【正文】 維空間中任意指定的坐標關(guān)系來看，就可能成為復合運動。因此，在三維空間分析由多個坐標系描述的各關(guān)節(jié)連桿之間的耦合關(guān)系并不容易。這主要是因為利用牛頓定律建立的方程實際上是力的平衡方程，必須在三維空間進行向量分析。而以下所描述的拉格朗日動力學方程是能量的平衡方程，它更適合分析相互約束下的多個連桿的運動?？紤]由n個連桿通過移動或旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)起來的機械系統(tǒng)。設表示各個關(guān)節(jié)的位移或旋轉(zhuǎn)角，而其速度或旋轉(zhuǎn)角由來表示。那么該系統(tǒng)可以有廣義坐標來描述。即該系統(tǒng)各關(guān)節(jié)所具有的動能之和為,勢能總和為。則拉格朗日動力學的結(jié)論可以用如下的拉格朗日方程描述： (39)其中是作用在第個關(guān)節(jié)連桿上的外部力或力矩之和,是按下式定義的拉格朗日函數(shù)： (310)在大多數(shù)關(guān)于機械系統(tǒng)動力學的書上都有上述定理的證明，因此不再給出定理的證明。將拉格朗日方程用于機械手時，必須將機械手連桿的動能和勢能表示為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和關(guān)節(jié)速度函數(shù)的函數(shù)，這就要建立連桿的質(zhì)量分布模型。因每一連桿可以看作剛體，所以連桿的動能和勢能可以根據(jù)其總質(zhì)量和關(guān)于質(zhì)心的慣量確定。 二自由度機械手的數(shù)學模型二自由度機械臂的動態(tài)方程及其控制問題是理解機械手控制技術(shù)的基礎。下面詳細介紹用拉格朗日動力學方法推導其動態(tài)方程的過程。1. 二自由度機械臂的構(gòu)成與力學模型 它由質(zhì)量分別為，臂長分別為的連桿臂構(gòu)成，通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與底座連接，通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與連桿連接。各關(guān)節(jié)連桿的驅(qū)動力矩分別由表示。為描述各關(guān)節(jié)的位姿，在各關(guān)節(jié)接點處分別固定坐標系和，其X軸方向均與連桿方向相同。用坐標系來表示操作空間，其原點及Z軸與重合。質(zhì)心位置分別在距連桿關(guān)節(jié)接點處。該機械臂可看作是兩個運動相互約束的質(zhì)點。其力學模型由圖33所示。下面我們就來分析各質(zhì)點的能量并由此建立運動方程。數(shù)學模型的建立：首先，在各個連桿坐標系下質(zhì)點的坐標分別為圖33 二自由度機械臂的力學模型 ， 記各關(guān)節(jié)連桿的旋轉(zhuǎn)角度分別為，如圖33。則由前面結(jié)果可知，由坐標系到坐標系XYZ的齊次變換陣為 (311)同理，由坐標系到的齊次變換陣為 (312)因此，可以求出質(zhì)點在操作空間坐標系XYZ下的坐標和如下：， (313) (314)即 (315)所以，由此求得個連桿沿水平方向運動的速度為 (316)則機械臂沿水平方向運動的動能為 (317)而連桿繞質(zhì)心作旋轉(zhuǎn)運動的轉(zhuǎn)動慣量為： (318)其中，分別表示連桿的轉(zhuǎn)動慣量，即有 (319)故該機械臂系統(tǒng)的總動能為 (320)忽略各關(guān)節(jié)的彈性摩擦，那么該系統(tǒng)所具有的勢能為： (321)那么由上式，根據(jù)拉格朗日方程得出用關(guān)節(jié)坐標描述的機械臂系統(tǒng)的動態(tài)方程如下首先沿方向有 (322)其中，由此得出，方向的運動方程為 (323) 同理可求出， (324) 即，方向的運動方程為 (325)令，則機械臂的運動方程可以表示為矩陣形式 (326) (327) (328) (329)因為之間滿足因此，將上述坐標代入方程(316)式，得 (330)即可得 (331)式中， (332)2. 電動機驅(qū)動機械臂的動態(tài)模型 以上討論的機械臂的運動方程沒有考慮各個連桿提供力矩的驅(qū)動器的動特性。對于控制精度要求很高的小型或微型機械手來講，不能忽略驅(qū)動回路的動特性，以下是電機驅(qū)動的機械臂的動態(tài)方程的建立。直流電機驅(qū)動的電氣回路示意圖如圖34驅(qū)動回路電氣方程如下 (333)其中表示逆電勢，i表示電樞電流，V是外部施加的電樞電壓。電機內(nèi)部的電信號和外部的機械信號之間的關(guān)系有以下兩式給定： 圖34 機械臂驅(qū)動回路 (334)其中為由電機的機電參數(shù)所決定的常數(shù)。如果二自由度機械臂的兩個機械臂均由直流電機驅(qū)動，這是機械臂的兩個控制輸入信號就成為電機的電樞電壓。根據(jù)上述討論，驅(qū)動回路滿足 (335) (336) (337)定義電流向量和電樞電壓向量為則驅(qū)動回路的動態(tài)過程可以表示為矩陣形式 (338)因此根據(jù)上式和（320）得出電機驅(qū)動機械臂的運動方程為 (339)至此，電機驅(qū)動的二自由度的機械的動態(tài)數(shù)學模型就被建立起來了。 機械手動態(tài)特性盡管各類機械手的具體結(jié)構(gòu)和參數(shù)不同，但是對于如下式 (340)所示的拉格朗日運動學方程，可以證明其滿足如下性質(zhì)。(1) 正定性 對于任意q矩陣是正定的。(2) 有界性 矩陣函數(shù),對于所有是一致有界的，即存在正數(shù)和正定函數(shù)，使得 , (341)對于任意成立。(3) 斜對稱性 矩陣函數(shù)對于任意是斜對稱的。即對任意向量，有 (342)(4) 線性特征 機械手的數(shù)學模型對于物理參數(shù)是線性的。即，如果將矩陣函數(shù)J,f,g中的定常系數(shù)表示為一個向量，那么可以定義適當?shù)木仃?，使得下式成立? (343)對于一般的線性系統(tǒng)來講構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)或者能量存儲函數(shù)，這并不是容易的事情。但是，如果能夠充分利用機械手系統(tǒng)的物理特征，將很容易找到理想的李亞普諾夫函數(shù)。而且如果定義適當?shù)妮敵鲂盘枺@個函數(shù)同樣可以成為保證系統(tǒng)耗散性的存儲函數(shù)。機械手的這些物理特征，在許多有關(guān)機械手的書籍中給予詳細介紹，利用這些特征，還可以建立機械手系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。 本章小結(jié)本章簡要介紹了機械手的拉格朗日動力學方程，從而推導出兩關(guān)節(jié)機械手的數(shù)學模型。及機械手動力學模型中的參數(shù)含義。另外深入闡述了電動機驅(qū)動機械臂的動態(tài)數(shù)學模型。并給出了機械手一些動態(tài)特性，為后續(xù)章節(jié)控制器的設計和仿真奠定了理論基礎。第4章 兩關(guān)節(jié)機械手的自適應控制第4章 兩關(guān)節(jié)機械手的自適應控制 自適應控制器的設計標準控制器的設計標準如下：(1) 穩(wěn)定性 當不含擾動時，跟蹤誤差向量漸近地趨于零；而系統(tǒng)含有擾動時，是終值有界的，其誤差向量定義為 (2) 當考慮不確定性因素時，該控制器也能使系統(tǒng)穩(wěn)定，達到跟蹤要求，并且當該不確定因素在一定范圍內(nèi)變化時，控制器仍有較好的跟蹤性質(zhì)。 自適應控制器設計研究為了設計控制器，假設給定的期望軌跡和模型的不確定性滿足如下條件：(1) 是充分可微的，且當時,存在控制輸入，使得成立。(2) 未知非線性函數(shù)關(guān)于跟蹤誤差是增益有界的，即存在，使得 成立。條件(1)意味著=0。因此，可以選擇為滿足。又因為機械臂的數(shù)學模型是狀態(tài)變量的二次以下的非線性函數(shù)，因此不失一般性的可以取是的二次函數(shù), 即 (3).連續(xù)可導遞增函數(shù)表示為連續(xù)可導遞增函數(shù)向量的集合及參數(shù)集并滿足下列條件 (41)其中表示絕對值，為簡單起見，假設 即函數(shù)向量由3個標量參數(shù)決定，仍記為。不考慮摩擦和干擾，回轉(zhuǎn)機械手系統(tǒng)具有如下的特性(4) 慣性矩陣是正定對稱的，并滿足，任意， (42)任意， (43)其中表示最?。