【正文】 form first integral)。 也就是說(shuō)即使是一般的三體問(wèn)題，也不可能通過(guò)發(fā)現(xiàn)各種不變量最終降低問(wèn)題的自由度， 把問(wèn)題化簡(jiǎn)成更簡(jiǎn)單可以解出來(lái)的問(wèn)題，這打破了當(dāng)時(shí)很多人希望找到三體問(wèn)題一般的顯式解的幻想。在一百年后學(xué)習(xí)微分方程課的人大多在第二個(gè)星期就從老師那里知道絕大多數(shù)微分方程是沒(méi)法找到定量的解的，但一般都能從定性理論中了解更多解的性質(zhì)，甚至可以通過(guò)計(jì)算機(jī) “ 看到 ” 解的形狀行為。而在龐加萊的年代，大多數(shù)數(shù)學(xué)家更熱衷于用代數(shù)或冪函數(shù)方法找到解， 使用定性方法和幾何方法來(lái)討論微分方程就是起源于龐加萊對(duì)于 N體問(wèn)題的研究，這徹底改變?nèi)藗冄芯课⒎址匠痰幕鞠敕ā? 第二，為了研究 N 體問(wèn)題，龐加萊發(fā)明了許多全新的 數(shù)學(xué)工具 。例如他完整地提出了不變積分 (invariant integrals) 的概念，并且使用它證明了著名的回歸定理 (recurrence theorem)。另一個(gè)例子是他為了研究周期解的行為，引進(jìn)了第一回歸映象 (first return map)的概念，在后來(lái)的動(dòng)力系統(tǒng)理論中被稱為龐加萊映象。還有象特征指數(shù) (characteristic exponents)，解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性 (continuous dependence of solutions with respect to parameters)等等。所有這些都成為了現(xiàn)代微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)理論中的基本概念。 第三點(diǎn)，也許是最重要的一點(diǎn)，是龐加萊通過(guò)研究所謂的漸進(jìn)解 (asymptotic solutions)，同宿軌道 (homoclinic orbits) 和異宿軌道 (hetroclinic orbits)，發(fā)現(xiàn)即使在簡(jiǎn)單的三體問(wèn)題中，在這樣的同宿軌道或者異宿軌道附近，方程的解的狀況會(huì)非常復(fù)雜，以至于對(duì)于給定的初始條件，幾乎是沒(méi)有辦法預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，這個(gè)軌道的最終命運(yùn)。事實(shí)上半個(gè)世紀(jì)后，后來(lái)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象在一般動(dòng)力系統(tǒng)中是常見(jiàn)的，他們把它叫做穩(wěn)定流形 (stable manifold)和不穩(wěn)定流形(unstable manifold)正態(tài)相交 (intersects transversally)所引起的同宿交錯(cuò)網(wǎng)(homoclinic tangle)，而這種對(duì)于軌道的長(zhǎng)時(shí)間行為的不確定性，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家稱之為混沌 (chaos)。龐加萊的發(fā)現(xiàn)可以說(shuō)是混沌理論的最早起源了 限制性三體問(wèn)題的已知解及其應(yīng)用 3 167。 N 體問(wèn)題的基本規(guī)律 設(shè) N 個(gè)天體 P P P ,….Pn ， 它們的質(zhì)量分別是 12....... nm m m、 、 、 它們?cè)谀?一慣性系里的位置矢量是 12........ nr r r、 、 、 根據(jù)牛頓的萬(wàn)有引力定律，任意兩個(gè)天體的相互引力是：2ijij ijGmmf r? 式中 ijr 表示 Pi 和 Pj之間的距離，i j i jr r r??。 按照牛頓第二定律，任意一個(gè) ip 天體的方程可寫(xiě)成： 31 ()n iji i i jj ijmmm r G r rr???? () 定義： 11nn iji j i ijmmUG r? ? ?? ?? () U 稱 N 體系統(tǒng)的力函數(shù)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，與天體相互位置有關(guān)。 用力函數(shù) U，可將（ ）式寫(xiě)成： *ii iUmr r?? ? () 由（ ）或（ ）看出 N 體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程共有 3n 個(gè)二價(jià)微分方程，所以是 6n 價(jià)的。若存在 6 個(gè)獨(dú)立積分： 1 2 6( , , , , , ... . ) 0inf t r C C C ?v () （ i = 1， 2， ……,6n ） 其中 C為獨(dú)立的積分常數(shù)，它們僅依懶于天體初始時(shí)刻的位置和速度。