空間直角坐標(biāo)系及坐標(biāo)運算(已改無錯字)
2022-09-02 11:09:17 本頁面
【正文】 ) ， B ( － 2 , 1 , 6) ，C (1 ，－ 1 , 5) ． ( 1 ) 求以 AB→， AC→為邊的平行四邊形的面積 ； ( 2 ) 若 | a |＝ 3 ， 且 a 分別與 AB→、 AC→垂直 ， 求向量 a 的坐標(biāo) ． 課堂互動講練 【解】 ( 1 ) 由題意可得： AB→＝ ( － 2 ，－ 1 , 3) ， AC→＝ (1 ，－ 3 , 2) ， ∴ c o s 〈 AB→， AC→〉＝AB→AC→| AB→| | AC→| ＝－ 2 ＋ 3 ＋ 614 14＝714＝12， 課堂互動講練 ∴ s i n 〈 AB→， AC→〉＝32， 所以以 AB→， AC→為邊的平行四邊形的面積 S ＝ 2 12| AB→| | AC→| s i n 〈 AB→， AC→〉 ＝ 14 32＝ 7 3 . 課堂互動講練 ( 2 ) 設(shè) a ＝ ( x ， y ， z ) ， 由題意得????? x2＋ y2＋ z2＝ 3 ，－ 2 x － y ＋ 3 z ＝ 0 ，x － 3 y ＋ 2 z ＝ 0. 解得????? x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，z ＝ 1或????? x ＝－ 1 ，y ＝－ 1 ，z ＝－ 1. ∴ a ＝ (1 , 1 , 1) ，或 a ＝ ( － 1 ，－ 1 ，－ 1) ． 課堂互動講練 【思維總結(jié)】 由于 a ⊥ AB→， a ⊥ AC→，所以a 即為平面 A B C 的一個法向量 ． 求法向量的方法是設(shè)出一個法向量的坐標(biāo)，利用法向量與平面內(nèi)兩個不共線向量的垂直關(guān)系，列出關(guān)于法向量坐標(biāo)的方程組 ( 實際上是不定方程組 ) ，利用賦值法給出一個法向量即可 ． 由于本題中法向量的長度已知，故不需賦值便可求出 ． 空間中的兩個向量的數(shù)量積是平面向量中兩向量的數(shù)量積的延伸和推廣，工具性特別強，可借助向量的數(shù)量積解決兩直線的平行與垂直問題，求解空間角和空間距離問題．向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即數(shù)量積的代數(shù)化，可以將數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，使運算簡化． 課堂互動講練 考點四 利用空間向量證明線面平行與垂直 課堂互動講練 例 4 (解題示范 )(本題滿分 12分 ) 如圖所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面 △ ABC中， CA＝ CB＝ 1， ∠ BCA＝ 90176。 ，棱 AA1＝ 2，M， N分別是 A1B1， A1A的中點． (1)求 BN的長； (2)求異面直線 BA1與 CB1所成角的余弦值； (3)求證： A1B⊥ C1M. 課堂互動講練 【 解 】 如圖所示，以 C為原點建立空間直角坐標(biāo)系 C－ xyz. (1)依題意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)． 課堂互動講練 ∴ | BN→|＝ ( 1 － 0 )2＋ ( 0 － 1 )2＋ ( 1 － 0 )2 ＝ 3 . ∴ BN 的長為 3 4 分． ( 2 ) 依題意得 A1( 1 , 0 , 2 ) ， B ( 0 , 1 , 0 ) ， C ( 0 , 0 , 0 ) ，B1( 0 , 1 , 2 ) ， ∴ BA1→＝ (1 ，－ 1 , 2 ) ， CB1→＝ ( 0 , 1 , 2 ) . 5 分 ∴ BA1→ CB1→＝ 3 ， | BA1→|＝ 6 ， | CB1→|＝ 5 . 課堂互動講練 ∴ c o s 〈 BA1→， CB1→〉＝BA1→ CB1→| BA1→|| CB1→|＝3010. ∴ 異面直線 BA1與 CB1所成角的余弦值為3010. 8 分 ( 3 ) 證明： 依題意得 C1(0 , 0 , 2) ， M (12，12， 2) ，A
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