界的，濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 10 則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于 s 的左半平面。 例 2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 ? ?? 1 0 10 1 110X X uyX? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ????? 試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。 解： (1)由 A 陣的特征方程 ( 1 ) ( 1 ) 0 ,IA? ? ?? ? ? ? ? 可得特征值 121, 1???? ? 。故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。 (2)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ? ? ? ? ? ?11 1 0 1 11( ) ( ) 1 0 ,0 1 1 1 1 1s sW s C sI A B s s s s?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 可見傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 1s?? 位于 s 的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。這是因?yàn)榫哂姓龑?shí)部的特征值 2 1?? 被系統(tǒng)的零點(diǎn) 1s? 對消了，所以在系統(tǒng)的輸入輸出特性中沒被表現(xiàn)出來。由此可見，只有當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ()Ws不出現(xiàn)零、極點(diǎn)對消現(xiàn)象，并且矩陣 A 的特征值與系統(tǒng)傳遞函數(shù) ()Ws的極點(diǎn)相同，此時系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性一致 李雅普諾夫第二法 李雅普諾夫第二法又稱直接法。李雅普諾夫第二法是從能量觀點(diǎn)出發(fā)得來的，它的基本思想是建立在古典力學(xué)振動系統(tǒng)中一個直觀的物理事實(shí)上。如果系統(tǒng)的總能量（含動能和勢能）隨時間按增長而連讀的衰減，直到平衡狀態(tài)為止，那么振動系統(tǒng)是穩(wěn)定的。也就是說 如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨著時間的推移逐漸衰減，到達(dá)平衡狀態(tài)時，能量將達(dá)最小值，那么，這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越來越大，那么這個平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也不消耗，那么這個平衡 狀態(tài)就是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定 [13]。在李雅普諾夫第二法中，根據(jù)李雅普諾夫函數(shù) ? ?,VXt 和對時間 t 的導(dǎo)數(shù) ? ? ? ?, dV X tV X t d