【正文】 ab????????524 或 ab?????? 52 故所求直線 l 的方程為： x y? ? ?52 4 1，或 x y5 2 1?? ?。 即 8 5 20 0x y? ? ? ，或 2 5 10 0x y? ? ? 點評：要求 l 的方程，須先求截距 a、 b 的值，而求截距的方法也 有三種： （ 1）從點的坐標(biāo) ? ?a， 0 或 ? ?0， b 中直接觀察出來； （ 2）由斜截式或截距式方程確定截距； （ 3）在其他形式的直線方程中，令 x?0 得 y 軸上的截距 b；令 y?0 得出 x 軸上的截距 a。 總之，在求直線方程時，設(shè)計合理的運算途徑比訓(xùn)練提高運算能力更為重要。解題時善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功 倍的效果。 題型 3：直線方程綜合問題 例 5．（ 20xx 北京春理， 12）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知△ AOB 三邊所在直線的方程分別為 x=0， y=0， 2x+3y=30，則△ AOB 內(nèi)部和邊上整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的總數(shù)是（ ） A． 95 B． 91 C． 88 D． 75 答案： B 解析一：由 y=10－ 32 x（ 0≤ x≤ 15， x∈ N）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式 y≤ 10－ 32 x（ 0≤ x≤ 15， x∈ N）所有整數(shù) y 的值 .然后再求其總數(shù) .令 x=0， y 有 11 個整數(shù)， x=1， y 有 10 個，x=2 或 x=3 時， y 分別有 9 個， x=4 時， y 有 8 個， x=5 或 6 時， y 分別有 7 個，類推： x=13時 y 有 2 個， x=14 或 15 時， y 分別有 1 個，共 91 個整點 .故選 B。 解析二：將 x=0， y=0 和 2x+3y=30 所圍成的三角形補成一個矩形 .如圖所示。 對角線上共有 6 個整點，矩形中（包括邊界）共有 16179。 11=176.圖 第 7 頁 共 25 頁 因此所求△ AOB 內(nèi)部和邊上的整點共有 2 6176? =91（個） 點評：本題較好地考查 了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑。 例 6．（ 20xx 京春理， 22）已知動圓過定點 P（ 1， 0），且與定直線 l： x=－ 1 相切，點 C 在 l 上。 （Ⅰ）求動圓圓心的軌跡 M 的方程； （Ⅱ）設(shè)過點 P，且斜率為－ 3 的直線與曲線 M 相交于 A、 B 兩點。 （ i）問：△ ABC 能否為正三角形？若能，求點 C 的坐標(biāo)；若不能，說明理由； （ ii）當(dāng)△ ABC 為鈍角三角形時，求這種點 C 的縱坐標(biāo)的取值范圍。 （Ⅰ）解法一，依題意，曲線 M 是以點 P 為焦點 ，直線 l 為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線 M 的方程為 y2=4x. 解法二：設(shè) M（ x， y），依題意有 |MP|=|MN|， 所以 |x+1|= 22)1( yx ?? 。化簡得： y2=4x。 （Ⅱ）（ i）由題意得，直線 AB 的方程為 y=－ 3 （ x－ 1） . 由?????????.4),1(32 xyxy 消 y 得 3x2－ 10x+3=0， 解得 x1=31 ， x2=3。 所以 A 點坐標(biāo)為（ 332,31 ）， B 點坐標(biāo)為（ 3，－ 2 3 ）， |AB|=x1+x2+2= 316 。 假設(shè)存在點 C（－ 1， y），使△ ABC 為正三角形，則 |BC|=|AB|且 |AC|=|AB|，即 ???????????????.)316()32()131(,)316()32()13(222222yy 圖 ① ② 第 8 頁 共 25 頁 由①－②得 42+（ y+2 3 ） 2=（ 34 ） 2+（ y－ 332 ） 2， 解得 y=－ 9314 。 但 y=－ 9314 不符合①， 所以由①，②組成的方程組無解。 因此，直線 l 上不存在點 C，使得△ ABC 是正三角形。 （ ii）解法一：設(shè) C（－ 1， y）使△ ABC 成鈍角三角形，由????? ??? .1 ),1(3x xy得 y=2 3 ， 即當(dāng)點 C 的坐標(biāo)為（－ 1， 2 3 ）時， A、 B、 C 三點共線，故 y≠ 2 3 。 又 |AC|2=（－ 1－ 31 ） 2+（ y－ 332 ） 2= 334928 y? +y2， |BC|2=（ 3+1） 2+（ y+2 3 ） 2=28+4 3 y+y2， |AB|2=（ 316 ） 2= 9256 。 當(dāng)∠ CAB 為鈍角時， cosA=||||2 ||||||222ACAB BCACAB ? ??0。 即 |BC|2 |AC|2+|AB|2，即 92563 349283428 22 ?????? yyyy ， 即 y 392 時，∠ CAB 為鈍角。 當(dāng) |AC|2|BC|2+|AB|2，即 925634283 34928 22 ?????? yyyy ， 即 y－ 3310 時，∠ CBA 為鈍角。 第 9 頁 共 25 頁 又 |AB|2|AC|2+|BC|2，即 22 34283349289256 yyyy ?????? ， 即 0)32(,034334 22 ????? yyy。 該不等式無解，所以 ∠ ACB 不可能為鈍角。 因 此 ， 當(dāng)△ ABC 為 鈍 角三 角 形時 ， 點 C 的縱 坐 標(biāo) y 的 取 值范 圍 是)32(9 323 310 ???? yyy 或 。 