【正文】 17 元。可見幾何增長的厲害。有人做過計(jì)算說明，雖然兩百年前美國政府以極便宜的價(jià)格從印地安人手里買了大片土地，但是如果印地安人把錢存入銀行每年得到現(xiàn)在美國長期國債的收益，則利滾利后，印地安人現(xiàn)在將極其富有，足以買回更大面積的土地。幾何平均收益的微小變化多年累積后就導(dǎo)致投資業(yè)績的巨大差異（參見表 ）。表 幾何平均收益對(duì) 10 年累積產(chǎn)出比的影響幾何平均收益 10 年產(chǎn)出比 世界上最成功的投資大師巴菲特的年幾何平均收益就是表 中最后一列的 [18]，40 年使 1 元變?yōu)?23423 元。彼得林奇和索羅斯也是世界著名投資大師，他們的幾何平均收益不比巴菲特的差，只是投資時(shí)間短些?？磥硪蔀槭澜缂?jí)投資大師似乎并不難，只要持續(xù)年盈利 25%－30％就行。而實(shí)際上難就難在持續(xù)。國內(nèi)許多股市期貨炒手對(duì)穩(wěn)定的 30％的年收益不屑一顧，他們情愿冒高風(fēng)險(xiǎn)追求 100%－200 ％的年收益，但是一旦虧損，就前功盡棄。本書的投資組合優(yōu)化理論就是討論如何追求較為穩(wěn)定的幾何增長。從擲硬幣打賭看投資比例優(yōu)化對(duì)于 節(jié)的打賭問題，假設(shè)你開始只有 100 元，輸了不能再借?，F(xiàn)在問怎樣重復(fù)下注可以使你盡快地由百元戶變?yōu)榘偃f元戶？你可能為了盡快地變?yōu)榘偃f元戶而押上你的全部資金?？墒侵灰幸淮文爿斄耍憔蜁?huì)變成窮光蛋，并且永遠(yuǎn)失去發(fā)財(cái)機(jī)會(huì)；你可能每次下注 10 元。但是，如果連輸 10次，你就完了。再說，如果你已經(jīng)是萬元戶了，下 10 元是不是太少了？每次將你的所有資金的 10%用來下注，這也許是個(gè)不錯(cuò)的主意。首先，你永遠(yuǎn)不會(huì)虧完（假設(shè)下注的資金可以無限小）；第二，長此以往，贏虧的次數(shù)大致相等時(shí)，你總是賺的。假設(shè)平均兩次，你輸一次贏一次，則你的資金會(huì)變?yōu)樵瓉淼模?+ ）（1?）= 倍。可是，以這樣的速度變?yōu)榘偃f富翁是不是太慢了點(diǎn)，太急人了！有沒有更快的方法？有! 每次將你所擁有資金的 25%或 倍用來下注（參見 節(jié)優(yōu)化公式），你變?yōu)榘偃f富31 / 257翁的平均速度將最快。假設(shè)你每次下注的比例是 q，則你的資金隨擲幣結(jié)果變化如表 所示。表 擲硬幣打賭資金變化計(jì)算擲幣結(jié)果 總資金開始 100B（贏） 100（1+2q）A（輸） 100（1+2q）（1?q）B 100（1+2q）（1?q）（1+2q）B 100（1+2q）（1?q）（1+2q）（1+2q） A 100（1+2q）（1?q）（1+2q）（1+2q）（1?q）... 100（1+2q）（1?q）（1+2q）（1+2q）（1?q）...由表 可知，最終盈虧數(shù)只和 A、 B 面出現(xiàn)的頻率有關(guān)，而和它們出現(xiàn)的次序無關(guān)。這樣可以看出，使幾何平均收益達(dá)最大的比例也就是使累積收益達(dá)最大的比例。幾種不同下注比例帶來的資金變化如圖 和表 所示。0100200300400500600 213。197。180。243。181。168。192。238。186。253。205。191。196。227。205。245。177。163。202。216。圖 不同下注比例增值比較表 不同下注比例的盈利比較實(shí)驗(yàn)序號(hào)擲幣結(jié)果張大膽下 100％李糊涂下 50％你下 25％王保守下 10％0 100 100 100 1001 B（贏） 300 200 150 1202 A（虧） 0 100 1083 B 0 200 4 B 0 400 5 A 0 200 6 B 0 400 7 A 0 200 8 B 0 400 9 A 0 200 10 A 0 100 ... ... 0 ... ... ...20 A 0 100 如果概率預(yù)測(cè)不同，最優(yōu)比例也不同。