【正文】 ，自由網(wǎng)平差算法，擬穩(wěn)平差算法，最小獨(dú)立閉合環(huán)的搜索，控制網(wǎng)圖形顯示，算法的效率優(yōu)化問題等方面的內(nèi)容。目前，已取得了一定的研究成果，并具有多種算法實(shí)現(xiàn)形式。從這些已有的研究成果中，比較算法的優(yōu)劣，找到最高效，最簡便的算法，或者進(jìn)行更深入的研究，提出更優(yōu)秀的算法。結(jié)合已學(xué)的平差理論基礎(chǔ)，本文重在研究平差程序的設(shè)計與實(shí)現(xiàn)，其中包括：（1）測量平差的函數(shù)模型（2）Excel在平差中的應(yīng)用基礎(chǔ)（3）Excel在附和導(dǎo)線近似平差中的應(yīng)用（4）Excel在導(dǎo)線網(wǎng)條件平差的應(yīng)用（5）矩陣的相關(guān)函數(shù)（6）平差中的重要函數(shù)（7）導(dǎo)線網(wǎng)的平差理論（8）間接平差的結(jié)構(gòu)與函數(shù)設(shè)計（9）導(dǎo)線網(wǎng)平差的程序應(yīng)用相對于手工計算，平差程序計算的主要特點(diǎn)是計算速度快、精度高、數(shù)據(jù)處理自動化，從而把人從繁重的計算工作中解放出來。從程序設(shè)計的角度看，程序設(shè)計與平差計算相對獨(dú)立。在平差手工計算時，我們總是面對需要計算的具體問題，所以其數(shù)據(jù)是特定的，計算過程由人實(shí)時控制；在計算機(jī)程序計算中，在程序設(shè)計時數(shù)據(jù)是抽象的，必須考慮到實(shí)際計算中問題的多樣性，以及數(shù)據(jù)計算過程的自動化，所以在程序設(shè)計時必須考慮需要處理的所有問題的普遍性和規(guī)律性。另外，相對于手工計算，在程序計算時，選擇平差方法的依據(jù)不同。在手工計算時，我們通常希望盡量降低計算工作量。當(dāng)必要觀測數(shù)t多余觀測數(shù)r時，我們可以選擇條件平差；當(dāng)必要觀測數(shù)t多余觀測數(shù)r時，我們可以選擇間接平差，這樣，可以降低平差計算量。然而，在計算機(jī)程序計算時，由于計算機(jī)計算的快速高效性，我們不是很關(guān)心計算量的問題，而把主要精力集中于方法實(shí)現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)性方面，也就是要求該方法具有較強(qiáng)的規(guī)律性，便于程序設(shè)計的技術(shù)實(shí)現(xiàn)。在平差程序設(shè)計中，使用間接平差，對于一般控制網(wǎng)，誤差方程形式統(tǒng)一、規(guī)律性強(qiáng)、便于程序設(shè)計；而使用條件平差，誤差方程形式多樣，規(guī)律性差，不利于程序設(shè)計。所以，在本文中，我們主要使用間接平差方法進(jìn)行程序設(shè)計?？傊覀冊谶x擇數(shù)學(xué)模型的時候，一定要考慮算法同計算機(jī)程序設(shè)計的特點(diǎn)相統(tǒng)一。平差程序設(shè)計與其它程序設(shè)計相同，應(yīng)當(dāng)滿足一定的要求。（1）程序邏輯結(jié)構(gòu)簡單，清晰易讀，符合結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計要求，便于擴(kuò)展；（2）運(yùn)算速度快，占用內(nèi)存小，內(nèi)外存之間的交換不宜過于頻繁；（3）數(shù)學(xué)模型及計算方法正確、先進(jìn)，計算結(jié)果精度高；（4）適應(yīng)性強(qiáng)，便于移植，充分考慮各種可能形式，盡量滿足不同要求與需要；（5）方便用戶，操作簡便。數(shù)據(jù)輸入與用戶作業(yè)方式與習(xí)慣相統(tǒng)一，輸出明了、齊全；盡量減少手工處理工作量，操作簡便；人機(jī)交互性要強(qiáng)。 上述要求，既體現(xiàn)在平差程序的總體設(shè)計中，也貫穿于平差程序設(shè)計的各個環(huán)節(jié)中。 