【正文】 Axiom 3 (傳遞性 )： (?x, y, z?X )((( x ? y)?( y ? z ))?( x ? z)) 對(duì)于 x?X，集合 [x]={y?X : y ? x} 稱作 x 的 等價(jià)類 或者 無差異類 或者 無差異曲線 ，它由兩兩無差異 (一樣好 )的消費(fèi)方案構(gòu)成。 無差異曲線具有如下特點(diǎn)： X 中的每個(gè)點(diǎn)都要落在某條無差異曲線上。 。 “薄” ，也可能較“厚”，如右 圖所示。 X [x] x 三、關(guān)于偏好的假設(shè) 理性消費(fèi)者對(duì)于商品消費(fèi)的偏好還具有一些特點(diǎn)，偏好關(guān)系具有一些一般性質(zhì)。這些一般性質(zhì)通常以下面的假設(shè)形式提出。 ? 假設(shè) HP 消費(fèi)者的偏好關(guān)系是無滿足、連續(xù)、嚴(yán)格凸的 。 這個(gè)假設(shè)實(shí)際上由以下三個(gè)分假設(shè)構(gòu)成： ? 無滿足性： 對(duì)任何 x?X，都存在 y?X 使得 x ? y 。 ? 連 續(xù) 性： 對(duì)任何 x?X，集合 { y?X : y ? x}和 { y?X : y ? x}都是 X 的 (相對(duì) )開子集。 ? 嚴(yán)格凸性： 對(duì)任何 x, y?X ，只要 x ? y 且 x ? y，那么對(duì)任何實(shí)數(shù) t ?(0, 1)， 都有 t x + (1? t ) y ? y 。 有些時(shí)候，還會(huì)要求偏好關(guān)系具有單調(diào)性： 這些假設(shè)反映了實(shí)際消費(fèi)活動(dòng)的一些重要特點(diǎn)，下面來對(duì)這些特點(diǎn)作出解釋。 ? 偏好的單調(diào)性 ： 對(duì)任何 x, y?X，只要 x ? y， 就有 x ? y 。 (一 ) 偏好的無滿足性 ? 欲望無止境 ：在人的一個(gè)欲望得到了滿足之后，接著會(huì)產(chǎn)生另一個(gè)更大的欲望。沒有理由限制人的欲望的不斷產(chǎn)生。 ? 偏好的無滿足性正是對(duì)消費(fèi)者欲望無止境的準(zhǔn)確表述 ：任何一種消費(fèi)方案都無法滿足消費(fèi)者無止境的欲望。 與無滿足性概念相關(guān)聯(lián)的還有這樣幾個(gè)概念：子集中有滿足或無滿足、局部無滿足。下面進(jìn)行說明。 ))()(( yxXyXx ?????欲 望 無 止 境 xyzX 1. 子集中有滿足與無滿足 (1) 子集中的滿足消費(fèi) ：設(shè) W ? X 且 w ?W 。消費(fèi)向量 w 稱為是消費(fèi)者 在子集 W 中的滿足消費(fèi) ，是指 (?x?W )( x ? w)。 (2) 子集中有滿足 ：設(shè) W ? X 。 如果存在 w ?W 使得 w 是消費(fèi)者在子集 W 中的滿足消費(fèi)，則稱消費(fèi)者 在 W 中有滿足 。 (3) 子集中無滿足 ：設(shè) W ? X 。 如果消費(fèi)者在子集 W 中沒有滿足消費(fèi)，則稱消費(fèi)者 在 W 中無滿足 。 (4) 全局滿足消費(fèi) ：如果消費(fèi)者在消費(fèi)集合 X 中有滿足，則把消費(fèi)者在 X 中的滿足消費(fèi)叫做消費(fèi)者的 全局滿足消費(fèi) 。 顯然， 偏好的無滿足性 是說 消費(fèi)者沒有全局滿足消費(fèi) 。 子集中有滿足 子集中無滿足 W W w2. 局部無滿足性 ? 局部無滿足性 ? 無滿足性 ，即局部無滿足性比無滿足性更強(qiáng)。 ? 