ㄗ畲螅┚仃囂卣髦担且粋€正的常數(shù)。(5) 適當定義矩陣可使矩陣特征值，是斜對稱是斜對稱，即或 (44)(6) 對于所有的，存在正的常數(shù)，使得 (45) (46) 存在正的常數(shù)使得 (47) (48)(7)存在正的常數(shù)，使得，對于任意(8) 存在連續(xù)可導的遞增函數(shù)向量 (49) (410) (411)其中對于所有,使得 (412) (413) (414)其中,并有 (415)不失一般性,可選擇。命題 假設函數(shù)向量如有 (416) 則 (417)(9) 對于所以向量有 (418)其中，是包已知參數(shù)的動力學方程的一部分；為回歸陣；表示不確定的機械手參數(shù)。因此有如下假設： 假設 假設參數(shù)估計域E為 自適應控制算法自適應控制率如下： (419) (420)其中關(guān)節(jié)角誤差表示期望關(guān)節(jié)軌跡，均為正的常數(shù)，表示期望關(guān)節(jié)軌跡，均為正的常數(shù)，為正定的對角矩陣，是已知參數(shù)的動力學方程部分；向量如圖所示，為連續(xù)可導的遞增函數(shù)向量，即 (421) (422) (423)其中 (424)定常向量使得，即（近似為） (425)為表述方便，假定利用性質(zhì)6，控制律可寫為 (426)得到閉環(huán)系統(tǒng)的動力學方程 (427)其中 (428) (429)且滿足 (430)在不等式（425）的條件下，存在一正定的標量函數(shù)，使得 (431) 同樣地，定義另一正定標量函數(shù)： (432)顯然 (433) (434) 控制器穩(wěn)定性的證明證明過程分兩步(1) 構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)及其正定性證明構(gòu)造以下的李亞普諾夫函數(shù) (435)即 (436)其中分別是有式(431)和(432)所定義的函數(shù)。由于 (437)根據(jù)條件1，可見李亞普諾夫函數(shù)是全局正定的，且是徑向無界的。(2) 李亞普諾夫函數(shù)時間導數(shù)負定的證明。李亞普諾夫函數(shù)的時間導數(shù)為 (438) 由閉環(huán)系統(tǒng)(427)并根據(jù)性質(zhì)2及參數(shù)估計率(420)，得 (439)為敘述方便，先給出下列幾個不等式進一步可得到 (440)其中的不等號應用了下列兩個等式 (441)根據(jù)不等式（440）和條件3有 (442)對于所有的及正的常數(shù)a，b，c，a0。函數(shù) (443)正定的條件是。那么條件2意味著綜上所述，由利亞普諾夫穩(wěn)定性定理及La Salle不變集原理，定理得證。 仿真研究為了驗證控制器的有效性，選取系列參數(shù)進行仿真：表41 機械臂的參數(shù)參數(shù)項目符號數(shù)值第一關(guān)節(jié)質(zhì)量第二關(guān)節(jié)質(zhì)量第一關(guān)節(jié)長度第二關(guān)節(jié)長度控制目標是系統(tǒng)的輸出，跟蹤期望軌跡為： 對于該系統(tǒng)設計自適應控制器，是不確定的或未知，其它參數(shù)均準確可知。選擇仿真結(jié)果如下：圖41 系統(tǒng)simulink仿真圖圖42 機械手關(guān)節(jié)一位置跟蹤圖43 機械手關(guān)節(jié)一速度跟蹤圖44 機械手關(guān)節(jié)二位置跟蹤曲線圖45 機械手關(guān)節(jié)二速度跟蹤曲線圖46 關(guān)節(jié)一控制曲線輸出圖47關(guān)節(jié)二控制曲線輸出 本章所解決的是自適應控制設計問題，并對系統(tǒng)進行了MATLAB仿真模擬。通過仿真結(jié)果看出控制器可以達到預期的性能指標。結(jié)論機器人是非線性系統(tǒng)，并具有很強的不確定性，工作環(huán)境多變，精度要求高。這半學年通過查閱資料，了解到機器人的控制有多種方法，本論文針對機器人的軌跡跟蹤控制問題，設計了自適應跟蹤控制器，并做了一定的仿真研究。本論文主要完成了如下工作：(1) 學習了自適應控制的基礎知識，為設計控制器