【正文】 t, pared to the actual situation at home and abroad in various fields of the application of operational research. Ke y words : Operational Research, Probability model, Deterministic model, Decisionmaking problem,Resource allocation problem. 新疆師范大學(xué) 2021屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計 ) 1 引言 運籌學(xué)作為一門新興的應(yīng)用科學(xué)是近代數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個重要發(fā)展分支，不同的研究對象和角度，賦予了它不同的定義，不同國家都曾給出過定義，但本質(zhì)上，這門學(xué)科都被看作是解決生產(chǎn)、 管理領(lǐng)域出現(xiàn)的一些實際問題進行提煉，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)方法給出決策。運籌學(xué)作為一種科學(xué)的方法和工具，已經(jīng)在諸如服務(wù)、人口、對抗、資源分配、教育、醫(yī)療等諸多社會領(lǐng)域扮演越來越重要的角色。從實踐方面看，運籌學(xué)應(yīng)社會需求逐漸發(fā)展，從教育方面看，運籌學(xué)將成為多專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)是歷史和邏輯的辯證統(tǒng)一。 本文首先介紹了運籌學(xué)思想的產(chǎn)生和學(xué)科的發(fā)展，使大家對運籌學(xué)有一個大體的了解，繼而介紹了運籌學(xué)的研究內(nèi)容，給出運籌學(xué)研究的兩大類模型，在這些模型的基礎(chǔ)上，列舉出幾個運籌學(xué)應(yīng)用的實際案例，從案例中了解運籌學(xué)在決策中的一些重要作用。 最后，分析了當(dāng)下全社會對于運籌學(xué)的應(yīng)用情況、應(yīng)用效果的分析，對于學(xué)科前景有一個整體把握。 新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 2 1 運籌學(xué)思想的產(chǎn)生和學(xué)科發(fā)展概述 1) 運籌學(xué)思想的產(chǎn)生 最初 的運籌學(xué)思想在中國古代的歷史中源遠(yuǎn)流長。早在公元前 6 世紀(jì)春秋時期 ，著名的軍事家孫武 的作品 《孫子兵法》就是當(dāng)時 的 軍事 運用 運籌思想的集中體現(xiàn)，公元前 4 世紀(jì)的戰(zhàn)國時期， 軍事家 孫臏的“斗馬術(shù)”就是中國古代運籌思想 運用 的另一個著名的例子 ，其思想體現(xiàn)為不爭一局 得失，而為求得全盤的勝利，是全局最優(yōu)化的一個經(jīng)典案例。公元前 3 世紀(jì)楚漢相爭，劉邦曾贊 譽張良“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，就是對他運籌思想的高度評價。北宋時期的沈括關(guān)于軍事 中后勤問題的分析和計算 則是更具現(xiàn)代示范意義的運籌學(xué)范例 [1]。 隨著歷史的發(fā)展 ， 運籌學(xué)除了在軍事領(lǐng)域的成功運用之外 ， 在中國古代的農(nóng)業(yè) 、工程技術(shù)、運輸?shù)确矫嬉灿写罅康倪\籌學(xué)運用的典范。北魏時期的《齊民要術(shù)》曾記載古代勞動人民根據(jù)天氣、地理條件合理的規(guī)劃農(nóng)事的經(jīng)驗就體現(xiàn)了運籌學(xué)的要義，例如在作物連種和播種時機中的“谷田不可連作，必須歲易 ”可以視為近代運籌學(xué)中決策問題的最初解決方案。西漢時期首都長安是的選址、水陸樞紐的設(shè)計，宮殿、市井、街道的統(tǒng)籌布局等方面都體現(xiàn)了運籌的思想。中國歷史上應(yīng)對黃河決口的封堵提出過分階段作業(yè)的方案，這個方案把經(jīng)濟、人力和實際工作效果等方面綜合考慮，相比一次作業(yè)效果更優(yōu)。這些都是最初的運籌學(xué)思想的源頭 2）運籌學(xué)的學(xué)科發(fā)展概述 運籌學(xué)作為一個獨立的學(xué)科，是從 20 世紀(jì) 30 年代出現(xiàn)并逐漸發(fā)展形成的。其實從 20 世紀(jì)出期，就有了為現(xiàn)代運籌學(xué)奠定基礎(chǔ)和雛形的早期工作。 運籌學(xué)研究的其他模型諸如庫存論模型、決策論、博弈論等方面的 奠基工作都是在 20世紀(jì)開始出現(xiàn)的。而運籌學(xué)真正開始發(fā)展則在 1935 年，英國空軍為了應(yīng)對德國飛機的空襲研究了新的雷達(dá)系統(tǒng)，但是這個系統(tǒng)經(jīng)常送來矛盾的信息，需要對這些信息加以協(xié)調(diào)和關(guān)聯(lián)，達(dá)到改進作戰(zhàn)效能的目的。為此，英國皇家空軍由一批科學(xué)家為核心，成立了運籌學(xué)小組，目的是對新戰(zhàn)術(shù)實驗和戰(zhàn)術(shù)效率進行評價，結(jié)果令人滿意。受到這種成功效果的激勵，美國也在自己的軍隊中建立了運籌學(xué)相關(guān)的小組，并命名為“ Operations Research” . 