結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計是計算機(jī)軟件技術(shù)高度發(fā)展的產(chǎn)物，是大規(guī)模、工業(yè)化軟件開發(fā)的基礎(chǔ)。C語言是結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計思想成熟與完善的標(biāo)志，至今，仍然是計算機(jī)軟件開發(fā)的主要語言之一。模塊的概念是軟件工程的基本概念之一。1．模塊化程序設(shè)計相關(guān)概念模塊——執(zhí)行某一特定任務(wù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和程序代碼。 在C語言中，每個模塊與一個函數(shù)（function）相對應(yīng)。模塊化——將待開發(fā)的軟件分解成若干個小的模塊，以使每個模塊可以獨(dú)立地開發(fā)、測試，最后組裝成完整的軟件。軟件模塊化的目的在于使軟件的結(jié)構(gòu)清晰，降低軟件開發(fā)難度、容易閱讀理解、測試和修改。2．劃分模塊的原則：（1）按功能劃分模塊，要求每個模塊包含單一、具體的功能（2）使每個模塊獨(dú)立性好，這就要求一個模塊具有較強(qiáng)的內(nèi)聚性和較弱的耦合性。方便于模塊的獨(dú)立開發(fā)、調(diào)試，同時，使模塊具有很好的移植性。 平差程序模塊化測量平差程序處理的對象是程序所適應(yīng)的各種測量控制網(wǎng)問題。因此，這類程序總是同一定的網(wǎng)形相聯(lián)系的。一個具體的控制網(wǎng)通常是以圖形方式直接繪出的，為了用計算機(jī)進(jìn)行控制網(wǎng)的平差計算，就需要將具體的網(wǎng)形轉(zhuǎn)化為一系列的數(shù)據(jù)，然后才能輸入計算機(jī)進(jìn)行處理。這種將網(wǎng)形轉(zhuǎn)化為一系列數(shù)據(jù)的工作和過程稱為“網(wǎng)形數(shù)字化”。網(wǎng)形數(shù)字化所得到的一組數(shù)據(jù)就是控制網(wǎng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所涉及的范圍是廣泛的。在每個具體問題中，數(shù)據(jù)元素及其關(guān)系是確定的，而且都有其特定的含義。對測量平差而言，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是表達(dá)一個控制網(wǎng)的全部數(shù)據(jù)的集合，包括已知數(shù)據(jù)、觀測數(shù)據(jù)、網(wǎng)形數(shù)據(jù)（網(wǎng)圖數(shù)據(jù)）及其關(guān)系。2 測量平差由于測量儀器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測量誤差總是不可避免的。為了提高成果的質(zhì)量，處理好這些測量中存在的誤差問題，觀測值的個數(shù)往往要多于確定未知量所必須觀測的個數(shù)，也就是要進(jìn)行多余觀測。有了多余觀測，勢必在觀測結(jié)果之間產(chǎn)生矛盾，測量平差的目的就在于消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結(jié)果并評定測量成果的精度。測量平差采用的原理就是“最小二乘法”。在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，通常對研究對象進(jìn)行抽象概括，用數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述它的某種特征或內(nèi)在的聯(lián)系，這種數(shù)學(xué)關(guān)系式就稱為數(shù)學(xué)模型。在測量工作中，涉及的是通過觀測量確定某些幾何量的大小等有關(guān)數(shù)量問題，因此，?？紤]如何建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及如何解算這些模型。