無滿足的偏好未必局部無滿足 ，下面的例子證明了這一點(diǎn)。 ? 局部無滿足性 ：消費(fèi)者在 x?X 處局部無滿足，是指對(duì) x 的任何鄰域 U，都存在 y?U ? X 使得 x ? y。如果消費(fèi)者在任何可行方案處都是局部無滿足的，則稱他 (的偏好 )是局部無滿足的。 x w z y (?x, y?X )(( x ? y) ? ([x1x2]? [ y1 y2])) 其中 x = ( x1, x2), y = ( y1, y2), [r] 表示不小于實(shí)數(shù) r 的最小整數(shù)。 某人在兩種消費(fèi)品中進(jìn)行選擇，他關(guān)注這兩種商品的消費(fèi)量的乘積：乘積越大，他認(rèn)為越好。但該人并不斤斤計(jì)較，他對(duì)于兩種商品消費(fèi)量乘積的小數(shù)位忽落不計(jì)：只要消費(fèi)向量的分量乘積的整數(shù)位相同，效用就相同。 顯然，這個(gè)消費(fèi)者的消費(fèi)集合 ，偏好關(guān)系可表述為： 3. 無滿足但不是局部無滿足的偏好事例 ? 這是一個(gè)無滿足的偏好關(guān)系。 ? 無差異曲線很厚。 ? 如右圖 所示， x 的鄰域 U 中的所有點(diǎn)都與 x無差異，故 U 中沒有比 x更優(yōu)的點(diǎn)，說明該偏好不是局部無滿足。 x2 2?? RXx1 1][ 21 ?xxx U 無 差 異 曲 線 很 厚 o 對(duì)任何 x?X , { y?X : y ? x} 和 { y?X : y ? x} 都是 X 中的開集 這里， N(z)表示 z 的鄰域系，即商品空間 中包含 z 的所有開集。 (二 ) 偏好的連續(xù)性 對(duì)任何 r?R，集合 {s?R : s r}和 {s?R : s r}都是 R 中的開集。 對(duì)任何 x?X，集合 {y?X: y ? x}和 {y?X: y ? x}都是 X 中的開集。 xw W z][x??][x??][x}:{][}:{][}~:{][xyXyxyXyxyXyx????????????xxZ)][))(()(][()][))(()(][(??????????????????xXZzZxzxXWwWxw??NN?R?偏好關(guān)系 ? 類似于實(shí)數(shù)的序關(guān)系 ? 。 ?偏好的連續(xù)性類似于實(shí)數(shù)的連續(xù)性 。 對(duì)比 ? 定理 設(shè) ? 為消費(fèi)集合 X 上的偏好關(guān)系 。 則下述命題相互等價(jià) ： (1) ? 是連續(xù)的偏好關(guān)系 ； (2) 對(duì)任何 x?X ， { y?X : y ? x}和 { y?X : y ? x}都是 X 的相對(duì)閉子集； (3) 對(duì)任何 z, x, xn?X (n = 1, 2, ? )， x = lim n?? xn， 若 xn ? z (n = 1, 2, ? )，則 x ? z ； 若 xn ? z ( n = 1, 2, ? )， 則 x ? z 。 人們的主觀評(píng)價(jià)具有持續(xù)性： 評(píng)價(jià)結(jié)論不易推翻 。例如，被評(píng)價(jià)為 “ 壞人 ” 的人，這頂 “ 壞人 ” 帽子很難摘掉：若又發(fā)生了什么類似的壞事，肯定懷疑是他干的。 1. 偏好連續(xù)性的意義之一 ： 評(píng)價(jià)的持續(xù)性 消費(fèi)評(píng)價(jià)也是如此： 如果過去一系列消費(fèi)活動(dòng)都不比 x 好 (差 )， 那么其極限活動(dòng)也不會(huì)比 x 好 (差 ) 。