【正文】 t, pared to the actual situation at home and abroad in various fields of the application of operational research. Ke y words : Operational Research, Probability model, Deterministic model, Decisionmaking problem,Resource allocation problem. 新疆師范大學(xué) 2021屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì) ) 1 引言 運(yùn)籌學(xué)作為一門新興的應(yīng)用科學(xué)是近代數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要發(fā)展分支，不同的研究對(duì)象和角度，賦予了它不同的定義，不同國(guó)家都曾給出過(guò)定義，但本質(zhì)上，這門學(xué)科都被看作是解決生產(chǎn)、 管理領(lǐng)域出現(xiàn)的一些實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行提煉，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)方法給出決策。運(yùn)籌學(xué)作為一種科學(xué)的方法和工具，已經(jīng)在諸如服務(wù)、人口、對(duì)抗、資源分配、教育、醫(yī)療等諸多社會(huì)領(lǐng)域扮演越來(lái)越重要的角色。從實(shí)踐方面看，運(yùn)籌學(xué)應(yīng)社會(huì)需求逐漸發(fā)展，從教育方面看，運(yùn)籌學(xué)將成為多專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)是歷史和邏輯的辯證統(tǒng)一。 本文首先介紹了運(yùn)籌學(xué)思想的產(chǎn)生和學(xué)科的發(fā)展，使大家對(duì)運(yùn)籌學(xué)有一個(gè)大體的了解，繼而介紹了運(yùn)籌學(xué)的研究?jī)?nèi)容，給出運(yùn)籌學(xué)研究的兩大類模型，在這些模型的基礎(chǔ)上，列舉出幾個(gè)運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用的實(shí)際案例，從案例中了解運(yùn)籌學(xué)在決策中的一些重要作用。 最后，分析了當(dāng)下全社會(huì)對(duì)于運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用情況、應(yīng)用效果的分析，對(duì)于學(xué)科前景有一個(gè)整體把握。 新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 2 1 運(yùn)籌學(xué)思想的產(chǎn)生和學(xué)科發(fā)展概述 1) 運(yùn)籌學(xué)思想的產(chǎn)生 最初 的運(yùn)籌學(xué)思想在中國(guó)古代的歷史中源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。早在公元前 6 世紀(jì)春秋時(shí)期 ，著名的軍事家孫武 的作品 《孫子兵法》就是當(dāng)時(shí) 的 軍事 運(yùn)用 運(yùn)籌思想的集中體現(xiàn)，公元前 4 世紀(jì)的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期， 軍事家 孫臏的“斗馬術(shù)”就是中國(guó)古代運(yùn)籌思想 運(yùn)用 的另一個(gè)著名的例子 ，其思想體現(xiàn)為不爭(zhēng)一局 得失，而為求得全盤的勝利，是全局最優(yōu)化的一個(gè)經(jīng)典案例。公元前 3 世紀(jì)楚漢相爭(zhēng)，劉邦曾贊 譽(yù)張良“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，就是對(duì)他運(yùn)籌思想的高度評(píng)價(jià)。北宋時(shí)期的沈括關(guān)于軍事 中后勤問(wèn)題的分析和計(jì)算 則是更具現(xiàn)代示范意義的運(yùn)籌學(xué)范例 [1]。 隨著歷史的發(fā)展 ， 運(yùn)籌學(xué)除了在軍事領(lǐng)域的成功運(yùn)用之外 ， 在中國(guó)古代的農(nóng)業(yè) 、工程技術(shù)、運(yùn)輸?shù)确矫嬉灿写罅康倪\(yùn)籌學(xué)運(yùn)用的典范。