【正文】 。在歐美等高校，MATLAB 已成為理工科高級(jí)課程的基本工具，成為攻讀學(xué)位的大學(xué)生、碩士生、博士生必 須掌握的技能。在設(shè)計(jì)研究單位和工業(yè)部門(mén)， MATLAB 已經(jīng)成為研究和解決各種具體工程問(wèn)題的一種標(biāo)準(zhǔn)軟件。近年來(lái)該軟件系統(tǒng)開(kāi)始在我國(guó)國(guó)內(nèi)流行。受到理工科大中專(zhuān)院校釋省級(jí)科研人員的重視，這也是本文選擇用它來(lái)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)濾波器原因所在。天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 10 第二章 數(shù)字濾波器基礎(chǔ) 數(shù)字濾波器的基本概念 這里所講的數(shù)字濾波器都是一個(gè)離散的 LTI（ 線形時(shí)不變 ） 系統(tǒng)，離散 LTI 系統(tǒng)模型如圖 ： h ( n )x ( n ) y ( n ) = h ( n ) * x ( n ) 圖 離散 LTI 系統(tǒng)模型 Fig. The model of LTI system 注： x(n)、 y(n)分別是系統(tǒng)的輸入輸出序列， h(n)是系統(tǒng)本身的特性 (轉(zhuǎn)移算子 )。 系統(tǒng)對(duì)于輸入的離散序列 x(n)總有對(duì)應(yīng)的輸出 y(n)。 x(n)是離散的信號(hào) ,每個(gè) x(k)可能有不同的幅值 ,有了前后不同幅值的變化 ,就可以引出離散信號(hào)的頻率這一性質(zhì)。數(shù)字濾波器就是對(duì)不同頻率的數(shù)字信號(hào)從頻域進(jìn)行信號(hào)分離的時(shí)序電路或器件或一段程序。 [7] 數(shù)字濾波器按功能分為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。 ?? jnnj enxeX ??????? )()( （ ） ?? ??? ? deeXnx jnj??? )(21)( （ ） 由序列傅氏變換公式可知，離散信號(hào)的傅氏變化是 ? 的函數(shù)，周期為 2? 。只需研究 ? ～? ，不需要在整個(gè) ? 軸上分析其信號(hào)。所以，數(shù)字濾波 器的通帶分布如圖 所示。 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 11 圖 數(shù)字濾波器的通帶分布 Fig. Distribution of digital filter pass band 系統(tǒng)的描述 模擬系統(tǒng)通常用微分方程描述，離散系統(tǒng)則用差分方程來(lái)描述。差分方程可分為非遞歸型和遞歸型兩大類(lèi)： 非遞歸型：輸出對(duì)輸入無(wú)反饋，輸出值僅僅取決于輸入值。 }),1(),(),1(,{)( ?? ??? nxnxnxfny （ ） 若系統(tǒng)是線性、非移變、因果的，則有 ??? ?? 0 )( )()( k kk aknxany 為常數(shù) （ ） 若又有 kN 時(shí)， ka =0，則 ?? ?? Nk kk aknxany 0 )( )()( 為常數(shù) （ ） 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 12 遞歸型：輸出對(duì)輸入有反饋，輸出取決于輸入和反饋。 }),1(),1(,{}),1(),(),1(,{)( ???? ?????? nynygnxnxnxfny （ ） 若系統(tǒng)是線性、非移變、因果的，則有 ? ?? ? ????Mk kkkk baknyaknxbny 0N1k )( )( )()( 為常數(shù)、 () 系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 對(duì) IIR 數(shù)字濾波器的差分方程的一般形式 ? ?? ? ????Mk kkkk baknyaknxbny 0N1k )( )( )()( 為常數(shù)、 （ ） 兩邊同時(shí)進(jìn)行雙邊 z 變換得： ? ?? ? ?? ?? Mk kkkk zYzazXzbzY 0 N 1k )( )()( （ ） 得 IIR 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： ????????? NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()( （ ） IIR 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 無(wú)限長(zhǎng)單位取樣響應(yīng) IIR 系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是： 單位取樣響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng) 的，即 h(n)， ?????? n ； 系統(tǒng)函數(shù) H(z)在有限平面 z 上有極點(diǎn)存在； 結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡(luò)，即結(jié)構(gòu)是遞歸的。 實(shí)現(xiàn)同一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)，可以用不同的結(jié)構(gòu)形式，它的主要結(jié)構(gòu)形式有以下三種： 直接型（整準(zhǔn)型）：在此形式中，差分方程（ ）以給定的形式直接實(shí)現(xiàn)。系統(tǒng)分為天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 13 兩個(gè)部分，滑動(dòng)平均部分和遞歸部分（或者分子和分母部分）。因此這種實(shí)現(xiàn)有兩種形式，即直接Ⅰ型和直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。 級(jí)聯(lián)型：在此形式中，把系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)因式分解成 二階子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)叫做二階環(huán)節(jié)，因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示成這些二階環(huán)節(jié)的乘積形式。