高考卷-高考數(shù)學(xué)押題卷一理科(已改無錯(cuò)字)
2024-10-13 17 本頁(yè)面
【正文】 3。12分20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A，B分別作橢圓的兩條切線，求其交點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1），（2）．【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)，所以橢圓的C：中a＝5，1分根據(jù)，解得c＝，所以，3分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4分（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，另設(shè)，設(shè)在處切線的方程為，與橢圓C：聯(lián)立：，消去可得：，由，得，化簡(jiǎn)可得：由，可得，所以上式可化為：，∴，所以橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為：①，7分同理可得橢圓在點(diǎn)B的切線方程為：②，8分聯(lián)立方程①②，消去x得：，解得，9分而A，B都在直線上，所以有，所以，所以，即此時(shí)的交點(diǎn)的軌跡方程為；11分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝0，則，則橢圓在點(diǎn)A處的切線方程為：①，橢圓在點(diǎn)B的切線方程為：，此時(shí)無交點(diǎn)．綜上所述，交點(diǎn)的軌跡方程為．12分21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)），（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）或．【解析】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，在上是單調(diào)遞減的．1分當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)椋?，令，解得x＝0或．3分①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在，上有，即，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)在上有，即，函數(shù)單調(diào)遞增；4分②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在，上有，即，函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)在上有，即，函數(shù)單調(diào)遞減；18
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