【正文】 ∑ ??(??)?????2?????? ?? (?? = 0， 1， …， ??? 1) ???1??=0（ ） 被稱為序列 {x(N)}的離散傅里葉變換（ DFT）。而 ??(??) = 1??∑ ??(??)?????2?????? ?? (?? = 0， 1， …， ??? 1)???1??=0 （ ） 被稱為序列 {X(k)}的逆離散傅里葉變換（ IDFT）。 式（ ）中， N 相當(dāng)于對(duì)時(shí)間域的離散化， k 相當(dāng)于頻率域的離散化，且它們都是以 N 點(diǎn)為周期的。而離散傅里葉序列 {X(k)}是以 2??為周期的，且具有共軛對(duì)稱性。 式（ ）和式（ ）又可表示為 { ??(??) = ∑ ??(??)???1??=0???????? (?? = 0， 1， …， ?? ?1。???? = ?????2???? )??(??) = 1??∑??(??)????????? (?? = 0， 1， …， ??? 1) （ ） 由此，對(duì)于離散傅里葉序列 {X(k)}，可以用矩陣 的形式進(jìn)行表述 [ X(0)X(1)?X(k)?X(N1)] =[ 1 11 W? ?1 Wk… 1… Wk ?… Wk2 ? ? 1 WN1 ? … W(N1)k … 1… WN1 ?… …Wk(N1)?W(N1)2 ] [ x0x1?xk?xN1] （ ） 離散傅里葉變換（ DFT）是數(shù)字信號(hào)處理中最基本也是最常用的運(yùn)算之一，它涉及到信號(hào)與系統(tǒng)的分析和綜合這一廣泛的信號(hào)處理領(lǐng)域。 由式（ ）可知，求出 N 點(diǎn) X(k)需要 ??2次復(fù)數(shù)乘法， N（ N?1） 次復(fù)數(shù)加法。實(shí)現(xiàn)一次復(fù)數(shù)乘法需要 4次實(shí)數(shù)相乘及 2 次實(shí)數(shù)相加，實(shí)現(xiàn)一次復(fù)數(shù)相加需要 2 次實(shí)數(shù)相加。當(dāng) N 很大時(shí)，就算量會(huì)相當(dāng)大，例如，若 N=1024，則需要 1048576 次復(fù)數(shù)加法，需要 4194304次實(shí)數(shù)相乘，難以實(shí)現(xiàn)計(jì)算。 快速傅里葉變換 快速傅里葉變換算法（ FFT）利用 W 因子的周期性和對(duì)稱性， 使 DFT 運(yùn)算中有些項(xiàng)可以合并，并使 DFT 運(yùn)算分解為若干個(gè)小點(diǎn)數(shù)的 DFT。 FFT 使 N 點(diǎn) DFT的乘法計(jì)算量由 ??2次降為 ??2 log2??次。同時(shí)圍繞這一算法的新算法不斷涌現(xiàn)。到目前為止，快遞傅里葉變換的發(fā)展方向主要有兩個(gè)：一個(gè)是針對(duì) N 等于 2 的整數(shù)次冪的算法，如基 2 算法、基 4 算法等。 另一個(gè)是 N 不等于 2 的整數(shù)次冪的算法，以 WiNograd 為代表的一類算法 [10]。下面主要介紹時(shí)間抽取（ DIT）基 2FFT 算法。 對(duì)于式（ ），令 N=2??， M 為正整數(shù)。將 x(N)按奇、偶分成兩組，即令 N=2r及 N=2r+1 (r=0， 1， … ， N/2?1)， 于是 ??(??) = ∑??(2??)????2??????2?1??=0+ ∑ ??(2?? +1)????(2??+1)?? ??2?1??=0 由于式中 ????2=?????2??(??/2)=?????2???? 2=????/2， 故式 （ ） 又可表示為 () () 10 ??(??) = ∑ ??(2??)????/22??????/2?1??=0 +?????? ∑ ??(2?? +1)????2(2??+1)????/2?1??=0 令： ??(??) = ∑ ??(2??)????/22??????/2?1??=0 (?? = 0， 1， …， ??2 ?1) ??(??) = ∑ ??(2?? +1)????/2(2??+1)????/2?1??=0(?? = 0， 1， …， ??2 ? 1) 則 ??