每個(gè)二階環(huán)節(jié)以直接形式出現(xiàn)，整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由二階環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。 并聯(lián)型：這種形式與級(jí)聯(lián)形式類(lèi)似，但因式分解后，用部分分式展開(kāi)把 H(z)表示成二階子系統(tǒng)的和，每一個(gè)子系統(tǒng)用直接形式實(shí)現(xiàn)。整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以子系統(tǒng)的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。 下面對(duì)這三種主要結(jié)構(gòu)做具體介紹。 直接 Ⅰ 型 從（ ）式的差分方程可以看出，系統(tǒng)的輸出 y(n)由兩個(gè)部分構(gòu)成： 第一部分為 ?? ?Mk k knxb0 )(， 它表 示將輸入信號(hào)進(jìn)行延時(shí)，組成 M 節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，把每節(jié)延時(shí)抽頭與常系數(shù) kb 相乘，然后再把結(jié)果相加，這是一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。即實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)。 第二部分為 ?? ?N1k )( knyak， 它表示將輸出信號(hào)進(jìn)行延時(shí)，組成 N 節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，把每節(jié)延時(shí)抽頭后與常系數(shù) ka 相乘，然后再把結(jié)果相加。由于這部分是對(duì)輸出的延時(shí)，故為反饋網(wǎng)絡(luò)。這部分網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。 系統(tǒng)的輸出 y(n)由以上這兩部分組成，其信號(hào)流圖如圖 所示。該圖表示的是 直接Ⅰ型 IIR 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。 圖 直接Ⅰ型 Fig. Direct Form Ⅰ Models 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 14 直接Ⅱ型 圖 中的系數(shù)組 ib 相應(yīng)于 H(z)的分子多項(xiàng)式，而系數(shù)組 ia 相應(yīng)于 H(z)的分母多項(xiàng)式。因此，圖 可以解釋為兩個(gè)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)組成。在線性非時(shí)變系統(tǒng)情況下，級(jí)聯(lián)型系統(tǒng)總的輸入 輸出關(guān)系和子系統(tǒng)的先后次序無(wú)關(guān)。如果先實(shí)現(xiàn) H(z)的極點(diǎn)，后實(shí)現(xiàn) H(z)的零點(diǎn)，并且合并 1?z 的支路，則可得出 IIR 系統(tǒng)直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，其信號(hào)流圖如圖 所示。 直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)的 IIR 系統(tǒng)的表達(dá)式如式 （ ） 所示： )()(11)(2110zHzHzazbzH NkkkMkkk ?????????????????????????? （ ） 2a? 1a? 1?? NaNa? b?b11?z ][ky?z1?1?z? 0x [ k ] 圖 直接Ⅱ型 Fig. Direct Form Ⅱ Models 對(duì)于 N 階差分方程，直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)只需 N 個(gè)延時(shí)單元，比直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)的延時(shí)單元少一半。因而在軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)可以節(jié)省存儲(chǔ)單元。而在硬件實(shí)現(xiàn)，可節(jié)省寄存器，故直接Ⅱ型 IIR系統(tǒng)結(jié)構(gòu)好于直接Ⅰ 型 IIR 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 直接型（正準(zhǔn)型）的共同缺點(diǎn)： 。 ，易出現(xiàn)不穩(wěn)定或較大誤差。 。 級(jí)聯(lián)型 直接形式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可直接由（ ）式的系統(tǒng)函數(shù)得到。如果把分子分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，則可將 H(z)寫(xiě)成： 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 15 ???????????????????????21211111111111)1)(1()1()1)(1()1()( NkkkNkkMkkkMkkzdzdzczhzhzgAzH （ ） 式中的 21 2MMM ?? 和 21 2NNN ?? 。在式（ ）中，一階因式表示實(shí)零點(diǎn) kg和實(shí)極點(diǎn) kc 。而二階因式表示共軛零點(diǎn) kh 和 ?kh ，以及共軛極點(diǎn) kd 和 ?kd 。當(dāng)式（ ）中的所有系數(shù)都為實(shí)數(shù)時(shí)，式（ 2. 12）表示了該系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布。該式代表由一階和二階子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成的一組結(jié)構(gòu)形式。而我 們知道，一個(gè) N 階系統(tǒng)函數(shù)可以用它的零、極點(diǎn)表示。由于 H(z)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，因此零、極點(diǎn)只有兩種可能，或者為實(shí)數(shù)，或者為復(fù)共軛對(duì)。