北魏時(shí)期的《齊民要術(shù)》曾記載古代勞動(dòng)人民根據(jù)天氣、地理?xiàng)l件合理的規(guī)劃農(nóng)事的經(jīng)驗(yàn)就體現(xiàn)了運(yùn)籌學(xué)的要義，例如在作物連種和播種時(shí)機(jī)中的“谷田不可連作，必須歲易 ”可以視為近代運(yùn)籌學(xué)中決策問(wèn)題的最初解決方案。西漢時(shí)期首都長(zhǎng)安是的選址、水陸樞紐的設(shè)計(jì)，宮殿、市井、街道的統(tǒng)籌布局等方面都體現(xiàn)了運(yùn)籌的思想。中國(guó)歷史上應(yīng)對(duì)黃河決口的封堵提出過(guò)分階段作業(yè)的方案，這個(gè)方案把經(jīng)濟(jì)、人力和實(shí)際工作效果等方面綜合考慮，相比一次作業(yè)效果更優(yōu)。這些都是最初的運(yùn)籌學(xué)思想的源頭 2）運(yùn)籌學(xué)的學(xué)科發(fā)展概述 運(yùn)籌學(xué)作為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科，是從 20 世紀(jì) 30 年代出現(xiàn)并逐漸發(fā)展形成的。其實(shí)從 20 世紀(jì)出期，就有了為現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)奠定基礎(chǔ)和雛形的早期工作。 運(yùn)籌學(xué)研究的其他模型諸如庫(kù)存論模型、決策論、博弈論等方面的 奠基工作都是在 20世紀(jì)開(kāi)始出現(xiàn)的。而運(yùn)籌學(xué)真正開(kāi)始發(fā)展則在 1935 年，英國(guó)空軍為了應(yīng)對(duì)德國(guó)飛機(jī)的空襲研究了新的雷達(dá)系統(tǒng)，但是這個(gè)系統(tǒng)經(jīng)常送來(lái)矛盾的信息，需要對(duì)這些信息加以協(xié)調(diào)和關(guān)聯(lián)，達(dá)到改進(jìn)作戰(zhàn)效能的目的。為此，英國(guó)皇家空軍由一批科學(xué)家為核心，成立了運(yùn)籌學(xué)小組，目的是對(duì)新戰(zhàn)術(shù)實(shí)驗(yàn)和戰(zhàn)術(shù)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果令人滿意。受到這種成功效果的激勵(lì)，美國(guó)也在自己的軍隊(duì)中建立了運(yùn)籌學(xué)相關(guān)的小組，并命名為“ Operations Research” . 二戰(zhàn)結(jié)束后 ，軍方從事 運(yùn)籌學(xué)工作的已經(jīng)超過(guò)了 700 人，他們中的大部分繼新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 續(xù)在軍事 部門繼續(xù)效力，這也推動(dòng)了運(yùn)籌學(xué)的房展，運(yùn)籌學(xué)的隊(duì)伍被擴(kuò)大了。另一部的工作人員則在民間成立了許多運(yùn)籌學(xué)的小組。 20 世紀(jì) 40 年代后期，運(yùn)籌學(xué)開(kāi)始進(jìn)入民用工業(yè)，并取得了可喜的成績(jī)；大規(guī)模的新興行業(yè)開(kāi)始出現(xiàn)，迫切的需要對(duì)新的管理結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，運(yùn)籌學(xué)再次站到了歷史的舞臺(tái)中間，動(dòng)態(tài)規(guī)劃等問(wèn)題被一一提出，在這樣的推動(dòng)下，運(yùn)籌學(xué)得到了迅速發(fā)展。 新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 4 2 運(yùn)籌學(xué) 的主要研究?jī)?nèi)容 確定型模型 線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中應(yīng)用最為廣泛的問(wèn) 題 ， 通常用來(lái)研究設(shè)備最佳運(yùn)行 、資源最優(yōu)利用的問(wèn)題。下面列舉一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃模型的例子，是大家對(duì)線性規(guī)劃有初步了解。 例 1： 成年人每天需要從食物中攝取的營(yíng)養(yǎng)以及四種食品所含營(yíng)養(yǎng)和價(jià)格見(jiàn)下表。問(wèn)如何選擇食品才能在滿足營(yíng)養(yǎng)的前提下使購(gòu)買食品的費(fèi)用最?。? 