二戰(zhàn)結(jié)束后 ，軍方從事 運籌學(xué)工作的已經(jīng)超過了 700 人，他們中的大部分繼新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 3 續(xù)在軍事 部門繼續(xù)效力，這也推動了運籌學(xué)的房展，運籌學(xué)的隊伍被擴大了。另一部的工作人員則在民間成立了許多運籌學(xué)的小組。 20 世紀(jì) 40 年代后期，運籌學(xué)開始進入民用工業(yè)，并取得了可喜的成績；大規(guī)模的新興行業(yè)開始出現(xiàn)，迫切的需要對新的管理結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)進行分析，運籌學(xué)再次站到了歷史的舞臺中間，動態(tài)規(guī)劃等問題被一一提出，在這樣的推動下，運籌學(xué)得到了迅速發(fā)展。 新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 4 2 運籌學(xué) 的主要研究內(nèi)容 確定型模型 線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中應(yīng)用最為廣泛的問 題 ， 通常用來研究設(shè)備最佳運行 、資源最優(yōu)利用的問題。下面列舉一個簡單的線性規(guī)劃模型的例子，是大家對線性規(guī)劃有初步了解。 例 1： 成年人每天需要從食物中攝取的營養(yǎng)以及四種食品所含營養(yǎng)和價格見下表。問如何選擇食品才能在滿足營養(yǎng)的前提下使購買食品的費用最?。? 表 1：食物的營養(yǎng)價值及價格 食品名稱 熱量 (kcal) 蛋白質(zhì) (g) 鈣（ mg） 價格（元） 牛肉 1000 50 400 14 雞蛋 800 60 200 6 大米 900 20 300 3 青菜 200 10 500 2 營養(yǎng)需求量 3000 55 800 解 ： min z=14 . 這是 一個典型的線性規(guī)劃模型，問題的目的是達(dá)到費用最低，即達(dá)到目標(biāo)的最優(yōu)規(guī)劃，求解線性規(guī)劃問題的一般步驟是：找出實際問題的約束條件→確定目標(biāo)函數(shù)→化為標(biāo)準(zhǔn)型→求數(shù)值解→實際問題中驗證。 求線性規(guī)劃問題數(shù)值解 的方法有很多，常見的有圖解放、單純形法、人工變量法等。 新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 5 非線性規(guī)格問題的形勢是多種多樣的 ， 在一些問題中 ， 可能含有邊際收益遞增或遞減的活動 ， 或者約束函數(shù)是 非線性的 ， 又或者利潤曲線是不連續(xù)的幾段曲線 。 例 2： 股票投資組合中的風(fēng)險與回報有如下表的關(guān)系 ， 為了達(dá)到成本和收益的平衡 ， 改如何選擇投資組合 ？ 表 2： 3支股票的回報與風(fēng)險 股票 價格 /千元 預(yù)期回報 /千元 風(fēng)險 投資組合 交叉風(fēng)險 1 60 25 4 1與 2 2 2 40 20 9 1與 3 1 3 50 9 1 2與 3 解 ： 設(shè)相應(yīng)的決策變量是 (i=1,2,3)分別表示股票的購買量 ， 則投資組合的非線性規(guī)劃模型為 min z = 4 . 非線性規(guī)劃的手工計算一般比較復(fù)雜，本文推薦讀者使用數(shù)學(xué)軟件來求解此類問題，常見的解決非線性規(guī)劃問題的軟件有 WinSQB、 LINGO 等，這里 采用LINGO，這款軟件對于模型的維護相對方便，對于更加復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題也能求解。這里給出一個包括預(yù)期回報、風(fēng)險以及最優(yōu)解的求解結(jié)果，見下表： 表 3：收益與對應(yīng)風(fēng)險結(jié)果 收益 股票 1 股票 2 股票 3 風(fēng)險 收益 股票 1 股票 2 股票 3 風(fēng)險 0 0 0 0 0 300 50 350 100 400 150 450 10 10 0 1500 200 500 0 25 0 250 新疆師范大學(xué) 2021本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 6 網(wǎng)絡(luò) 在日常生活中 ， 我 們經(jīng)常碰到各種各樣的圖 ： 公路或鐵路圖 ， 管線布置網(wǎng)圖等等 。 運籌學(xué)中研究的圖則是上述這些圖的抽象概括 ， 它表明一些研究對象和這些對象之間的聯(lián)系 。 通常我們用點表示研究對象 ， 用點之間的連線表示這些對象之間的聯(lián)系 ， 則我們給出一個圖的定義 ： 圖 G 是一些點和這些點之間的邊的集合記，作 G= 式中 V是點的集合， E 是邊的集合，運籌學(xué)中的圖只關(guān)心圖中有多少個點，哪些點之間存在連線，是區(qū)別于幾何學(xué)中的圖的概念的 [2]。 網(wǎng)絡(luò)圖中 從 一點到其他點的最短距離 是由 Dijkstra 算法求解的 。 但實際問題中如果采用該方法對求網(wǎng)絡(luò)中任意兩點之間的最短距離就很麻煩 ， 這里介紹一種矩陣計算法求最短距離 。 例 3： 假設(shè)有 7 個村子，決定聯(lián)合辦一所小學(xué)，各村小學(xué)生人數(shù)為 30,40,25,20,50,60,60，那么小學(xué)應(yīng)該建在那個村子，小學(xué)生上學(xué)走的路程最短。 表 4：