【正文】 AE BC ，過點 D 作 ,DE AB DE 與 AC AE、 分別交于點 O 、點 E ，連接 EC 求證： AD EC? 。 當 RtBAC? ? ? 時，求證：四邊形 ADCE 是菱形； 在（ 2）的條件下，若 AB AO? ，求 tan OAD? 的值 . ODA EB C 【答案】 .證明： (1) 解法 1：因為 DE//AB,AE//BC,所以四邊形 ABDE是平行四邊形， 所以 AE//BD且 AE=BD，又因為 AD是邊 BC上的中線，所以 BD=CD，所以 AE平行且等于 CD，所以四邊形 ADCE是平行四邊形， 所以 AD=EC. 解法 2： / / , / / ,D E A B A E B C AB D E B ED C? ? ? ?四 邊 形 是 平 行 四 邊 形 ， AB DE?? 又 AD BC是 邊 上 的 中 線 BD CD?? ()ABD EDC SA S?? AD ED?? (2)解法 1： 證明 R t ,BAC AD? ? ?是斜邊 BC 上的中線 AD BD C D? ? ? 又 四邊形 ADCE 是平行四邊形 四邊形 ADCE 是菱形 解法 2 證明： / / , R tD E AB BAC? ? ? DE AC?? 又 四邊形 ADCE 是平行四邊形 四邊形 ADCE 是菱形 解法 3 證明： RtBAC AD BC? ? ? ， 是 斜 邊 上 的 中 線 AD BD CD? ? ? 四邊形 ABDE 是平行四邊形 AE BD CD? ? ? 又 A D E CA D C D C E A E?? ? ? ? ?四 邊形 ADCE 是菱形 解法 1 解： 四邊形 ADCE 是菱形 , 9 0A O C O A O DB D C D? ? ? ? ??又 OD ABC??是 的中位線，則 12OD AB? 12AB AOOD AO??? 1R t ta n 2ODA B C O A D OA? ? ? ? ?在 中 ， 解法 2 解： 四邊形 ADCE 是菱形 1 , , 90212AO C O AC AD C D AO DAB AOAB AC? ? ? ? ? ? ???? 1R t t a n21t a n t a n2ABABC AC BACAD C DDAC DC AOAD AC B? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?在 中 ， 10. （ 2020浙江省嘉興， 23， 12分） 以四邊形 ABCD的邊 AB、 BC、 CD、 DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為 E、 F、 G、 H，順次連結這四個點，得四邊形 EFGH． （ 1）如圖 1，當四邊形 ABCD 為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形 EFGH是正方形；如圖 2，當四邊形 ABCD為矩形時，請判斷：四邊形 EFGH的形狀（不要求證明）； （ 2）如圖 3，當四邊形 ABCD為一般平行四邊形時，設 ∠ ADC=? （ 0176。 ＜ ? ＜ 90176。 ）， ① 試用含 ? 的代數(shù)式表示 ∠ HAE； ② 求證： HE=HG； ③ 四邊形 EFGH是什么四邊形？并說明理由． AB CDHEFG（第 23 題圖 2） EBFGDHAC（第 23 題圖 3） （第 23 題圖 1） AB CDHEFG【答案】（ 1）四邊形 EFGH是正方形． (2) ①∠ HAE=90176。 ＋ a． 在 □ABCD 中， AB∥ CD， ∴∠ BAD=180176。 － ∠ ADC=180176。 － a； ∵△ HAD和 △ EAB都是等腰直角三角形， ∴∠ HAD=∠ EAB=45176。 ， ∴∠ HAE=360176。 － ∠ HAD－ ∠ EAB－ ∠ BAD＝ 360176。 － 45176。 － 45176。 －（ 180176。 － a）＝ 90176。 ＋ a． ②∵△ AEB和 △ DGC都是等 腰直角三角形， ∴ AE= 22 AB， DG= 22 CD， 在 □ABCD 中， AB=CD， ∴ AE=DG， ∵△ HAD和 △ GDC都是等腰直角三角形， ∴∠ DHA=∠ CDG= 45176。 ， ∴∠ HDG=∠ HAD＋ ∠ ADC＋ ∠ CDG＝ 90176。 ＋ a＝ ∠ HAE． ∵△ HAD是等腰直角三角形， ∴ HA=HD， ∴△ HAE≌△ HDG， ∴ HE=HG． ③ 四邊形 EFGH是正方形． 由 ② 同理可得： GH=GF， FG=FE， ∵ HE=HG（已證）， ∴ GH=GF=FG=FE， ∴ 四邊形 EFGH是菱形；∵△ HAE≌△ HDG（已證）， ∴∠ DHG=∠ AHE，又 ∵∠ AHD=∠ AHG＋ ∠ DHG=90176。 ， ∴∠ EHG=∠ AHG＋ ∠ AHE＝ 90176。 ， ∴ 四邊形 EFGH是正方形． 13. （ 2020 福建泉州， 21， 9 分）如圖，將矩形 ABCD 沿對角線 AC 剪開，再把 △ ACD 沿 CA方向平移得到 △ A1C1D1． (1)證明： △ A1AD1≌△ CC1B； (2)若 ∠ ACB＝ 30176。 ，試問當點 C1在線段 AC上的什么位置時，四邊形 ABC1D1是菱形 . （直接寫出答案） 【答案】 ∵ 矩形 ABCD ∴ BC=AD,BC∥ AD ∴∠ DAC=∠ ACB ∵ 把 △ ACD沿 CA方向平移得到 △ A1C1D1． ∴∠ A1=∠ DAC,A1D1=AD,AA1=CC1 ∴∠ A1=∠ ACB， A1D1=CB。 ∴△ A1AD1≌△ CC1B（ SAS）。 ?????6 分 C B A D A1 C1 D1 （第 21 題） 當 C1 在 AC 中點時四邊形 ABC1D1是菱形， ?????9 分 14. （ 2020甘肅蘭州， 27， 12分）已知：如圖所示的一張矩形紙片 ABCD（ ADAB），將紙片折疊一次，使點 A與點 C重合，再展開，折痕 EF交 AD邊于點 E，交 BC邊于點 F，分別連結AF和 CE。 （ 1）求證：四邊形 AFCE是菱形； （ 2）若 AE=10cm，△ ABF的面積為 24cm2，求△ ABF的周長； （ 3）在線 段 AC 上是否存在一點 P，使得 2AE2=AC AP？若存在，請說明點 P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由。 【答案】 （ 1）由折疊可知 EF⊥ AC， AO=CO ∵ AD∥ BC ∴∠ EAO=∠ FCO，∠ AEO=∠ CFO ∴△ AOE≌△ COF ∴ EO=FO ∴四邊形 AFCE是菱形。 （ 2）由（ 1）得 AF=AE=10 設 AB=a， BF=b，得 a2+b2=100 ①， ab=48 ② ① +2②得 (a+b)2=196，得 a+b=14（另一負值舍去） ∴△ ABF的周長為 24cm （ 3）存在，過點 E作 AD 的垂線 交 AC于點 P，則點 P符合題意。 A B C D E F O 證明：∵∠ AEP=∠ AOE=90176。，∠ EAP=∠ OAE ∴△ AOE∽△ AEP ∴ AO AEAE AP? ，得 AE2=AO AP 即 2AE2=2AO AP 又 AC=2AO ∴ 2AE2=AC AP 15. （ 2020 廣東株洲， 23， 8 分）如圖，矩形 ABCD中，點 P 是線段 AD 上一動點， O為 BD的中點， PO的延長線交 BC于 Q. （ 1）求證： OP=OQ； （ 2）若 AD=8厘米， AB=6厘米， P從點 A出發(fā)，以 1厘米 /秒的速度向 D運動（不與 D重合） .設點 P運動時間為 t秒，請用 t表示 PD的長；并求 t為何 值時，四邊形 PBQD是菱形． 【答案】 （ 1）證明： 四邊形 ABCD是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ PDO=∠ QBO，又 OB=OD， ∠ POD=∠ QOB， ∴△ POD≌△ QOB， ∴ OP=OQ。 （ 2）解法一： PD=8t ∵四邊形 ABCD是矩形，∴ ∠ A=90176。， ∵ AD=8cm， AB=6cm，∴ BD=10cm，∴ OD=5cm. 當四邊形 PBQD是菱形時， PQ⊥ BD，∴ ∠ POD=∠ A，又 ∠ ODP=∠ ADB， ∴△ ODP∽△ ADB， A B C D E F O P ∴ OD ADPD BD?，即 588 10t ??， 解得 74t?,即運動時間為 74秒時，四邊形 PBQD是菱形 . 