反映在偏好上，就是 偏好的連續(xù)性 ，這正是下述定理揭示的事實(shí)。 z][zxnxwn w ?字典序不連續(xù)： 字典式偏好可表述為：對(duì)于 ， 2. 偏好連續(xù)性的意義之二 ： 生活水平較高 在生活水平低下，溫飽問題都沒有得到基本解決的情況下，消費(fèi)者的偏好不具有連續(xù)性。他首先要解決吃飯問題，其次才考慮穿著問題。等吃穿問題都妥善解決之后，才再去考慮改善住宅。在食物、衣服和住宅的消費(fèi)上，他的偏好可用 字典序 來表示。 當(dāng)生活水平較高時(shí)，消費(fèi)者偏好不再是字典序，而要考慮消費(fèi)的綜合效用，能對(duì)消費(fèi)計(jì)劃作出綜合評(píng)價(jià)，他的偏好也就表現(xiàn)出連續(xù)性。因此， 偏好的連續(xù)性是消費(fèi)者生活水平較高的表現(xiàn) 。 令 A ={z?X : z ? x}及 B ={z?X : z ? x}。則 A 不是 X 的 相對(duì)開 集， B 也不是 X 的 相對(duì)閉 集。 食 衣 x A B 字典式偏好 22121 ),(),( ????? RXyyyxxx)))()(()~()))()(()(()(2211221111yxyxyxyxyxyxyx???????????(三 ) 偏好的凸性 消費(fèi)集合的凸性，允許消費(fèi)者采取加權(quán)平均法對(duì)任何兩種可行消費(fèi)計(jì)劃進(jìn)行綜合。那么綜合消費(fèi)的效果如何 ? 一般來講，綜合消費(fèi)方案會(huì)比原來較差的方案要好，這種現(xiàn)象叫做偏好的凸性。要嚴(yán)格表述偏好的凸性，則有幾種程度不同的凸性。 ? 定義 設(shè)消費(fèi)集合 X 是凸集， X 上的偏好關(guān)系 ? 叫做是： (1) 弱凸的：是指 (?x, y?X )(?t?(0,1))(( x ? y )?(x+(1? t)y ? y))； (2) 凸的，是指 (?x, y?X )(?t?(0,1))(( x ? y )?(x+(1? t)y ? y))； (3) 嚴(yán)格凸的，是指對(duì)任何 x, y?X , 只要 x ? y 且 x ? y, 那么對(duì)任何實(shí)數(shù) t?(0, 1)，都有 t x + (1? t ) y ? y ； (4) 內(nèi)部嚴(yán)格凸的，是指 ? 是凸的，且 對(duì)任何 x, y?X ?，只要 x ? y 且 x ? y，那么對(duì)任何實(shí)數(shù) t?(0, 1)，都有 t x + (1? t ) y ? y。 下面我們來討論這幾種凸性的特點(diǎn)及其它們之間的關(guān)系。 (1)的證明 ((2)的 證明留作練習(xí) )： 必要性 (?). 設(shè) z?X ， x, y?P(z)， t?(0, 1)。記 w = t x+(1 t ) y，欲證 w?P(z)。根據(jù)偏好的完全性， x ? y 或 y ? x。但不論哪一個(gè)成立，偏好的弱凸性和傳遞性都保證了 w ? z， 即 w?P(z)。這就證明了 P(z) 是凸集 (因?yàn)?x, y, t是任意的 )。 充分性 (?). 設(shè) x, y?X ， x ? y， t?(0, 1)。記w = t x+(1 t ) y，欲證 w ? y。注意， x, y?P( y) 且P( y)是凸集。于是 w?P( y)， 即 w ? y。既然 x, y和 t 都是任意給定的， ? 就是弱凸偏好。 ? 1. 弱凸偏好 ? 定理 設(shè)消費(fèi)集合 X 是凸集， ? 是 X 上的偏好關(guān)系。 (1) ? 