【正文】 應用創(chuàng)造了更為良好的條件，并將展示出更為廣闊的工程應用前 景。 有限元法的基本思路是： 把很復雜的結構拆分為若干個形狀簡單的單元，這些單元一般要小到可以用簡單的數(shù)學模型來描述特性參數(shù)在其中的分布，這一步驟稱為離散。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連結起來；單元節(jié)點的設置、性質、數(shù)目等應視問題的性質，描述變形形態(tài)的需要和計算精度而定。所以有限元法中分析的結構已不是原有的物體或結構物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結果就與實際情況相符 合。 2．單元特性分析 1）選擇位移模式 在有限單元法中，選擇節(jié)點位移作為基本未知量時稱為位移法；選擇節(jié)點力作為基本未知量時稱為力法；取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法易于實現(xiàn)計算自動化，所以在有限單元法中位移法應用范圍最廣。當采用位移法時，物體或結構物離散化之后，就可把單元中的一些物理量如位移、應變和應力等由節(jié)點位移來表示。這時可以對單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)予以描述。通常，有限元法中我們就將位移表示為坐標變量的簡單函數(shù)。 2）分析單元的力學性質 根據(jù)單元的材 料性質、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關系式，這是單元分析中的關鍵一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。 3）計算等效節(jié)點力 物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點力來替代所有作用在單元上的力。 3．單元組集 在 單元分析基礎上，利用平衡條件和連續(xù)條件，將各個單元拼裝成整體結構。對整體在確定邊界條件下進行分析，從而得到整體的參數(shù)關系方程組，即矩陣方程。這一過程稱為整體分析。 4．求解未知節(jié)點位移 解這樣的矩陣方程，即可得到各種參數(shù)在整體結構中的分布。 結構的動力學方程 用有限元法可以分析結構振動問題以及動態(tài)響應問題，即在動載荷下物體的應力、變形問題。 固有振動特性分析是通過研究無阻尼的自由振動，得到振動系統(tǒng)的自然屬性，即固有頻率和振型。 要研究五軸加工中心的基礎件（床身，工作臺和滑枕等）以及整 機模型，首先要建立該系統(tǒng)的動力方程。多自由度的運動微分方程可以應用牛頓第二定律，達朗伯原理，拉格郎日方程和哈密頓原理等來建立。 根據(jù)達朗伯原理，只要引入相應的慣性力，就可以將彈性體的動力問題化為相應的靜力問題，即化為彈性體的平衡問題來處理。 將彈性體分割成有限個元素，因為位移和時間有關，以 etx )}({表示元素 e 上的節(jié)點位移列向量，它是時間 t 的函數(shù)。利用所給定的位移插值方式，元素 e 中任意一點的位移｛ f（ t）｝可以用下面的矩陣方程來表示： ｛ f（ t）｝ =[N] etx )}({ () 其中 [N]是形函數(shù)矩陣。 在元素 e 上的應變向量為： ee txBt )}(]{[)}({ ?? () 其中 [B]為聯(lián)系應變與節(jié)點位移的矩陣，稱幾何矩陣。 因此，在元素 e 上應力為： eee txBDtxDt )}(]{][[)}(]{[)}({ ??? () [D]為彈性矩陣，亦稱為材料矩陣。 因此，在元素 e 上的元素剛度矩陣為： ???? e Te BDBK ]][[][][ （ ） 元素 e 上的元素負荷向量應由下面幾部分組成。一部分是由作用在元素 e 上的動載荷構成的元素負荷，它按通常的辦法來形成，但由于此時載荷是時間 t 的函數(shù)，由此形成的元素負荷向量也與時間 t 有關，記為 etF )}({ 。另一部分是由此元素上的慣性力所構成的負荷向量。 ??)}({ tf 表示加速度向量，設 ? 為物體的密度，則單位體積中的慣性力即慣性密度為： 慣)}({ tP = ?? )}({ tf? () 由此可得慣性體積力所產生的元素負荷向量為： dNtfNtF e Te ??????? )}({][)}({ ?慣 () 將式 ()代入得： ??????? ee Te txdNNNtF )}({][][)}({ ?慣 () 記為： ???? e Te dNNNM ][][][ ? () [M]e 為元素的質量矩陣，于是上式又可寫為： eee txMtF ???? )}({][)}({ 慣 () 如果當彈性體振動時，還有正比于速度 ?)}({ tf 的阻尼力，則還應考慮阻尼力對節(jié)點負荷向量的貢獻。設阻尼系數(shù)為 ? ，則單位體積上所受的阻尼力，即阻尼密度為： ??? )}({)}({ tftP ?