求最優(yōu)比例方33 / 257法將在 節(jié)詳細(xì)介紹，這里且提供一個(gè)簡單的優(yōu)化公式： （）21*rPq??即最優(yōu)比例等于收益的期望除以收益的乘積的絕對(duì)值。比如概率預(yù)測(cè)變?yōu)?Fr ={|?，|}時(shí)，和前面相比，期望收益沒有變，但是盈虧幅度減小了，風(fēng)險(xiǎn)也小了，最優(yōu)投資比例增大為 2/3，優(yōu)化的幾何平均收益增大為%。當(dāng)概率預(yù)測(cè)變?yōu)镕r ={1/3|?1 ， 2/3|1}時(shí)，最優(yōu)比例是 1/3，即 %，我們可以用擲骰子來模擬這一投資——出 1，2 虧 1 倍，出 3，4，5，6 賺 1 倍。有人會(huì)說：實(shí)際投資過程中，收益的概率預(yù)測(cè)是不斷變化的，前面的優(yōu)化比例仍然適用嗎？回答是：仍然實(shí)用。我們假設(shè)投資是一個(gè)漫長的過程，雖然不同概率的預(yù)測(cè)交替出現(xiàn)，比如概率預(yù)測(cè)序列為：F1，F(xiàn) 2，F(xiàn) 3，F(xiàn) 2，F(xiàn) 1，F(xiàn) 1，F(xiàn) 4，...但是，如果你能在預(yù)測(cè)序列為F1，F(xiàn) 1，...，F(xiàn) 2 ，F(xiàn) 2 ...，F(xiàn) 3，F(xiàn) 3，...，F(xiàn) 4，...（F i 出現(xiàn)的順序變了而次數(shù)不變）時(shí)能夠成為贏家，那么用同樣的方式優(yōu)化投資比例也能保證你在前一種概率預(yù)測(cè)序列出現(xiàn)時(shí)成為贏家。因?yàn)橘Y金是按乘積方式增長的（如表 所示），和盈虧順序無關(guān)。有人會(huì)說：概率預(yù)測(cè)可能不準(zhǔn)，如此優(yōu)化仍然有用嗎？回答是：好的概率預(yù)測(cè)和好的決策，兩者同樣重要，沒有一方的配合，另一方的作用就要大打折扣。不過既然我們選定了一種預(yù)測(cè)，我們就應(yīng)當(dāng)相信它是準(zhǔn)確的或者說是不錯(cuò)的，如果你懷疑它，你可以用更加模糊的預(yù)測(cè)（像許多股評(píng)家常做的那樣）來代替它——這比沒有好，從而降低因預(yù)測(cè)不準(zhǔn)帶來的風(fēng)險(xiǎn)。從雞蛋和籃子的投資實(shí)驗(yàn)看 分散投資的效果俗話說，不要把雞蛋放在一個(gè)籃子里。下面我們將說明這是有數(shù)學(xué)道理的。前面我們假設(shè)只有一種投資（證券或項(xiàng)目），如果有兩三種呢？是否有最優(yōu)的在各證券上的投資比例？有!現(xiàn)在我們假設(shè)有兩種可選擇股票，它們的收益由兩個(gè)硬幣的投擲結(jié)果確定（出 A 面你投一虧一，出 B 面你投一賺二），概率預(yù)測(cè)是Fr={ 1/4|（? 1，?1），1/4| （?1，2），1/4|（2，?1）， 1/4|（2 ，2） }其中（?1，?1）表示兩個(gè)硬幣皆出 A 面，各導(dǎo)致 1 倍虧損，35 / 257其它同理。這時(shí)如何確定現(xiàn)金比例和各股票上的投資比例，使得重復(fù)投資后累積收益最大？ 上面問題和下面問題是等價(jià)的假設(shè)用兩個(gè)足夠大的籃子販運(yùn)雞蛋，運(yùn)到目的地可贏利 200%（增值為原來的 3 倍） ，每個(gè)籃子在路上被打翻從而損失 100%的概率是 ，兩個(gè)籃子是否被打翻是相互無關(guān)的，每個(gè)籃子各裝價(jià)值多少資金的雞蛋，可使多次販運(yùn)后，資金增值最多？擲硬幣實(shí)驗(yàn)表明，各投總資金的 23%可使長期累積增值或幾何平均增值最快（參看表 ） 。表 兩種證券時(shí)，不同下注比例的增值比較實(shí)驗(yàn)序號(hào)擲幣結(jié)果張大膽各下 50％李糊涂各下 25％你各下 23％王保守各下 ％0 100 100 100 1001 A，B 150 125 123 2 A，A 0 3 B，A 0 4 B，B 0 5 B，A 0 6 B，B 0 7 A，B 0 8 A，A 0 ... ... 