(??) = ??(??) +????????(??)(?? = 0， 1， …， ??2 ?1) A(k)， B(k)都是 N/2 點(diǎn)的 DFT， X(k)是 N 點(diǎn)的 DFT，因此單用式 （ ） 表示 X(k)并不完全，但由于 ??(?? + ??2) = ??(??) ?????????(??) (?? = 0， 1， …， ??2 ? 1 這樣用 A(k),B(k)就可以完整地表示 X(k)。 由以上分析可見，只要求出（ 0， ??2 ? 1）區(qū)間內(nèi)各個(gè)整數(shù) k 值所對(duì)應(yīng)的 A(k)和 B(k)值，即可求出（ 0， N1）區(qū)間內(nèi)的全部 X(k)的值。由此，一個(gè) N 點(diǎn)的 DFT分解為兩個(gè) N/2 點(diǎn)的 DFT 后，計(jì)算全部 X(k)共需 N(N+1)/2 次復(fù)數(shù)乘法和 ??2/2 次復(fù)數(shù)加法，比直接時(shí)計(jì)算量節(jié)省一半。 推廣到點(diǎn) N=2??的 DFT 的一般情況，第 m 次分解的結(jié)果是由 2m個(gè) N/2m點(diǎn)的DFT 兩兩組成共 2m?1個(gè) N/2m?1點(diǎn)的 DFT。由于 N=2??，通過 M=log2N次分解后最終達(dá)到 N/2 個(gè)兩點(diǎn) DFT 的運(yùn)算，從而構(gòu)成 M 級(jí)運(yùn)算過程。 其疊代過程如圖 所示。 () () () (211b) 2 點(diǎn) D F T2 點(diǎn) D F T2 點(diǎn) D F T2 點(diǎn) D F T2 點(diǎn) D F T2 點(diǎn) D F T2 點(diǎn) D F T... 兩 個(gè) 2 點(diǎn)D F T 組 合兩 個(gè) 2 點(diǎn)D F T 組 合兩 個(gè) 2 點(diǎn)D F T 組 合兩 個(gè) 2 點(diǎn)D F T 組 合... ... 兩 個(gè) 4 點(diǎn)D F T 組 合兩 個(gè) 4 點(diǎn)D F T 組 合... 兩 個(gè) N / 2 點(diǎn)D F T 組 合x ( n )A ( k )B ( k )X ( k )2 點(diǎn) D F T 圖 N 點(diǎn)基 2FFT 的 M 級(jí)疊代過程 依照上述推導(dǎo)思路，可以將每個(gè) N/2點(diǎn) DFT 再繼續(xù)分成兩個(gè) N/4點(diǎn)，即基 4FFT算法，可以進(jìn)一步減少乘加運(yùn)算次數(shù)，當(dāng)然也可以繼續(xù)分下去直到不能再分解為止，但實(shí)際上使用比 4 更大的基數(shù)進(jìn)行 FFT 運(yùn)算時(shí)其運(yùn)算量降低不再非常顯著。因此綜合比較，本系統(tǒng) 采用基 4FFT 算法對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行計(jì)算，利用該算法可以有效縮短計(jì)算時(shí)間，提高諧波檢測(cè)的實(shí)時(shí)性。 傅里葉分析方法的改進(jìn) 目前普遍采用傅里葉變換法對(duì)電力系統(tǒng)中諧波進(jìn)行檢測(cè)，但是此方法對(duì)信號(hào)的周期性及采樣同步性要求較高。而實(shí)際測(cè)量中因信號(hào)頻率的波動(dòng)導(dǎo)致測(cè)量無法達(dá)到同步，因而用此法測(cè)量的幅值、相位等偏差較大。 等為提高 FFT 算法精度提出一種插值算法，用該算法來修正 FFT 的計(jì)算結(jié)果，可有效地提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。 在此基礎(chǔ)上又 采用窗函數(shù)法 抑制泄漏， 以進(jìn)一步提高計(jì)算精度 。窗函數(shù)及雙峰譜線插值算法互相結(jié)合，可有效抑制頻譜分析時(shí) 的泄露，本文采用加窗插值算法以求提高計(jì)算精度，滿足諧波參數(shù)測(cè)量準(zhǔn)確性的要求。 