【正文】 應(yīng)用創(chuàng)造了更為良好的條件，并將展示出更為廣闊的工程應(yīng)用前 景。 有限元法的基本思路是： 把很復(fù)雜的結(jié)構(gòu)拆分為若干個(gè)形狀簡單的單元，這些單元一般要小到可以用簡單的數(shù)學(xué)模型來描述特性參數(shù)在其中的分布，這一步驟稱為離散。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連結(jié)起來；單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計(jì)算精度而定。所以有限元法中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符 合。 2．單元特性分析 1）選擇位移模式 在有限單元法中，選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為位移法；選擇節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時(shí)稱為力法；取一部分節(jié)點(diǎn)力和一部分節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為混合法。位移法易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算自動(dòng)化，所以在有限單元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。當(dāng)采用位移法時(shí)，物體或結(jié)構(gòu)物離散化之后，就可把單元中的一些物理量如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等由節(jié)點(diǎn)位移來表示。這時(shí)可以對單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)予以描述。通常，有限元法中我們就將位移表示為坐標(biāo)變量的簡單函數(shù)。 2）分析單元的力學(xué)性質(zhì) 根據(jù)單元的材 料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時(shí)需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?，這是有限元法的基本步驟之一。 3）計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力 物體離散化后，假定力是通過節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元。但是，對于實(shí)際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來替代所有作用在單元上的力。 3．單元組集 在 單元分析基礎(chǔ)上，利用平衡條件和連續(xù)條件，將各個(gè)單元拼裝成整體結(jié)構(gòu)。對整體在確定邊界條件下進(jìn)行分析，從而得到整體的參數(shù)關(guān)系方程組，即矩陣方程。這一過程稱為整體分析。 4．求解未知節(jié)點(diǎn)位移 解這樣的矩陣方程，即可得到各種參數(shù)在整體結(jié)構(gòu)中的分布。 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程 用有限元法可以分析結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題以及動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題，即在動(dòng)載荷下物體的應(yīng)力、變形問題。 固有振動(dòng)特性分析是通過研究無阻尼的自由振動(dòng)，得到振動(dòng)系統(tǒng)的自然屬性，即固有頻率和振型。 要研究五軸加工中心的基礎(chǔ)件（床身，工作臺(tái)和滑枕等）以及整 機(jī)模型，首先要建立該系統(tǒng)的動(dòng)力方程。多自由度的運(yùn)動(dòng)微分方程可以應(yīng)用牛頓第二定律，達(dá)朗伯原理，拉格郎日方程和哈密頓原理等來建立。 根據(jù)達(dá)朗伯原理，只要引入相應(yīng)的慣性力，就可以將彈性體的動(dòng)力問題化為相應(yīng)的靜力問題，即化為彈性體的平衡問題來處理。 將彈性體分割成有限個(gè)元素，因?yàn)槲灰坪蜁r(shí)間有關(guān)，以 etx )}({表示元素 e 上的節(jié)點(diǎn)位移列向量，它是時(shí)間 t 的函數(shù)。利用所給定的位移插值方式，元素 e 中任意一點(diǎn)的位移｛ f（ t）｝可以用下面的矩陣方程來表示： ｛ f（ t）｝ =[N] etx )}({ () 其中 [N]是形函數(shù)矩陣。 在元素 e 上的應(yīng)變向量為： ee txBt )}(]{[)}({ ?? () 其中 [B]為聯(lián)系應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移的矩陣，稱幾何矩陣。 因此，在元素 e 上應(yīng)力為： eee txBDtxDt )}(]{][[)}(]{[)}({ ??? () [D]為彈性矩陣，亦稱為材料矩陣。 因此，在元素 e 上的元素剛度矩陣為： ???? e Te BDBK ]][[][][ （ ） 元素 e 上的元素負(fù)荷向量應(yīng)由下面幾部分組成。一部分是由作用在元素 e 上的動(dòng)載荷構(gòu)成的元素負(fù)荷，它按通常的辦法來形成，但由于此時(shí)載荷是時(shí)間 t 的函數(shù)，由此形成的元素負(fù)荷向量也與時(shí)間 t 有關(guān)，記為 etF )}({ 。另一部分是由此元素上的慣性力所構(gòu)成的負(fù)荷向量。 ??)}({ tf 表示加速度向量，設(shè) ? 為物體的密度，則單位體積中的慣性力即慣性密度為： 慣)}({ tP = ?? )}({ tf? () 由此可得慣性體積力所產(chǎn)生的元素負(fù)荷向量為： dNtfNtF e Te ??????? )}({][)}({ ?慣 () 將式 ()代入得： ??????? ee Te txdNNNtF )}({][][)}({ ?慣 () 記為： ???? e Te dNNNM ][][][ ? () [M]e 為元素的質(zhì)量矩陣，于是上式又可寫為： eee txMtF ???? )}({][)}({ 慣 () 如果當(dāng)彈性體振動(dòng)時(shí)，還有正比于速度 ?)