【正文】 四、求切線方程和法線方程 例 1 已知兩曲線 )(xfy? 與 2arctan0 x ty e dt???在點 （ 0， 0）處的切線相同，寫出此切線方程 ，并求 2lim ( )n nf n??。 解：由已知條件可知 0)0( ?f ， 2(a rc ta n )02(0 ) 11xxef x??? ??? 故 所求切線方程為 xy? 2( ) ( 0 )2l im ( ) l im 2 2 ( 0 ) 22nnffnn f fnn? ? ? ???? ? ? ? 例 2 已知曲線的極坐標方程 ?cos1??r ，求曲線上對應于 6??? 處的切線與法線的直角坐標方程。 解： 曲線的參數(shù)方程為??? ???? ???? ????? ???? c o ss ins ins in)c o s1( c o sc o sc o s)c o s1( 2y x 1s i nc o s2s i n s i nc o sc o s62266??? ??????? ?????? ????????ddxddydxdy 故切線方程 )4323(14321 ?????? xy 即 045343 ???? yx 法線方程 1 3 3 3()2 4 2 4yx? ? ? ? ? ? 即 041341 ???? yx 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 30 例 3 設 )(xf 為 周 期 是 5 的 連 續(xù) 函 數(shù) ， 在 0?x 鄰 域 內(nèi) ， 恒有( 1 s i n ) 3 ( 1 s i n ) 8 ( )f x f x x x?? ? ? ? ?。 其中 0)(lim0 ?? xxx ? ， )xf 在 1?x 處可導，求曲線 )(xfy? 在點（ )6(,6 f ）處的切線方程。 解：由題設可知 )1()6( ff ? ， (6) (1)ff??? ，故切線方程為 (1) (1)( 6 )y f f x?? ? ? 所以關鍵是求出 )1(f 和 (1)f? 由 )(xf 連續(xù)性 )1(2)]s in1(3)s in1([lim0 fxfxfx ?????? 由所給條件可知 0)1(2 ?? f ， ∴ 0)1( ?f 再由條件可知 8)s i n )(s i n8(l i ms i n )s i n1(3)s i n1(l i m00 ?????? ?? xxxxx xfxf xx ? 令 8)1(3)1(lim,s in0 ????? ? t tftftx t，又 ∵ 0)1( ?f ∴ 上式左邊 =)( )1()1(lim3)]1()1([lim 00 t ftft ftf tt ? ????? ?? = (1) 3 (1) 4 (1)f f f? ? ??? 則 4 (1) 8f? ? (1) 2f? ? 所求切線方程為 )6(20 ??? xy 即 0122 ??? yx 五、高階導數(shù) 1． 求二階導數(shù) 例 1 設 )ln ( 22 axxy ??? ，求 39。y 解： 2222139。 ( )y x x ax x a ?? ? ??? 2222221)1(1 axax xaxx ??????? 3222322)(2)(2139。39。axxxaxy???????? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 31 例 2 設2ln(1 )x arctantyt??? ??? 求 22dxyd 解： ttttdtdxdtdydxdy 2111222 ????? 2222( ) ( ) 2/ 2 ( 1 )11d y d yddd y d xd x d x td x d x d t d tt? ? ? ? ?? 例 3 設 )(xyy? 由方程 122 ??yx 所確定，求 39。y 解： 039。22 ?? yyx ，yxy ??39。 222139。39。xyy xy yyyy????? ? ? ? 22331yxyy?? ? ? ? 2．求 n 階導數(shù)（ 2?n ，正整數(shù)） 先求出 ,yy? ? ，總結出規(guī)律性，然后寫出 )(ny ，最后用歸納法證明。 有一 些 常用的初等函數(shù)的 n 階導數(shù)公式 （ 1） xey? xn ey ?)( （ 2） )1,0( ??? aaay x nxn aay )(ln)( ? （ 3） xy sin? )2s in()( ?nxy n ?? （ 4） xy cos? )2c os ()( ?nxy n ?? （ 5） xy ln? nnn xny ?? ??? )!1()1( 1)( 兩個函數(shù)乘積的 n 階導數(shù)有萊布尼茲 公式 )()()]()([ 0 )()()( xvxuCxvxu nk knkknn ?? ?? 其中)!(! ! knk nC kn ??， )()()0( xuxu ? ， )()()0( xvxv ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 32 假設 )(xu 和 )(xv 都是 n 階可導 例 1 設 kxy? （ k 正整數(shù)），求 )(ny （ n 正整數(shù)） 解：??? ?????? ? kn knxnkkky nkn ,0 ,)1()1()( ? 