窗函數(shù)的選取 窗函數(shù)對(duì)于原始信號(hào)的作用可以理解 為窗函數(shù)與原始信號(hào)相乘得到的結(jié) 果。而根據(jù)傅里葉變換算法的卷積特征 ， 兩個(gè)時(shí)域函數(shù)相乘所得頻譜即等于這兩個(gè)函 12 數(shù)頻譜的卷積。設(shè) x(N)是一個(gè)長(zhǎng)序列 ， w(N)是長(zhǎng)度為 N的窗函數(shù) ， 用 w(N)截?cái)?x(N)，得到 N 點(diǎn)序列 ????(N)， 即 ????(N)= x(N)w(N) () 在頻域上即為 ????(??????) = 12??∫ ??(??????)????? ? ??(????(?????))???? () 由上式可得，窗函數(shù)在不僅會(huì)影響原信號(hào)時(shí)域的波形，也會(huì)對(duì)頻譜產(chǎn)生一定的影響。 理想情況下，窗函數(shù)應(yīng)滿足以下兩項(xiàng)要求：（ 1）窗函數(shù)頻譜的主瓣盡量窄，有較陡的過渡帶；（ 2）旁瓣相對(duì)幅度要盡量小， 且旁瓣對(duì)的衰減速度快， 使能量盡量集中于主瓣 ， 從而 增加阻帶的衰減 ， 減小頻譜分量的相互影響。然而在實(shí)際應(yīng)用 中，窗函數(shù)的主瓣寬度和旁瓣大小是 不能同時(shí)成立的 ，必須要在主瓣寬度和旁瓣衰減幅度之間采取折衷 的辦法 。 同時(shí)要使被測(cè)信號(hào)通過窗函數(shù)后盡量減少頻譜泄漏 ， 當(dāng)然不能無限加大窗函數(shù)寬度 ， 因而在有限的計(jì)算寬度內(nèi) ， 選擇合適的窗函數(shù)來達(dá)到減少泄漏的目的 。 圖 是常用的 幾種 窗函數(shù)的頻域圖。 綜合考慮主瓣寬度和旁瓣水平，本課題的諧波檢測(cè)中采用 Hamming 窗來抑制頻譜泄漏。 Hamming 窗的最大旁瓣為 42dB，比相同主瓣寬度的 Hanning 窗要小，雖然其旁瓣的衰減速率約為 20dB/dec，比 Hanning 窗的要高。 Hamming 窗較快的旁瓣衰減速率可以顯著減小諧波之間的相互干擾，而其較小的主瓣寬度又能保證主瓣內(nèi)只包含所希望保留的諧波分量。 （ a） Hamming窗頻域圖 （ b） 矩形窗頻域圖 （ c） Hamming窗頻域圖 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 114 012 010 0806040200H ann ing 窗歸一化頻率幅度0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 180706050403020100矩形窗歸一化頻率幅度0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 110 0806040200H am m ing 窗歸一化頻率幅度 14 （ d） Black 窗頻域圖 圖 窗函數(shù)頻域圖 Hamming 窗，又稱為改進(jìn)的升余弦窗，其表達(dá)式為 w(N)=* ???????( 2???????1)+????(??) () 其頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)為： ??(??) = ????(??) +[???? (??? 2???? ?1) +???? (?? + 2???? ?1)] ≈ (ω) + *WR (ω? 2πN)+WR (ω+ 2πN)+ (N ? 1) () Hamming 窗是對(duì) Hanning 窗加以改進(jìn)，從而得到旁瓣更小的效果，可將 %的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。主瓣的寬度與 Hanning 窗相同，都為 8??/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1%，第一旁瓣比主瓣小 40dB。 插值 FFT 算法 假設(shè)單一頻率信號(hào) x(t)經(jīng)過采樣后得到的離散數(shù)據(jù)為： x(N)=A??????(2