【正文】 又∵C 是弧 BD 的中點，∴∠1﹦∠A ∴∠1﹦∠2, ∴ CF﹦BF ﹒ ACBDEFO12(2) ⊙O 的半徑為 5 ， CE 的長是 5247． （2022 四川南充）如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝ BC．12（1）求∠BAC 的度數(shù)．（2）將△ACD 沿 AC 折疊為 △ACF，將△ABD 沿 AB 折疊為△ABG，延長 FC 和 GB 相交于點 H．求證：四邊形 AFHG 是正方形．（3）若 BD＝6，CD＝4，求 AD 的長．ACBDEFO12史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 35 頁 共 51 頁　　　AFCDEGHBOAFCDEGHBO【答案】 （1）解：連結(jié) OB 和 OC．AFCDEGHBO∵　OE⊥BC，∴　BE ＝CE．∵　OE＝ BC，∴　∠BOC＝90176。，∴　∠BAC＝45176。．　　　　　　　12（2）證明：∵　AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90176。 ．由折疊可知，AG＝AF ＝AD， ∠AGH＝∠AFH＝90176。 ，　　　　　　∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，　　　　　　　　　 ∴　∠BAG＋∠CAF ＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45176。．∴　∠GAF＝∠BAG ＋∠CAF＋∠BAC＝90176。．∴　四邊形 AFHG 是正方形．　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 （3）解：由（2）得，∠BHC＝90176。，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．設(shè) AD 的長為 x，則　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．　　 在 Rt△ BCH 中， BH2＋CH 2＝BC 2，∴?。▁ －6） 2＋（x－4） 2＝10 2．解得，x 1=12，x 2＝－2（不合題意，舍去） ．∴　AD＝12．　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　8． （2022 福建福州）如圖，AB 是⊙O 的直徑，弦 CD⊥AB 于點 E，點 P 在⊙O 上，∠1＝∠C．（1）求證：CB∥PD；（2）若 BC＝3，sinP＝ ，求⊙O 的直徑．35史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 36 頁 共 51 頁(第 19 題)【答案】解：（1）證明：∵ ， ∴ ∠C ＝∠P．ABD? 又∵ ∠1＝∠C， ∴ ∠1＝∠P． ∴ CB∥PD． （2）連接 AC． ∵ AB 為 0D 的直徑， ∴ ∠ACB =90176。． 又∵ CD⊥AB， ