【正文】 ???BdAdDFKXg? （6）根據(jù)壓縮彈簧的穩(wěn)定條件： cbH20 式中 ——臨界高徑比，根據(jù)彈簧的支撐方式不同而定：cb 當兩端固定時， ?cb 當一端固定，另一端不固定時， ?cb 當兩端均不固定時， 此處取 的值為 ，故可得約束條件：cb （310）0/)(28 ???cbDdnXg （7）根據(jù)彈簧承受高速交變載荷不發(fā)生共振的要求： rf? 式中 ——彈簧的自振頻率，對于一端固定一端自由的彈簧其自振頻率為f ??由此得約束條件： （311）0.)(429 ??rfXg （8）根據(jù)彈簧疲勞強度要求給出約束條件： 當彈簧承受交變載荷并在 及 之間做交替變化時，在鋼絲截面內側maxFin所產(chǎn)生的相應扭轉應力分別為： ，32maxax8dDFK???32minin8dDFK??? 對于 為常數(shù)的彈簧，其疲勞安全系數(shù)為min? ][???? 式中 ——許用安全系數(shù)，此處我們取值為 ][S ——彈簧材料的疲勞極限，其工作時間為 104h，可以將其作用次數(shù)定為0?由此610?N可得 取值為0?b?由此得約束條件： （312）0][875.)(2maxin0310 ???SDFKdXg??（9）根據(jù)彈簧簧絲直徑、中徑和工作圈數(shù)的系列值及題目要求 ， ，4??n 得約束條件： （313）1)(1???dXg （314）042 （315）)(213D （316）4???Xg （317）05.)(15n （318）36 簧絲直徑 取值為 1，，2，3，4d 中徑 取值為 10，12，16，20，25，302D 工作圈數(shù) 取值為n，5，6，7，8，9，10，，，15，16，18，20，22，25，28，30綜上可知，壓縮彈簧體積最小為優(yōu)化目標的優(yōu)化設計問題，是一個具有 16 個不等式約束的 3 維優(yōu)化問題，其數(shù)學模型可簡記為： （319）???????0)(.][4/D)min222XgtsddnfuT??第 4 章 齒輪傳動優(yōu)化設計的遺傳算法實現(xiàn)方法 設計變量的編碼本論文以在滿足一定的承載能力前提下，要求齒輪傳動體積為最小進行優(yōu)化設計，單級直齒輪傳動的最小體積由第 3 章式（311）可知： （41）??3124zmuVd????遺傳算法不能直接處理解空間數(shù)據(jù)，通過編碼將他們表示成遺傳空間的基本型個體符號串。由式（41）知，單級直齒輪傳動的變量可編成的個體編碼為 、 、 ，m1zd?以便建立直齒輪傳動的遺傳算法模型。常規(guī)遺傳算法采用二進制編碼，便于操作，但對于求解此類實數(shù)形優(yōu)化問題時，二進制編碼不能反映問題的固有結構特性，個體長度大，占有計算機內存多，在進行優(yōu)化時的精度不高，且穩(wěn)定性不如實數(shù)編碼。當要求計算精度越高， 、二進制編碼需要的基因位數(shù)越多，并存在連續(xù)函數(shù)離散化時的映射誤差，同時在計算目標函數(shù)時，需要把二進制編碼解碼成十進制浮點數(shù)，優(yōu)化過程中編碼和解碼繁瑣，這使得計算量增大，計算時間增加。另外，需要注意的是，對于連續(xù)變量二進制編碼的實際經(jīng)驗和理論分析明確表明，二進制編碼表示連續(xù)變量時具有嚴重缺陷，它通常會在目標函數(shù)中引入附加的多峰性，從而使編碼后的目標函數(shù)比原始問題更加復雜 [36]。相比之下，采用實數(shù)編碼不僅無需轉換數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)類型，并使得優(yōu)化過程更容易理解，而且節(jié)省遺傳操作時間，另外由于浮點數(shù)表示數(shù)的范圍大且表示精度高、具有明確的物理意義，適合于復雜大工程搜索，對于優(yōu)化結果也有益。另外考慮到設計變量中的模數(shù)和齒數(shù)均為離散量，如當作連續(xù)變量進行優(yōu)化計算，再近似取標準值，則無法保證解的最優(yōu)性。為了精確表示變量，采用了十進制整數(shù)編碼。因此，本文采用整數(shù)編碼和實數(shù)編碼相結合的混合編碼，以克服二進制的上述缺點。這樣由三個設計變量的實數(shù)構成一個染色體，遺傳算子直接對染色體進行操作。