實際問題與反比例函數(shù)參考教案1(已改無錯字)
2024-11-03 22 本頁面
【正文】 識解決實際問題時，要注意將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．2．針對一系列相關(guān)數(shù)據(jù)探究函數(shù)自變量與因變量近似滿足的函數(shù)關(guān)系．3．列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍．知識點三：綜合性題目的類型1．與物理學(xué)知識相結(jié)合：如杠桿問題、．與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合：如反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點形成的直角三角形或矩形的面積．規(guī)律方法指導(dǎo)本節(jié)課研究了反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)．這一節(jié)是本章的重要內(nèi)容，重點介紹反比例函數(shù)在現(xiàn)實世界中無處不在，以及如何應(yīng)用反比例函數(shù)的知識解決現(xiàn)實世界中的實際問題．學(xué)生要學(xué)會從現(xiàn)實生活常見的問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，這樣可以更好地認(rèn)識反比例函數(shù)概念的實際背景，體會數(shù)學(xué)與實際的關(guān)系，即學(xué)生能深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)理論來源于實際又反過來服務(wù)實際這一認(rèn)識論的方法．經(jīng)典例題透析 經(jīng)典例題透析類型一：反比例函數(shù)與一次函數(shù)相結(jié)合1．如圖1所示，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于M、N兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍．思路點撥: 求一次函數(shù)解析式必須有兩個點的坐標(biāo)．由于M、N都在反比例函數(shù)圖象上，從而求出M點的坐標(biāo)．再由待定系數(shù)法求出一由反比例函數(shù)定義得 1 次函數(shù)解析式．根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，求出反比例的圖象在一次函數(shù)圖象上方時x的取值范圍．解析：（1）∵M(jìn)、N在反比例函數(shù)上設(shè)一次函數(shù)解析式為則，解得故一次函數(shù)的解析式為圖1（2）由圖象可知，當(dāng)時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．總結(jié)升華：（1）綜合運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)求解兩種函數(shù)解析式，往往仍用待定系數(shù)法．（2）能通過觀察圖像得到所求信息是解決這類問題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式】已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A(2,1)。(1)分別求出這兩個函數(shù)的解析式；(2)試判斷A點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點與兩個函數(shù)圖象的關(guān)系?！敬鸢浮?1)因為點A(2,1)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，所以解得：＝21＝2，1＝，＝1．2－1，所以，反比例函數(shù)的解析式為： ；一次函數(shù)解析式為：．(2)點A(2,1)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是A′(－2,－1)．把A′點的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，所以，點A′在反比例函數(shù)圖象上．把A′點的橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得，y＝－2－1＝－3，所以，點A′不在一次函數(shù)圖象上．類型二：反比例函數(shù)與三角形或四邊形面積問題，A為反比例函數(shù)圖象上的一點，AB垂直于x軸，垂足為B．若△AOB的面積為3，則反比例函數(shù)的解析式是什么？思路點撥：因為點A在反比例函數(shù)第二象限的圖象上，所以，由三角形面積公式可求得k，從而求出反比例函數(shù)解析式．解析：∵函數(shù)圖象分布在第二、四象限∴k設(shè)A點坐標(biāo)為（x，y），則∴：反比例函數(shù) 的圖象有這樣一個重要性質(zhì)：如圖3，P（x，y）是反比例函數(shù)的圖象上的一點，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M、N，連接OP，則可得矩形、三角形等基本圖形的面積如下：（1）（2）舉一反三：【變式1】如圖4，反比例函數(shù)（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（2）求△AOB的面積。與一次函數(shù)的圖象相交于A、B兩點?！敬鸢浮浚?）解方程組得所以A、B兩點的坐標(biāo)為A（2，4），B（4，2）（2）因為與y軸交點D的坐標(biāo)是（0，2），所以，所以【變式2】 如圖5，和的圖象與的圖象分別交于第一象限內(nèi)的兩點A，C，過A，C分別向x軸作垂線，垂足分別為B，D，若直角三角形AOB與直角三角形COD的面積分別為有什么關(guān)系？【答案】：設(shè)點A的坐標(biāo)為（在，），則，求與所以同理可得所以。類型三：反比例函數(shù)與實際問題相結(jié)合，當(dāng)人和木板對濕地的壓力一定時，隨著木板的變化，人和木板對地面的壓強(qiáng)p（Pa）將如何變化？如果人和木板對濕地地面的壓力為600N，回答下列問題：（1）用含S的代數(shù)式表示p，p是S的反比例函數(shù)嗎？為什么？（2），壓強(qiáng)是多少？（3）如果要求壓強(qiáng)不超過6000Pa，木板面積至少要多大？（4）畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象．思路點撥: 根據(jù)兩個變量之間關(guān)系確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式，首先要判斷它屬于哪一類函數(shù)，然后根據(jù)實際意義并注意自變量的取值范圍，進(jìn)而作出正確的函數(shù)的圖象．解析：隨著木板面積變?。ù螅?，壓強(qiáng)p（Pa）將變大（小）．（1），所以p是S的反比例函數(shù)，符合反比例函數(shù)的定義．（2），所以面積為時，壓強(qiáng)是．（3）若壓強(qiáng)，解得，故木板面積至少要.（4）函數(shù)圖象如下圖6所示：總結(jié)升華：解決反比例函數(shù)與實際問題相結(jié)合的問題，：【變式1】要求取消市場上使用桿秤的呼聲越來越高．原因在于，一些不法商販在賣貨時將秤砣挖空，或更換較小秤砣，使砣變輕，從而欺騙顧客．（1）如圖8所示，對于同一物體，哪個用了較輕的秤砣？（2）在稱同一物體時，秤砣到支點的距離y與所用秤砣質(zhì)量x之間滿足_____________關(guān)系．（3）當(dāng)砣變輕時，稱得的物體變重，這正好符合哪個函數(shù)的哪些性質(zhì)？圖7圖8分析：設(shè)重物的質(zhì)量為G（定值），重物的受力點到支點的距離為（定值），圖圖8中、分別表示秤砣的受力點到支點的距離，根據(jù)杠桿原理得：物體的質(zhì)量（G）與阻或）與秤砣質(zhì)量（x）的乘積． 力臂（）的乘積等于秤砣的受力點到支點的距離（解：（1）∵∴．故圖7中的秤砣較輕（2）∴y與x滿足反比例函數(shù)關(guān)系（3）符合反比例函數(shù)“在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小”的性質(zhì)．【變式2】某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為1升(1升＝1立方分米)的圓錐形漏斗，如右下圖.(1)漏斗口的面積S與漏斗的深d有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)如果漏斗口的面積為100厘米2，則漏斗的深為多少?解：(1)根據(jù)圓錐體的體積公式，我們可以設(shè)漏斗口的面積為Scm，漏斗的深
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