}({ tf 的阻尼力，則還應(yīng)考慮阻尼力對節(jié)點(diǎn)負(fù)荷向量的貢獻(xiàn)。設(shè)阻尼系數(shù)為 ? ，則單位體積上所受的阻尼力，即阻尼密度為： ??? )}({)}({ tftP ?阻 () 由此可得其所產(chǎn)生的元素負(fù)荷向量為： ? ? ? ? ? ? ? ????? e e eTTe txdNNNdNtfNtF )}({][][)}({][)}({ ??慣 () 記 [C] ????eTe dNNN ,][][? () [C]e 為元素的阻尼矩陣，上式又可寫為： ??? eee txCtF )}({][)}({ 慣 () 記 )}({ t? 為整個(gè)彈性體上的節(jié)點(diǎn)位移列向量，并將元素剛度矩陣 [K]e 按相應(yīng)的“貢獻(xiàn)”疊加而得到總剛度矩陣，相應(yīng)的也可得到總質(zhì)量矩陣 [M]及總阻尼矩陣 [C]。即： ??????????????????000111][][][][][][eeeeeeeeeCCMMKK () 矩陣 [K]、 [M]和 [C]稱為剛度矩陣，質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。 其中 e0 為元素的總數(shù)，則總負(fù)荷量為： ??? ?? )}({][)}({][)}({ tXCtxMtF () 其中 {F(t)}為由元素負(fù)荷向量 etF )}({ 按相應(yīng)的“貢獻(xiàn)”疊加而得到的節(jié)點(diǎn)負(fù)荷向量，即： eee tFtF )}({)}({01??? () 于是，由達(dá)朗泊原理，就有： ??? ??? )}({][)}({][)}({)}(]{[ txCtxMtFtxK () 即： )}({)}(]{[)}({][)}({][ tFtxKtxCtxM ??? ??? () 這就是彈性體的動(dòng)力方程，即用有限元素法來解彈性體的動(dòng)力問題的基本方程。 對于無阻尼無外載荷的自由振動(dòng)問題阻尼項(xiàng)和外力項(xiàng)均為零。于是，動(dòng)力方程為： 0)}(]{[)}({][ ???? txKtxM () 由于彈性體的自由振動(dòng)總可以分解為一系列簡諧振動(dòng)的疊加，為了決定彈性體自由振動(dòng)的固有頻率及相應(yīng)的振型，考慮如下簡諧振動(dòng)的解： tgt ?? s in}{)}({ ? () 其中 {g}是位移 )}({ t? 的振幅列向量，它與時(shí)間 t 無關(guān)， ? 是固有圓頻率， t 是時(shí)間。將式 ()代入 ()中并消去 sin t? 因子，就得到： （ [K] 0}]){[2 ?gM? () 于是，要找型如式 ()的簡諧振動(dòng)就化為要 2? 和非零向量 {g},使?jié)M足 ()式。這樣的問題稱為廣義特征值問題，而這樣的 2? 和 {g}分別稱為廣義特征值和廣義特征向量，求得的 ? 就是振動(dòng)的圓固有頻率， {g}就給出相應(yīng)的振型。 由于物體的密度 0?? ，因此由式 ()定義的元素的質(zhì)量矩陣 [M]e 以及由式 ()定義的總質(zhì)量矩陣 [M]均是對稱正定陣。 此外，剛度矩陣 [K]在未經(jīng)過劃行劃列處理時(shí)是對稱半正定陣。若在實(shí)際問題中有位移約束條件，建立了位移約束條件且排除剛體位移是，在經(jīng)過劃行劃列處理后的剛度陣 [K]就是對稱正定陣。 記： 2??? () 可將式 ()改寫為： 0}]){[]([ ?? gMK ? () 由于 {g}是非零向量，故由上式中 ])[]([ MK ?? 的行列式應(yīng)為零，即： 0..................])[}d e t ( [11221112121111?????????nnmnnnnnn MKMKMKMKMKMKMK??????? () 它稱為廣義特征值方程。如果矩陣 [K]的階數(shù)為 n,那么由行列式展開公式可知，廣義特征方程 ()是 ? 的 n 次代數(shù)方程，因此可決定 n 個(gè)廣義特征值 。),...2,1( nii ?? 可以證明，若剛度矩陣 [K]是對稱正定陣，則這些廣義特征值是正實(shí)數(shù)，因此由式 () 可以決定出彈性體的 n 個(gè)固有圓頻率值： ),...2,1( niii ?? ?? () 而 n 就是用有限元法求解的節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)的總自由度。 顯然特征值僅取決于系統(tǒng)本身的剛度，質(zhì)量等物理參數(shù)。 n 個(gè)自由度的系統(tǒng)有 n 個(gè)固有頻率。 2． 3 系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng) 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，主要是解系統(tǒng)的動(dòng)力方程式 )(tpKqqCqM ??? ??? () 以求得系統(tǒng)產(chǎn)生的位移、速度和加速度的值。 下面介紹無阻尼特性。 N 自由度無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)方程如下： )}({)}(]{[)}({][ tPtxKtxM ???? () 式中 PtPtPtP )...()({)}({ 21? Tnt)}( ,為任意激振力向量。 式 ()實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，可用常規(guī)解法或數(shù)值解法。在數(shù)值解法中常用直接積分和模態(tài)疊 加兩種方法。本文采用模態(tài)疊加法解式 ()以求出關(guān)鍵零件的響應(yīng)位移和響應(yīng)應(yīng)力。本課題中主要研究滑枕的響應(yīng)特性。 設(shè) }{i? 為通過正則化得到的第 i 階正則振型，以 n 個(gè)正則振型作為列而得到正則振型矩陣 [ ]? ，即： }]} ...{}{[{][ 21 n???? ? () 以正則振型矩陣 [ ]? 為變換矩陣，作如下變換： )}(]{[)}({ ttx ??? () 式中 )}({ t? 為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的正則坐標(biāo)。 則正則坐標(biāo)下的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為：