0 ... ... ...16 A，A 0 幾何平均收益 100% % % %假如有三個(gè)、四個(gè)籃子，甚至無窮多個(gè)籃子呢，后面的理論表明有表 和圖 結(jié)果。表 優(yōu)化比例和幾何平均收益隨籃子數(shù)目變化籃子數(shù)目 1 2 3 4 N??最優(yōu)投資比例（%） 1?25 2?23 3? 4? N?100/N幾何平均收益（%） 500204060801001 2 3 4 N238。211。197。205。182。202。177。200。192。253。(%)188。184。186。206。198。189。190。249。202。213。210。230。(%)圖 投資比例和收益隨籃子數(shù)目變化可見，籃子越多，資金越分散，資金增值速度越快。當(dāng)然，實(shí)際投資中，過于分散會(huì)增加信息和操作成本，適37 / 257當(dāng)?shù)貙㈦u蛋分放在五、六個(gè)籃子里， 投資組合的效果就會(huì)相當(dāng)不錯(cuò)了。 從擲硬幣打賭看收益相關(guān)性對(duì) 投資效果的影響在前面我們假設(shè)幾個(gè)籃子被打翻是相互獨(dú)立的，如果幾個(gè)籃子被打翻是相關(guān)的會(huì)怎么樣呢？顯然，如果兩個(gè)籃子總是一道被打翻，那么，將雞蛋放在兩個(gè)籃子里和放在一個(gè)籃子里是一樣的，并不能降低風(fēng)險(xiǎn)并提高收益。同樣的道理，分散買幾種同漲同跌振幅相同的股票和只買一種股票，風(fēng)險(xiǎn)是同樣的。假設(shè)共有兩個(gè)籃子，如果只有而且總有一個(gè)籃子被打翻（反相關(guān)），則你可以全部投入資金（各投 50%），這時(shí)每次收益穩(wěn)定不變，幾何平均收益等于算術(shù)平均收益（（?1）+2）100%=50%組合效果最好。我們用相關(guān)系數(shù) c（在? 1 和 1 之間變化，即c?[?1， 1]）表示兩種證券或投資的收益的相關(guān)性（covariance）， c=?1 表示兩者盈虧總是相反，c =0 表示兩者盈虧互不相關(guān)；而 c=1 表示兩者盈虧總是同步的。我們用一對(duì)硬幣的兩面表示投資一個(gè)期貨品種或打賭的收益，同時(shí)是 A 面你虧 200%，同時(shí)是 B 面你賺300%，一 A 一 B 你賺 50%。現(xiàn)在有兩個(gè)期貨品種 I 和II，它們的價(jià)格由兩對(duì)硬幣的投擲結(jié)果確定（兩對(duì)可能共用或反用一個(gè)或兩個(gè)硬幣，從而使收益相關(guān)性變化）。全部投入資金（各 50%）和按優(yōu)化比例投入資金的幾何平均收益隨相關(guān)性變化如表 所示。表中 e1，e 2，e 3，e 4 是等可能取值為 0 或 1 的隨機(jī)變量；r 1= ?2，r 2=，e _1 是 e1 的非（兩者取值相反）。 e_2同理；r I 和 rII 是兩個(gè)品種的投資收益，比例 q 和 q* 是在每種證券上的投資比例和優(yōu)化的投資比例。表 相關(guān)系數(shù)對(duì)幾何平均收益的影響及優(yōu)化結(jié)果硬幣共有情況相關(guān)系數(shù)相關(guān)收益確定rI=r1+（e 1+e2）r 2rg（%）q=50％rg*（ %）q=q*優(yōu)化比例 q*共用一對(duì) 1 rII=r1 ?100 共用一個(gè) rII=r1+（e 1+e3）r 2 ?100 不共用 0 rII=r1+（e 3+e4）r 2 ?100 反用一個(gè) ? rII=r1+（e _1+e4）r 2 反用兩個(gè) ?1 rII=r1+（e _1+e_2）r 2 50 50 50可見，相關(guān)系數(shù)越大，組合效果越差；相關(guān)系數(shù)為 1時(shí)，等價(jià)于全部投資于一種證券，不賺反虧。相關(guān)系數(shù)越39 / 257小，組合效果越好。