則整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以完全分解成實(shí)系數(shù)二階因子的形式，即 ?? ?? ?? ?? ??? cNkkkkk zaza zbzbAzH1 2211221111)( （ ） 其中 cN 表示 (N+1)/2 的最大整數(shù)。在這種情況下我們已經(jīng)假設(shè) NM? ，在將 H(z)寫(xiě)成這種形式時(shí)，假設(shè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和實(shí)數(shù)零點(diǎn)已經(jīng)合并，并具有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則系統(tǒng) kb2 有一個(gè)等于零。同樣，如果具有奇數(shù)個(gè)極點(diǎn)，則系統(tǒng) ka2 有一個(gè)等于零。從前面對(duì)直接形式的討論可知，如果每個(gè)二階子系統(tǒng)用直接Ⅱ型實(shí)現(xiàn)，就可以得到具有最少存儲(chǔ)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。 一個(gè)四階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖 所示： a 1 1 z 1 b 1 1 a 2 1 z 1 a 1 2 z 1 b 1 2 a 2 2 z 1b2 1 b 2 2Ax ( n ) y ( n ) 圖 四階 IIR 數(shù)字系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu) Fig. Fourthorder IIR digital system of parallel structures 應(yīng)該特別指出： 。 ，分母的系數(shù)確定一對(duì)極點(diǎn)，因?yàn)樽泳W(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)也即整體網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)，所以整個(gè)系統(tǒng)的零極點(diǎn)都可以準(zhǔn)確的由每一級(jí)的系數(shù)來(lái)調(diào)整和控制，這樣便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 16 。 并聯(lián)型 作為系統(tǒng)函數(shù)的另一種表示形式，可以將 H(z)表示成如下形式的部分分式展開(kāi)： ??? ? ?? ?? ?? ? ?? ????? 210 1 1*1 10 10 )1)(1( )1(1)( NkkkkkNk kkNkkk zpzp zeBzdAzGzH （ ） 由于式 ()中的 H(z)系數(shù)為實(shí)數(shù)，因此，式 中各系數(shù)均為實(shí)數(shù)。如果 NM? ，則在式 ()中不包括 ???00NkkkzG 項(xiàng)。上式可以解釋為一階和二階系統(tǒng)的并聯(lián)組合。如果將實(shí)數(shù)極點(diǎn)成對(duì)組合，則可寫(xiě)成 ?? ? ?? ?? ? ?? ??? ps Nk kk kkNk kk zaza zeezGzH 1 2211 1100 1)( () 對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖如圖 所示： G 1z 1G N sz N s a 1 1G 0z 1e 1 1e 0 1 a 2 1z 1e 0 P s a 1 P s a 2 P sz 1z 1e 1 P sx ( n ) y ( n ) 圖 N 階 IIR 數(shù)字系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu) Fig. Norder IIR digital system of parallel structures 并聯(lián)支路的極點(diǎn)也是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)，而并聯(lián)支路的零點(diǎn)卻不是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)，因此并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)能獨(dú)立的調(diào)整系統(tǒng)的極點(diǎn)位置，但不能控制零點(diǎn)。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的靈敏度優(yōu)于直接型和正準(zhǔn)型，運(yùn)算累積誤差比級(jí)聯(lián)型小。 [8] 天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū) 17 第三章 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法及過(guò)程 基于脈沖響應(yīng)不變法的 IIR 濾波器設(shè)計(jì) 脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)原理是使得數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)序列 )(nh 模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng) )(tha 。 將模擬濾波器的沖激響應(yīng) )(tha 進(jìn)行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng) )(nh剛好等于 )(tha 的采樣值，即： )()()( nThthnh anTta ?? ? () 其中 T 為采樣周期。 若令 )(sHa 為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， )(zH 是數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，顯然， )(sHa是 )(tha 的拉普拉斯變換，而 )(zH 是 )(nh 的 Z 變換。模擬信號(hào)的拉普拉斯變換和它的采樣序列的 Z 變換的關(guān)系為： ?????? ?????? ?? k aez kTjsHTzH st ?21)( () 可以看出，利用脈沖響應(yīng)不變法