由于測量觀測值是一種隨機(jī)變量，所以，平差的數(shù)學(xué)模型與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)上的模型不同，它不僅要考慮描述已知量與待求量之間的函數(shù)模型，還要考慮隨機(jī)模型，在研究任何平差方法時，函數(shù)模型和隨機(jī)模型必須同時予以考慮。常見的平差函數(shù)模型有條件平差法、附有參數(shù)的條件平差、間接平差法（參數(shù)平差法）、附有限制條件的間接平差等。函數(shù)模型是描述觀測量與待求量之間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型。對于一個平差問題，建立函數(shù)模型是測量平差中最基本、最重要的問題，模型的建立方法不同，與之相應(yīng)就產(chǎn)生了不同的平差方法。 對于我們已學(xué)的基本平差方法，最基本的數(shù)據(jù)就是觀測值向量，進(jìn)行平差時除建立其函數(shù)模型外，還要同時考慮到它的隨機(jī)模型，亦即觀測向量的協(xié)方差陣： （）式中D為L的協(xié)方差陣，Q為L的協(xié)因數(shù)陣，P為L的權(quán)陣，為單位權(quán)方差。函數(shù)模型連同隨機(jī)模型，就稱為平差的數(shù)學(xué)模型。在進(jìn)行平差計算前，函數(shù)模型和隨機(jī)模型必須首先被確定，前者按上面介紹的方法建立，后者須知道P、Q、D其中之一?？梢酝ㄟ^平差計算求出的估值確，然后根據(jù)公式 求得D的估值。在測量工作及其它科學(xué)工程領(lǐng)域，應(yīng)用最早也最廣泛的就是所謂的“最小二乘準(zhǔn)則”： （）在滿足最小二乘準(zhǔn)則下求得的真誤差稱為估值，用表示，測量工作中習(xí)慣上用符號代替，因此最小二乘準(zhǔn)則常表達(dá)為： （）由于根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則可以求得真誤差估值，也就可以求得觀測值的估值，其計算公式為： （）式中稱為觀測值的改正數(shù)，稱為觀測值的估值，或平差值、最或然值。 應(yīng)用最小二乘準(zhǔn)則，并不需要知道觀測向量屬于什么概率分布，只需要知道它的先驗權(quán)陣 就可以了。 當(dāng)為非對角陣，表示觀測值相關(guān)，按進(jìn)行的平差稱為相關(guān)觀測平差。 當(dāng)為對角陣，表示觀測值不相關(guān)，此時最小二乘準(zhǔn)則可表示為純量形式，即： （）特別地，當(dāng)觀測值不相關(guān)且等精度時，權(quán)陣為單位陣，此時最小二乘準(zhǔn)則可表示為： （）條件平差的數(shù)學(xué)模型為： （） （）條件方程個數(shù)等于多余觀測數(shù)r，n為觀測值總個數(shù)，t為必要觀測數(shù)，存在關(guān)系：r = n t （）由于r n，從式（）不能計算出?的唯一解，但可按最小二乘原理()，求出?的最然值V，從而進(jìn)一步計算觀測量 的最或然值 （又稱平差值）。 （）將（）式中的?改寫成其估值（最或然值）V，條件方程變?yōu)椋? （）條件平差就是在滿足r個條件方程條件下，求解滿足最小二乘法（）的V值，在數(shù)學(xué)中就是求函數(shù)的條件極值問題。[1] （） （） （）按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，引入乘系數(shù)（又稱為聯(lián)系數(shù)向量），構(gòu)成函數(shù)： （）為引入最小二乘法,將Φ對V求一階導(dǎo)數(shù),并令其為零：得：上式兩端轉(zhuǎn)置，得 由于P是主對角線陣，則 ，得 ：將上式兩邊左乘權(quán)逆陣 ，得： （）此式稱為改正數(shù)方程，其純量形式為： （）將（）式代入（）式，得 （）此式稱為聯(lián)系數(shù)法方程（簡稱法方程）取法方程的系數(shù)陣，由上式易知N陣關(guān)于主對角線對稱，得法方程表達(dá)式 ： （）法方程數(shù)陣N的秩： 即，N是一個r階的滿秩方陣，且可逆。