相關(guān)系數(shù)為?1 時(shí)效果最好，這時(shí)幾何平均收益等于算術(shù)平均收益。 從本章前面內(nèi)容，我們可以看出投資組合的意義：1）在收益不確定且可能虧損的情況下，改變投資比例可以提高資金的平均增值速度；2）如果有多個(gè)收益和風(fēng)險(xiǎn)相同且彼此互不相關(guān)的品種，適當(dāng)分散投資比集中投資風(fēng)險(xiǎn)小，且資金增值的平均速度快；3）同時(shí)投資反相關(guān)的品種可以減小總的投資風(fēng)險(xiǎn)，提高資金平均增值速度。以上關(guān)于減少風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)論和美國的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獲獎(jiǎng)?wù)?Markowitz 的結(jié)論大體一致。但是 Markowitz 等人并不知道或沒有研究使資金增值最快的客觀的最優(yōu)比例，更不知道怎么求出。Markowitz 投 資 組 合 理 論 及 其 缺 陷Markowitz 開創(chuàng)的投資組合理論 [16,20,21]取得了很大成就，他和 W. F. Shape 及 M. Miller 因此獲得 1990 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。Markowitz 用收益的期望 E 和標(biāo)準(zhǔn)方差?表示一種證券的投資價(jià)值，期望越大越好，而標(biāo)準(zhǔn)方差越小越好。標(biāo)準(zhǔn)方差反映了收益的不確定性或投資的風(fēng)險(xiǎn)。投資嗜好無差異曲線可以寫成? =?E+a （）a=??E +?越小則投資價(jià)值越高。至于 ?如何確定，沒有客觀標(biāo)準(zhǔn)，有人不在乎風(fēng)險(xiǎn)只希望期望收益越大越好，而有人為了小一些的風(fēng)險(xiǎn)情愿要低一些的期望收益。對(duì)于有 N 種證券的組合 P，期望收益變?yōu)? （）??kPEq1其中 Ek 是第 k 種證券的期望收益，q k 是相應(yīng)的投資比例；標(biāo)準(zhǔn)偏差變?yōu)? （）kllklkllPqc???其中 ckl 是協(xié)方差系數(shù)， ?k 和 ?l 是兩種證券的標(biāo)準(zhǔn)方差， ?kl 是相關(guān)系數(shù)，即 （）))()(,lkl klkl Err??優(yōu)化投資組合實(shí)際上是在 qk 的某些限制下（比如?qi=1），改變投資比例 q1， q2，... ，q N，使（） ?????klklkPcEEa??達(dá)最小。 41 / 257Markowitz 還定義了有效投資組合(efficient portfolio):給定期望收益時(shí)，使風(fēng)險(xiǎn)（?）達(dá)最小的組合；或者是給定風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，使期望（E）達(dá)最大的組合；或者是使 a= ??EP +?P 達(dá)最小的組合。分散投資或選擇收益反相關(guān)的品種組合投資之所以能減小風(fēng)險(xiǎn)是因?yàn)槟菢幽軠p小總的收益的標(biāo)準(zhǔn)方差。比如：對(duì)于前面擲硬幣打賭的例子（出 A 面你投一虧一，出 B面你投一賺二），賭注全部下在一個(gè)硬幣上，標(biāo)準(zhǔn)方差是? =[（0?） 2+（3?） 2]=而如果將賭注均等地下在兩個(gè)硬幣上，則? =[（0?） 2+（?） 2+（3?） 2]=即風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)由 減小為 。雖然 Markowitz 理論的成就是巨大的，但是其缺陷也是不容忽視的。缺陷之一：不認(rèn)為有客觀的最優(yōu)投資比例，或者說并不提供使資金增值最快的投資比例（當(dāng)然也就