因此 N 體系統(tǒng)中任意天體的位置 r和速度 v都可由 （ ） 式解出，它們是時(shí)間 t和積分常數(shù) C的函數(shù)。 200 多年來(lái)盡管有很多數(shù)學(xué)工作者和天體力學(xué)工作者致力于這一工作，但到目前 ，僅找到十個(gè)獨(dú)立積分，故除二體問(wèn)題外，其他 N體系統(tǒng)的求積分問(wèn)題尚未解決。 從 N 體問(wèn)題的定義看出， N體問(wèn)題就是一般力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，正如理論力學(xué)中所得出的結(jié)論那樣，整個(gè)系統(tǒng)存在動(dòng)量守恒，動(dòng)量矩守恒和能量守恒三大守恒定律。下面我們導(dǎo)出這次類積分。 167。 動(dòng)量守恒 將 運(yùn)動(dòng)方程 （ ） 兩 端對(duì) i 求和： 31 1 1 ()n n n iji i i ji i j ijG m mm r r rr? ? ???? ? ? () 新疆大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 4 上式右端在求和過(guò)程中 ijrr? 相加為零，所以右端總和為零1 0niii mr? ??。 假如天體的質(zhì)量 m 與時(shí)間 t無(wú)關(guān) ,積分上 式得：11niii mr C? ??，其中 1C 是積分常數(shù)， ()式表明 n個(gè)天體在相互引力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的總動(dòng)能量守恒。 將 ()式對(duì) 時(shí)間 再 積分 一次， 得： 121niii m r C t C? ??? () 2C 是又一 積分常數(shù) 。設(shè) cr 是 N 體系質(zhì)心的位置矢量， 利用 質(zhì)心的定義11nni c i iiim r m r????? ，將 （ ）式 可以 寫(xiě)成： 12cMr C t C?? () 其中 M為系統(tǒng)質(zhì)量之總和。（ ）和（ ）式 ，可 得：1 0niii mr? ?? 21niii mr C? ?? 。 因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程立即可降低 6價(jià)。 167。 角動(dòng)量守恒 將方程（ ）兩端乘 ir ，并將 i 求和： 31 1 1n n n iji i i i ji i j ijG m mm r r r rr? ? ?? ? ?? ? ? () 同樣由于 ijrr? 項(xiàng)與 ijrr? 之和為零，故上式 右端總和也為零，積分后得： 31ni i ii m r r C? ??? () 3C 稱為角動(dòng)量積分常數(shù)。由此可見(jiàn)通過(guò)系統(tǒng)的質(zhì)心作一個(gè)平面垂直于 3C ，該平面不隨天體運(yùn)動(dòng)而改變，故稱不變平面，對(duì)于太陽(yáng)系，過(guò)太陽(yáng)的這一平面稱為拉普拉斯不變面。 167。 能量積分 將運(yùn)動(dòng)方程兩端點(diǎn)乘 ir 并對(duì) i 求和： 11nni i i iii iUm r r r r?? ?? ? ? ??? () 限制性三體問(wèn)題的已知解及其應(yīng)用 5 1nii idU U rdt r? ????? () 故 ()式右端是 dUdt ，積分后得： 2112 n iii m r U E? ??? () E 為積分常數(shù)，上式左端為系統(tǒng)的總動(dòng)能 T，可將 ()寫(xiě)作： T— U=E，故 ()式的物理意義是能量守恒。至此，我們 得到三個(gè)動(dòng)量積分 ()，三個(gè)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)積分(),三個(gè)角動(dòng)量積分 ()和一個(gè)能量積分 ， ()共十個(gè)積分，這十個(gè)積分稱作 N體問(wèn)題的首次積分，利用這十個(gè)首次積分可將低 N 體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程的價(jià)數(shù)。 167。 二體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程 二體問(wèn)題是天體力學(xué)中 N=2 時(shí) 唯一能得到完全解的一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)二體問(wèn)題又往往是多體問(wèn)題和復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的一 級(jí) 近以，它是研 究 天體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)基礎(chǔ)，故是天體力學(xué)中一個(gè)基本問(wèn)題。 