模數(shù)的編碼：對應標準模數(shù)的個數(shù) 18，通過一數(shù)組 const_m(18)，并對其賦予標準值，每個染色體 pop_m(i)通過程序 pop_m(i)=Int(Rnd() * 18) + 1 只能產(chǎn)生 1 到 18 的整數(shù)，從而得到對應的模數(shù)。齒數(shù)的編碼：因齒數(shù)只能為整數(shù)，故采用了四舍五入函數(shù)，保證了齒數(shù)只能為 20到 40 間的整數(shù)。齒寬系數(shù)的編碼：采用實數(shù)編碼，程序(Rnd() * 600 + 800) / 1000 保證了其在有效范圍內。程序中的 Int（x）函數(shù)為產(chǎn)生小于等于 x 的最大整數(shù)； Cint（x）為四舍五入函數(shù)；Rnd()為產(chǎn)生隨機數(shù)[0 ，1）的函數(shù)。三個設計變量的編碼（采用 VB 語言 [37]）如下：Dim popsize As IntegerDim pop_m(200) As IntegerDim pop_z(200) As IntegerDim pop_faidi(200) As DoubleDim const_m(18) As Doublepopsize = 200For i = 1 To popsizepop_m(i) = Int(Rnd() * 18) + 1pop_z(i) = CInt(Rnd() * 20 + 20)pop_faidi(i) = (Rnd() * 600 + 800) / 1000Next iconst_m(1) = 2const_m(2) = const_m(3) = const_m(4) = const_m(5) = 3const_m(6) = const_m(7) = 4const_m(8) = const_m(9) = 5const_m(10) = const_m(11) = 6const_m(12) = 7const_m(13) = 8const_m(14) = 9const_m(15) = 10const_m(16) = 12const_m(17) = 14const_m(18) = 16 群體規(guī)模的確定遺傳算法是對群體進行操作，需要準備一些初始搜索的群體，而初始群體中每個個體是通過隨機方法產(chǎn)生后組成的一個染色體串，這個染色體串中的每個個體分別在每一個基因取值范圍內取得一組基因而形成的。就群體染色體數(shù)的選擇，從理論上說，群體染色體數(shù)越多，則遺傳算法找到的最優(yōu)解更優(yōu)，但由于群體染色體數(shù)太大，必然增大尋找最優(yōu)解的工作量。反之，當群體染色體數(shù)選少了，則尋找最優(yōu)解的工作量減小，但是尋找的解是否是最優(yōu)解就很難說了。因此對群體染色體數(shù)的大小，要根據(jù)具體問題來確定 [6]。這里選取染色體數(shù)為 200。 初始解的產(chǎn)生隨機產(chǎn)生 popsize（群體規(guī)模）個長度為 3 的染色體，作為初始群體。產(chǎn)生初始解時，對于染色體的第 1 位基因值 pop_m(i)，令其值等于[1，18]范圍內的一個隨機整數(shù)，產(chǎn)生方法為：pop_m(i) = Int(Rnd() * 18) + 1 （42）pop_m(i)隨機產(chǎn)生的整數(shù)再與數(shù)組 const_m(18)一一對應。對于染色體的第 2 位基因值 pop_z(i)，令其值等于 [20，40]范圍內的一個隨機整數(shù)，產(chǎn)生方法為：pop_z(i) = CInt(Rnd() * 20 + 20) （43）對于染色體的第 3 位基因值 pop_faidi(i)，令其值等于 [，]范圍內的一個隨機實數(shù)，產(chǎn)生方法為：pop_faidi(i) = (Rnd() * 600 + 800) / 1000 （44） 目標函數(shù)和適應函數(shù)的計算 目標函數(shù)隨機產(chǎn)生 popsize（即染色體群體規(guī)模，前面已經(jīng)選擇，為 200）個染色體，作為初始種群，由于是實數(shù)編碼和整數(shù)編碼的混合編碼，為了讓初始種群盡量遍布整個解空間，其群體規(guī)模要相對比二進制編碼優(yōu)化時的群體規(guī)模大。