解法二：以 AB 為直徑的圓的方程為（ x－ 35 ） 2+（ y+ 332 ） 2=（ 38 ） 2。 圓心（ 332,35 ? ）到直線 l： x=－ 1 的距離為 38 ， 所以，以 AB 為直徑的圓與直線 l 相切于點 G（－ 1，－ 332 ）。 當(dāng)直線 l 上的 C 點與 G 重合時，∠ ACB 為直角，當(dāng) C 與 G 點不重合，且 A、 B、 C三點不共線時，∠ ACB 為銳角，即△ ABC 中，∠ ACB 不可能是鈍角。 因此，要使△ ABC 為鈍角三角形，只可能是∠ CAB 或∠ CBA 為鈍角。 過點 A 且與 AB 垂直的直線方程為 )31(333 32 ??? xy 。 令 x=－ 1 得 y= 932 。 過點 B 且與 AB 垂直的直線方程為 y+2 333? （ x－ 3）。 令 x=－ 1 得 y=－ 3310 。 又由????? ??? .1 ),1(3x xy解得 y=2 3 ， 第 10 頁 共 25 頁 所以，當(dāng)點 C 的坐標(biāo)為（－ 1， 2 3 ）時， A、 B、 C 三點共線，不構(gòu)成三角形。 因此，當(dāng)△ ABC 為鈍角三角形時，點 C 的縱坐標(biāo) y 的取值范圍是 y－ 3310 或y 932 （ y≠ 2 3 ）。 點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系” .題目的設(shè)計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想 .該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查 .對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。 題型 4：圓的方程 例 7．（ 1）已知△ ABC 的三個項點坐標(biāo)分別是 A（ 4， 1）， B（ 6，－ 3）， C（－ 3， 0），求△ ABC 外接圓的方程。 分析：如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ?，將三個頂點坐標(biāo)分別代入，即可確定出三個獨立參數(shù) a， b， r，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到△ ABC 外接圓的圓心是△ ABC 三邊垂直平分線的交點，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解法一：設(shè)所求圓的方程是 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ? ① 因為 A（ 4， 1）， B（ 6，－ 3）， C（－ 3， 0）都在圓上， 所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①，于是 2 2 22 2 22 2 2( 4 ) (1 ) ,(6 ) ( 3 ) ,( 3 ) (0 ) .a b ra b ra b r? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 可解得21,3,25.abr????????? 所以△ ABC 的外接圓的方程是 22( 1) ( 3) 25xy? ? ? ?。 解法二：因為△ ABC 外接圓的圓心既在 AB 的垂直平分線上，也在 BC 的垂直平分線上，所以先求 AB、 BC 的垂直平分線方程，求得的交點坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。 ∵ 31 264ABk ??? ? ??， 0 ( 3) 13 6 3BCk ??? ? ???，線段 AB 的中點為（ 5，－ 1），線段BC 的中點為 33( , )22?， 第 11 頁 共 25 頁 ∴ AB 的垂直平分線方 程為 11 ( 5)2yx? ? ?， ① BC 的垂直平分線方程 333( )22yx? ? ? ② 解由①②聯(lián)立的方程組可得 1, ??? ??? ∴△ ABC 外接圓的圓心為Ｅ（ 1，－ 3）， 半徑 22| | ( 4 1 ) (1 3 ) 5r A E? ? ? ? ? ?。 故△ ABC 外接圓的方程是 22( 1) ( 3) 25xy? ? ? ?． 點評：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)。 （ 2）求過 A（ 4， 1）， B（ 6，－ 3）， C（－ 3， 0）三點的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。 分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例 1 是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程．現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可以比較一下哪種方法簡捷。 解析：設(shè)圓的方程為 22 0x y D x Ey F? ? ? ? ? ① 因為三點 A（ 4， 1）， B（ 6，－ 3）， C（－ 3， 0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程①的解，將它們的坐標(biāo)分別代入方程①，得到關(guān)于 D， E， F 的一個三元一次方程組： 2222224 1 4 06 ( 3 ) 6 3 0( 3 ) 0 3 0 0D E FD E FD E F? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??，解得 2615DEF??????????。 所以，圓的方程是 22 2 6 15 0x y x y? ? ? ? ?