設(shè)有兩個(gè)天體 P1 和 P2 ，它們的質(zhì)量分別是 M， m, 根據(jù) 相互的引力作用下，它們?cè)趹T性系的運(yùn)動(dòng)方程是： 1 31 3GMmMr rrGMmmr rr? ????? ???? () 這里 21r r r??， 如將原點(diǎn)選擇在質(zhì)心 O，如圖 （ 11） ， 根據(jù)質(zhì)心的定義有 1 2 1 20 , M r mr r r r? ? ? ?，因此（ ）式可寫(xiě)成： 311 231322 232()()G m rrM m rG m rrM m r? ??? ???? ??? ?? () r 2r 1r 新疆大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 6 （ ）式是兩組相互獨(dú)立的二價(jià)常微分方程，每一組有三個(gè)二價(jià)常微分方程組成，其完全解應(yīng)有六個(gè)獨(dú)立積分。 根據(jù)（ ） , 2p 相對(duì) 1p 的運(yùn)動(dòng)方程是： 3()G M mrrr ??? () （ ）式也是三個(gè)二價(jià)常微分方程。可見(jiàn)對(duì)于二體問(wèn)題，無(wú)論是相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)還是相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程都是六價(jià)的，可列成如下的統(tǒng)一形式： 3()G M mrrr ??? () 若是相對(duì)運(yùn)動(dòng) ()G M m? ??。若是相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) 32()GMMm?? ? （ ）式的完全解 應(yīng)該有六個(gè)獨(dú)立積分。 第二章 限制性三提問(wèn)題 167。 什么叫限制性三體問(wèn)題 一般三體問(wèn)題經(jīng)過(guò)降價(jià)后，仍沒(méi)有解決，并且連一個(gè)新的初積分都還沒(méi)有找到。對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際問(wèn)題，但大家采用數(shù)值方法或攝動(dòng)方法找出問(wèn)題的近以解。另外，又從理論上提出一些近以模型。這些模型 當(dāng)然是叁照天體具體情況提出的。試圖通過(guò)解決一些近以的問(wèn)題 促進(jìn)一般問(wèn)題的解決。限制性三提問(wèn)題就是一種重要的近以模型。從本節(jié)開(kāi)始，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的基本情況作些介紹。 先談一下更廣泛的限制性問(wèn)題。在討論天體或天體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)該考慮 所有的作用力。但是作用力是很難全部考慮完的，使全部找出后，運(yùn)動(dòng)方程也是無(wú)法解出的。就以 n 體問(wèn)題為列，其中只考慮 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間萬(wàn)有引力，運(yùn)動(dòng)方程也解不出來(lái)。主要困難在于運(yùn)動(dòng)方程的價(jià)數(shù)太高，很難用分析方法或定性方法 進(jìn)行討論。于是，邦加雷等人提出一種簡(jiǎn)化模型：只討論一個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)，而這個(gè) 天體所受的作用力是以知的，可以用時(shí)間的已知函數(shù)來(lái)表示。這種類型的問(wèn)題中已進(jìn)行過(guò)大量研究的有：希耳問(wèn)題，兩個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題，多個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題，或法都問(wèn)題，限制性三體問(wèn)題等 。這里只介紹最后一個(gè)。 限制性三體問(wèn)題是從太陽(yáng)系實(shí)際情況提出來(lái)的。在太陽(yáng)系中，有很多質(zhì)量非常小的天體，如絕大多數(shù)小星行，衛(wèi)星，流星等。根本不必考慮它們對(duì)其它天體的引力。由此抽象出下面一種力學(xué)模型： 三體 m1 m2 m中，設(shè) m無(wú)窮小，認(rèn)為它對(duì) m1 m2沒(méi)有引力，只考慮 m1 m2 的相互吸引力和對(duì) m的引力。研究此三體情況的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就叫做限制性三 體問(wèn)題。 限制性三體問(wèn)題的已知解及其應(yīng)用 7 167。 圓形限制性三體問(wèn)題 運(yùn)動(dòng)方程 圖（ 12） 12,pp代表兩個(gè)有限質(zhì)量的 天體，通常稱主星體， 圖（ 12） 它們的質(zhì)量分別是 12,mm ，它們繞質(zhì)心 o 作運(yùn)動(dòng)。 P 代表小天體，其質(zhì)量為 m， m 12,mm，