解法二： PD=8t 當四邊形 PBQD是菱形時， PB=PD=(8t)cm， ∵四邊形 ABCD是矩形，∴ ∠ A=90176。，在 RT△ ABP中， AB=6cm， ∴ 2 2 2AP AB BP??， ∴ 2 2 26 (8 )tt? ? ? ， 解得 74t?,即運動時間為 74秒時，四邊形 PBQD是菱形 . 16. （ 2020江蘇蘇州， 28,9分）（本題滿分 9分）如圖①，小慧同學吧一個正三角形紙片（即△ OAB）放在直線 l1上， OA邊與直線 l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點 A按順時針方向旋轉 120176。，此時點 O 運動到了點 O1處，點 B運動到了點 B1處；小慧又將三角形紙片 AO1B1繞B1點按順時針方向旋轉 120176。，點 A 運動到了點 A1處，點 O1運動到了點 O2處（即頂點 O 經(jīng)過上述兩次旋轉到達 O2處） . 小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉過程中，頂點 O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即弧 OO1和弧 O1O2，頂點 O 所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩端圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形 AOO1的面積、△ AO1B1的面積和扇形 B1O1O2的面積之和 . 小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為 1的正方形紙片 OABC放在直線 l2上， OA邊與直線 l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點 A按順時針方向旋轉 90176。，此時點 O運動到了點O1處（即點 B處），點 C運動到了點 C1處，點 B運動到了點 B1處；小慧又將正方形紙片 AO1C1B1繞 B1點按順時針方向旋轉 90176。，??，按上述方 法經(jīng)過若干次旋轉后，她提出了如下問題： 問題①：若正方形紙片 OABC按上述方法經(jīng)過 3次旋轉，求頂點 O經(jīng)過的路程，并求頂點 O在此運動過程中所形成的圖形與直線 l2圍成圖形的面積；若正方形 OABC按上述方法經(jīng)過 5次旋轉，求頂點 O經(jīng)過的路程； 問題②：正方形紙片 OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉，頂點 O經(jīng)過的路程是 2 22041?π？ 請你解答上述兩個問題 . 【答案】 解問題①：如圖，正方形紙片 OABC 經(jīng)過 3 次旋轉，頂點 O運動所形成的圖形是三段弧，即弧 OO弧 O1O2以及弧 O2O3， ∴頂點 O運動過程中經(jīng)過的路程為 ??? )221(180 2902180 190 ???????? . 頂點 O在此運動過程中所形成的圖形與直線 l2圍成圖形的面積為 11212360 )2(902360 190 22 ?????????? ?? =1+π . 正方形 OABC經(jīng)過 5次旋轉，頂點 O經(jīng)過的路程為 ??? )2223(180 2903180 190 ???????? . 問題②：∵方形 OABC經(jīng)過 4次旋轉，頂點 O經(jīng)過的路程為 ??? )221(180 2902180 190 ???????? ∴ 2 22041? π =20 )221( ? π +21 π . ∴正方形紙片 OABC經(jīng)過了 81 次旋轉 . 17. （ 2020江蘇泰州， 24， 10分）如圖，四邊形 ABCD是矩形，直線 L垂直平分線段 AC，垂足為 O，直線 L分別與線段 AD、 CB的延長線交于點 E、 F． （ 1）△ ABC與△ FOA相似嗎？為什么？ （ 2）試判定四邊形 AFCE的形狀，并說明理由． lOAFECBD 【答案】 (1)相似 .由直線 L 垂直平分線段 AC，所以 AF=FC，∴∠ FAC=∠ ACF，又∵∠ ABC=∠ AOF=90176。，∴△ ABC∽ FOA． （ 2）四邊形