將（）式移項，得： 上式兩邊左乘法方程系數(shù)陣N的逆陣 ，得聯(lián)系數(shù)K的唯一解： （）將（）式代入（）或（）式，可計算出V，再將V代入（）,即可計算出所求的觀測值的最或然值 。通過觀測值的平差值，可以進(jìn)一步計算一些未知量（如待定點(diǎn)的高程、縱橫坐標(biāo)以及邊的長度、某一方向的方位角等）的最或然值。由上述推導(dǎo)可看出，K、V及都是由（）和（）式解算出的，因此我們把（）和（）式合稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。綜合以上所述，按條件平差的計算步驟可歸結(jié)為以下幾步：（1）根據(jù)實(shí)際問題，確定出總觀測值的個數(shù)n、必要觀測值的個數(shù)t及多余觀測個數(shù)r = n t，進(jìn)一步列出最或是值條件方程（）或改正數(shù)條件方程（）；（2）根據(jù)（）式，組成法方程式；（3）依據(jù)（）式計算出聯(lián)系數(shù)K；（4）由（）式計算出觀測值改正數(shù)V；并依據(jù)（）式計算出觀測值的平差值；（5）根據(jù)（）和（）計算單位權(quán)方差 和單位權(quán)中誤差 ；（6）列出平差值函數(shù)關(guān)系式（），并對其全微分，求出其線性函數(shù)的系數(shù)陣f，利用（）式計算出平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)，代入（）計算出平差值函數(shù)的協(xié)方差。 （7）為了檢查平差計算的正確性，可以將平差值代入平差值條件方程式（），看是否滿足方程關(guān)系。1．計算單位權(quán)方差和中誤差的估值根據(jù)中誤差的定義，單位權(quán)中誤差的計算公式為 （）在一般情況下，觀測值的真誤差△是不知道的，也就不可能利用上式計算單位權(quán)中誤差。但在條件平差中，可以通過觀測值的改正數(shù)V來計算單位權(quán)方差和中誤差： （） （）式中r為多余觀測值個數(shù)，r = n–t。在（）中，須先算出VTPV的值，才能計算單位權(quán)中誤差。VTPV可用下列幾種方法計算：（1）直接利用定義式（）計算。純量形式為： （）（2）由（）和（）式導(dǎo)出 即 （）其純量形式為: （）2．協(xié)因數(shù)陣條件平差的基本向量L、W、K、V、 都可以表達(dá)成隨機(jī)向量L的函數(shù)將向量L、K、V、組成列向量，并以Z表示之 （）式中等號右端第二項是與觀測值無關(guān)的常數(shù)項陣，按協(xié)因數(shù)傳播律，得Z的協(xié)因數(shù)陣為： （）由上式可見，平差值與閉合差W、聯(lián)系數(shù)K、改正數(shù)V是不相關(guān)的統(tǒng)計量，又由于它們都是服從正態(tài)分布的向量，所以與W、K、V也是相互獨(dú)立的向量。3．平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)在條件平差中，平差計算后，首先得到的是各個觀測量的平差值。例如，測角網(wǎng)中的觀測角度的平差值，導(dǎo)線網(wǎng)中的角度觀測值和各導(dǎo)線邊長觀測值的平差值等。而我們進(jìn)行測量的目的，往往是要得到未知點(diǎn)的坐標(biāo)值、三角網(wǎng)的邊長值及方位角值等，并且評定其精度。這些值都是關(guān)于觀測值平差值的函數(shù)。設(shè)有平差值函數(shù)： （）對上式全微分得：取全微分式的系數(shù)陣為：由協(xié)因數(shù)傳播律得： （）根據(jù)的等式，知： （）代入（）式得： 即 （）此式即為平差值函數(shù)式（）的協(xié)因數(shù)表達(dá)式。則得該平差值函數(shù)的方差： （）間接平差法（參數(shù)平差法）是通過選定t個與觀測值有一定關(guān)系的獨(dú)立未知量作為參數(shù)，將每個觀測值都分別表達(dá)成這t個參數(shù)的函數(shù)，建立函數(shù)模型，按最小二乘原理，用求自由極值的方法解出參數(shù)的最或然