阻 () 由此可得其所產生的元素負荷向量為： ? ? ? ? ? ? ? ????? e e eTTe txdNNNdNtfNtF )}({][][)}({][)}({ ??慣 () 記 [C] ????eTe dNNN ,][][? () [C]e 為元素的阻尼矩陣，上式又可寫為： ??? eee txCtF )}({][)}({ 慣 () 記 )}({ t? 為整個彈性體上的節(jié)點位移列向量，并將元素剛度矩陣 [K]e 按相應的“貢獻”疊加而得到總剛度矩陣，相應的也可得到總質量矩陣 [M]及總阻尼矩陣 [C]。即： ??????????????????000111][][][][][][eeeeeeeeeCCMMKK () 矩陣 [K]、 [M]和 [C]稱為剛度矩陣，質量矩陣和阻尼矩陣。 其中 e0 為元素的總數(shù)，則總負荷量為： ??? ?? )}({][)}({][)}({ tXCtxMtF () 其中 {F(t)}為由元素負荷向量 etF )}({ 按相應的“貢獻”疊加而得到的節(jié)點負荷向量，即： eee tFtF )}({)}({01??? () 于是，由達朗泊原理，就有： ??? ??? )}({][)}({][)}({)}(]{[ txCtxMtFtxK () 即： )}({)}(]{[)}({][)}({][ tFtxKtxCtxM ??? ??? () 這就是彈性體的動力方程，即用有限元素法來解彈性體的動力問題的基本方程。 對于無阻尼無外載荷的自由振動問題阻尼項和外力項均為零。于是，動力方程為： 0)}(]{[)}({][ ???? txKtxM () 由于彈性體的自由振動總可以分解為一系列簡諧振動的疊加，為了決定彈性體自由振動的固有頻率及相應的振型，考慮如下簡諧振動的解： tgt ?? s in}{)}({ ? () 其中 {g}是位移 )}({ t? 的振幅列向量，它與時間 t 無關， ? 是固有圓頻率， t 是時間。將式 ()代入 ()中并消去 sin t? 因子，就得到： （ [K] 0}]){[2 ?gM? () 于是，要找型如式 ()的簡諧振動就化為要 2? 和非零向量 {g},使?jié)M足 ()式。這樣的問題稱為廣義特征值問題，而這樣的 2? 和 {g}分別稱為廣義特征值和廣義特征向量，求得的 ? 就是振動的圓固有頻率， {g}就給出相應的振型。 由于物體的密度 0?? ，因此由式 ()定義的元素的質量矩陣 [M]e 以及由式 ()定義的總質量矩陣 [M]均是對稱正定陣。 此外，剛度矩陣 [K]在未經過劃行劃列處理時是對稱半正定陣。若在實際問題中有位移約束條件，建立了位移約束條件且排除剛體位移是，在經過劃行劃列處理后的剛度陣 [K]就是對稱正定陣。 記： 2??? () 可將式 ()改寫為： 0}]){[]([ ?? gMK ? () 由于 {g}是非零向量，故由上式中 ])[]([ MK ?? 的行列式應為零，即： 0..................])[}d e t ( [11221112121111?????????nnmnnnnnn MKMKMKMKMKMKMK??????? () 它稱為廣義特征值方程。如果矩陣 [K]的階數(shù)為 n,那么由行列式展開公式可知，廣義特征方程 ()是 ? 的 n 次代數(shù)方程，因此可決定 n 個廣義特征值 。),...2,1( nii ?? 可以證明，若剛度矩陣 [K]是對稱正定陣，則這些廣義特征值是正實數(shù)，因此由式 () 可以決定出彈性體的 n 個固有圓頻率值： ),...2,1( niii ?? ?? () 而 n 就是用有限元法求解的節(jié)點位移參數(shù)的總自由度。 顯然特征值僅取決于系統(tǒng)本身的剛度，質量等物理參數(shù)。 n 個自由度的系統(tǒng)有 n 個固有頻率。 2． 3 系統(tǒng)的動力響應 結構系統(tǒng)的動力響應，主要是解系統(tǒng)的動力方程式 )(tpKqqCqM ??? ??? () 以求得系統(tǒng)產生的位移、速度和加速度的值。 下面介紹無阻尼特性。 N 自由度無阻尼系統(tǒng)的強迫振動方程如下： )}({)}(]{[)}({][ tPtxKtxM ???? () 式中 PtPtPtP )...()({)}({ 21? Tnt)}( ,為任意激振力向量。 式 ()實質上是一個二階常系數(shù)線性微分方程，可用常規(guī)解法或數(shù)值解法。在數(shù)值解法中常用直接積分和模態(tài)疊 加兩種方法。本文采用模態(tài)疊加法解式 ()以求出關鍵零件的響應位移和響應應力。本課題中主要研究滑枕的響應特性。 設 }{i? 為通過正則化得到的第 i 階正則振型，以 n 個正則振型作為列而得到正則振型矩陣 [ ]? ，即： }]} ...{}{[{][ 21 n???? ? () 以正則振型矩陣 [ ]? 為變換矩陣，作如下變換： )}(]{[)}({ ttx ??? () 式中 )}({ t? 為結構系統(tǒng)的正則坐標。 則正則坐標下的強迫振動方程為：