表 1：食物的營(yíng)養(yǎng)價(jià)值及價(jià)格 食品名稱 熱量 (kcal) 蛋白質(zhì) (g) 鈣（ mg） 價(jià)格（元） 牛肉 1000 50 400 14 雞蛋 800 60 200 6 大米 900 20 300 3 青菜 200 10 500 2 營(yíng)養(yǎng)需求量 3000 55 800 解 ： min z=14 . 這是 一個(gè)典型的線性規(guī)劃模型，問(wèn)題的目的是達(dá)到費(fèi)用最低，即達(dá)到目標(biāo)的最優(yōu)規(guī)劃，求解線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟是：找出實(shí)際問(wèn)題的約束條件→確定目標(biāo)函數(shù)→化為標(biāo)準(zhǔn)型→求數(shù)值解→實(shí)際問(wèn)題中驗(yàn)證。 求線性規(guī)劃問(wèn)題數(shù)值解 的方法有很多，常見(jiàn)的有圖解放、單純形法、人工變量法等。 新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 非線性規(guī)格問(wèn)題的形勢(shì)是多種多樣的 ， 在一些問(wèn)題中 ， 可能含有邊際收益遞增或遞減的活動(dòng) ， 或者約束函數(shù)是 非線性的 ， 又或者利潤(rùn)曲線是不連續(xù)的幾段曲線 。 例 2： 股票投資組合中的風(fēng)險(xiǎn)與回報(bào)有如下表的關(guān)系 ， 為了達(dá)到成本和收益的平衡 ， 改如何選擇投資組合 ？ 表 2： 3支股票的回報(bào)與風(fēng)險(xiǎn) 股票 價(jià)格 /千元 預(yù)期回報(bào) /千元 風(fēng)險(xiǎn) 投資組合 交叉風(fēng)險(xiǎn) 1 60 25 4 1與 2 2 2 40 20 9 1與 3 1 3 50 9 1 2與 3 解 ： 設(shè)相應(yīng)的決策變量是 (i=1,2,3)分別表示股票的購(gòu)買量 ， 則投資組合的非線性規(guī)劃模型為 min z = 4 . 非線性規(guī)劃的手工計(jì)算一般比較復(fù)雜，本文推薦讀者使用數(shù)學(xué)軟件來(lái)求解此類問(wèn)題，常見(jiàn)的解決非線性規(guī)劃問(wèn)題的軟件有 WinSQB、 LINGO 等，這里 采用LINGO，這款軟件對(duì)于模型的維護(hù)相對(duì)方便，對(duì)于更加復(fù)雜的非線性規(guī)劃問(wèn)題也能求解。這里給出一個(gè)包括預(yù)期回報(bào)、風(fēng)險(xiǎn)以及最優(yōu)解的求解結(jié)果，見(jiàn)下表： 表 3：收益與對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果 收益 股票 1 股票 2 股票 3 風(fēng)險(xiǎn) 收益 股票 1 股票 2 股票 3 風(fēng)險(xiǎn) 0 0 0 0 0 300 50 350 100 400 150 450 10 10 0 1500 200 500 0 25 0 250 新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 6 網(wǎng)絡(luò) 在日常生活中 ， 我 們經(jīng)常碰到各種各樣的圖 ： 公路或鐵路圖 ， 管線布置網(wǎng)圖等等 。 運(yùn)籌學(xué)中研究的圖則是上述這些圖的抽象概括 ， 它表明一些研究對(duì)象和這些對(duì)象之間的聯(lián)系 。 通常我們用點(diǎn)表示研究對(duì)象 ， 用點(diǎn)之間的連線表示這些對(duì)象之間的聯(lián)系 ， 則我們給出一個(gè)圖的定義 ： 圖 G 是一些點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的邊的集合記，作 G= 式中 V是點(diǎn)的集合， E 是邊的集合，運(yùn)籌學(xué)中的圖只關(guān)心圖中有多少個(gè)點(diǎn)，哪些點(diǎn)之間存在連線，是區(qū)別于幾何學(xué)中的圖的概念的 [2]。 網(wǎng)絡(luò)圖中 從 一點(diǎn)到其他點(diǎn)的最短距離 是由 Dijkstra 算法求解的 。 但實(shí)際問(wèn)題中如果采用該方法對(duì)求網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)之間的最短距離就很麻煩 ， 這里介紹一種矩陣計(jì)算法求最短距離 。 例 3： 假設(shè)有 7 個(gè)村子，決定聯(lián)合辦一所小學(xué)，各村小學(xué)生人數(shù)為 30,40,25,20,50,60,60，那么小學(xué)應(yīng)該建在那個(gè)村子，小學(xué)生上學(xué)走的路程最短。 表 4：