為了減少不可行解的產(chǎn)生，提高優(yōu)化算法的計算效率，產(chǎn)生初始解時使齒數(shù)、模數(shù)、齒寬系數(shù)等各約束條件自動得到滿足。小齒輪齒數(shù) ，模數(shù) ，齒寬系數(shù) ，另外還要滿足402?z162??d?兩齒輪的接觸疲勞約束和彎曲疲勞約束。此優(yōu)化問題帶有約束條件，我們采用懲罰函數(shù)法來對違背約束條件的個體進行懲罰，并將此懲罰體現(xiàn)在適應度函數(shù)設計中。可表示如下 [6]： （45）min????xrpfrx??,?式中： 為懲罰項， 為懲罰因子， 可根據(jù)經(jīng)驗選取， 在本設計中為每個染色??xpr ??x體的接觸疲勞應力與標準接觸疲勞應力之差和彎曲疲勞應力與標準彎曲疲勞應力之差的和。采用懲罰函數(shù)法的程序如下：Dim p1 As DoubleDim p2 As DoubleDim p3 As DoubleDim chengfaxishu_m As Doublechengfaxishu_m = 10000For k = 1 To popsizeIf cigema_h(k) = cigemabiaozhun_h Thenp1 = cigema_h(k) cigemabiaozhun_hElsep1 = 0End IfIf cigema_f1(k) = cigemabiaozhun_f1 Thenp2 = cigema_f1(k) cigemabiaozhun_f1Elsep2 = 0End IfIf cigema_f2(k) = cigemabiaozhun_f2 Thenp3 = cigema_f2(k) cigemabiaozhun_f2Elsep3 = 0End Ifobjf(k) = objf(k) + chengfaxishu_m * (p1 + p2 + p3) a(k) = chengfaxishu_m * (p1 + p2 + p3)Next k 程序中，p1，p2，p3 分別為接觸疲勞約束和彎曲疲勞約束時的懲罰項；chengfaxishu_m 為懲罰因子，此處選擇 100000；cigemabiaozhun_h 為接觸標準疲勞應力；cigemabiaozhun_f1 為小齒輪彎曲標準疲勞應力；cigemabiaozhun_f2 為大齒輪彎曲標準疲勞應力；cigema_h(k) 為每個染色體的接觸疲勞應力；cigema_f2(k) 、cigema_f2(k)分別為每個染色體（小大齒輪）的彎曲疲勞應力。故可得加上懲罰函數(shù)后的目標函數(shù)為：objf(k) = objf(k) + chengfaxishu_m * (p1 + p2 + p3) （46） 計算適應函數(shù)遺傳算法用適應度大小來評估個體（或解）的優(yōu)劣，從而決定遺傳機會的多少，這個評估個體適應度的函數(shù)稱為適應度函數(shù)。適應度較高的個體遺傳到下一代的概率較大；而適應度較底的個體遺傳到下一代的概率相對小一些 [6]。通常優(yōu)化問題求解時是把待求問題的目標函數(shù)映射成適應度函數(shù)。對于求最小的目標函數(shù) 映射成適應度函數(shù)的方法可為：??xf 若 （4????xfCxp??ma ?maxCf?7）這里的 可取為最大目標函數(shù)的 倍，即適應函數(shù)為：maxCfitness( ) = * max_objf objf( ) （48）xx由前面的式（313）得目標函數(shù)為： （49）????3232 4/14/1 zuzmuxf dd????????? 選擇復制操作選擇復制操作是對群體中的個體按優(yōu)勝劣汰的方式選取，并遺傳到下一代群體的運算操作，它是建立在群體中個體的適應函數(shù)值評估基礎上的。適應函數(shù)值較大的個體被遺傳到下一代群體中的概率較大，適應函數(shù)值較小的個體被遺傳到下一代群體中的概率較小。通過選擇操作可避免基因缺失，提高全局收斂性和計算效率 [6]。適應度比例選擇方法是基本的選擇方法，也叫輪盤賭選擇。該方法的基本思想是：各個個體的被選中的概率與其適應度大小成正比。由第 2 章中式（26）得每個個體的累計概率為： （410）sizepo,21,sizepo?????fji顯然，概率反映了個體的適應度在整個群體的個體適應度總和中所占的比例，個體適應度越大，