弱凸當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何 z?X ，集合 P(z)={ x?X : x ? z}是凸集。 (2) ? 弱凸當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何 z?X ，集合 Q(z)={ x?X : x ? z}是凸集 。 P(z) x y w 必要性圖示 P( y) x y w 充分性圖示 z例 3. 對(duì)任何 ， (x ? y) ? ( x1x2? y1y2)。這個(gè)偏好 既凸又弱凸 。 例 1. 對(duì)任何 ，當(dāng) [x1 x2] ? [ y1 y2]時(shí)，就叫做 x ? y。則這個(gè)偏好關(guān)系 ? 弱凸但非凸 。 例 2. X = {(t, 1 t)?R178。 : 0 ? t ? 1}， z = (, )。對(duì)任何 x, y?X，當(dāng) x ? z 而 y = z 時(shí) , x ? y ； 當(dāng) x = z 而 y ? z 時(shí) , x ? y ； 當(dāng) x ? z 且 y ? z 時(shí) , x ? y ； 當(dāng) x= y = z 時(shí)， x ? y 。則 偏好 ? 凸但非弱凸 。 2. 凸偏好 凸偏好與弱凸偏好相比，有以下兩點(diǎn)不同： (1)當(dāng)把兩種有差異的方案進(jìn)行加權(quán)平均時(shí)，凸偏好下加權(quán)平均的效果明顯，而在弱凸偏好下加權(quán)平均的效果不很明顯。從這個(gè)意義上講，偏好的凸性強(qiáng)于弱凸性。 (2)當(dāng)把兩種無差異的方案進(jìn)行加權(quán)平均時(shí)，凸偏好下加權(quán)平均的效果未知 (否變得更好不得而知 )，而在弱凸偏好下加權(quán)平均的效果確定 (肯定不比原方案差 )。從這個(gè)意義上講，弱凸性強(qiáng)于凸性。 z x y 例 2 ? 凸偏好未必弱凸 ， 弱凸偏好也未必凸 。 2, ??? RXyx2, ??Ryx例 4. 對(duì) ，當(dāng) x1+x2 ?1時(shí)， u(x)=1； 當(dāng) x1+x2 1時(shí)，u(x)= x1+x2。對(duì)于 x, y?X， (x ? y)?(u(x)? u( y))。這個(gè)偏好關(guān)系是連續(xù)、弱凸的，但不是凸的，如右圖所示。 3. 連續(xù)凸偏好 之所以這樣，是因?yàn)樵谶B續(xù)凸偏好下，兩種不同無差異消費(fèi)方案的加權(quán)平均具有特殊的效果： 要么所有的加權(quán)平均方案都與原方案無差異，要么所有的加權(quán)平均方案都比原方案更好 。這就是下述定理所表述的事實(shí)。 定理 設(shè)消費(fèi)集合 X 為凸集，偏好關(guān)系 ? 連續(xù)且凸。則 對(duì)于任何 x, y?X ， x ? y， 要么對(duì)任意的實(shí)數(shù) t?(0, 1) 都有 x + (1 t ) y ? y ， 要么對(duì)任意的實(shí)數(shù) t?(0, 1) 都有 x + (1 t ) y ? y 。 此定理保證了連續(xù)凸偏好的弱凸性，而偏好的連續(xù)性是常常具備的，因而偏好的凸性常常蘊(yùn)含著弱凸性，這就是 “ 弱凸 ” 的含義所在。另外，也確實(shí)存在著連續(xù)的弱凸但非凸的偏好關(guān)系。 無差異曲線 ? 對(duì)于連續(xù)的偏好關(guān)系來說 ， 凸偏好必然是弱凸的 。 2??? RXx4. 嚴(yán)格凸偏好 為什么會(huì)存在連續(xù)的弱凸但非凸的偏好關(guān)系呢？仔細(xì)分析可發(fā)