例 2 設 xxy n??1 ，求 )(ny （ n 正整數(shù)） 解： )1(1 11 1)1( 21 ???????? ??? ?? xxxxxxy nnn ? 1)(1)( )1( !])1[( ?? ???? nnn xnxy 例 3 設2 132y xx? ??，求 )(ny （ n 正整數(shù)） 解： 11 )1()2(1121)2)(1( 1 ?? ??????????? xxxxxxy 22[ ( 2) ( 1 ) ]y x x??? ? ? ? ? ? 33( 1 ) ( 2 ) [ ( 2 ) ( 1 ) ]y x x???? ? ? ? ? ? ? …… ( ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ! [ ( 2 ) ( 1 ) ]n n n ny n x x? ? ? ?? ? ? ? ? 例 4 設 xxy 44 coss in ?? ，求 )(ny （ n 正整數(shù)） 解： 22 )2 2c o s1()2 2c o s1( xxy ???? xx 4c o s4143)2c o s22(41 2 ???? )24c o s (4)24c o s (441 1)( ?? nxnxy nnn ????? ? 例 5 設 xexy 23? ，求 )(ny （ n 正整數(shù)） 解： 用萊布尼茲公式 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 33 )(2)(30)( )()( knxknkknn exCy ???? )3(2)2(2)1(22)(23 )(66 )2)(1()(62 )1()(3)( ??? ????????? nxnxnxnx ennnexnnenxex)]2)(1()1(6128[2 2323 ??????? ? nnnxnnnxxe xn 167。 微分中值定理 本節(jié)專門討論 考 研數(shù)學中經(jīng)?？嫉乃拇蠖ɡ?： 羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒 公式）。 [注：數(shù)學三不考泰勒定理，數(shù)學四不考泰勒定理 ] 這部分有關考題主要是證明題，其中技巧性比較高，因此典型例題比較多，討論比較詳細。 （甲）內(nèi)容要點 一、 羅爾定理 設函數(shù) )(xf 滿足 （ 1） 在閉區(qū)間 [ ba, ]上連續(xù)； （ 2）在開區(qū)間 （ ba, ）內(nèi)可導； （ 3） )()( bfaf ? 則存在 ),( ba?? ，使得 ( ) 0f ?? ? 幾何意義：條件 （ 1）說明曲線 )(xfy? 在 ))(,( afaA 和 ))(,( bfbB 之間是連續(xù)曲線；[包括點 A和點 B]。 條件（ 2）說明曲線 )(xfy? 在 BA, 之間是光滑曲線，也即每一點都有不垂直于 x 軸的切線 [不包括點 A 和點 B ]。 條件（ 3）說明曲線 )(xfy? 在端點 A 和 B 處縱坐標相等。 結論說明曲線 )(xfy? 在點 A 和點 B 之間 [不包括點 A 和點 B ]至少有一點，它的切線平行于 x 軸。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 34 二、拉格朗日中值定理 設函數(shù) )(xf 滿足 （ 1）在閉區(qū)間 [ ba, ]上連續(xù)； （ 2）在開區(qū)間（ ba, ）內(nèi)可導 則存在 ),( ba?? ，使得 ( ) ( ) ()f b f a fba ?? ??? 或寫成 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a a b???? ? ? ? ? 有時也寫成 0 0 0( ) ( ) ( ) ( 0 1 )f x x f x f x x x???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這里 0x 相當 a 或 b 都可以， x? 可正可負。 幾何意義：條件（ 1）說明曲線 )(xfy? 在點 ))(,( afaA 和點 ))(,( bfbB 之間 [包括點 A和點 B ]是連續(xù)曲線 ： 條件 （ 2）說明曲線 )(xfy? [不包括點 A 和點 B ]是光滑曲線。 結論說明：曲線 )(xfy? 在 A ， B 之間 [不包括點 A 和點 B ]，至少有點，它的切線與割線 AB 是平行的。 推論 1 若 ()fx在 (, )ab 內(nèi)可導，且 ( ) 0fx? ? ，則 ()fx在 (, )ab 內(nèi)為常數(shù)。 推論 2 若 )(xf 和 )(xg 在（ ba, ）內(nèi)可導，且 39。( ) ( )f x g x?? ，則 在 ],[ ba 內(nèi)Cxgxf ?? )()( ，其中 C 為一個常數(shù)。 （注：拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣，當 )()( bfaf ? 特殊情形，就是羅爾定理 ） 三、柯西中值定理 設函數(shù) )(xf 和 )(xg 滿足：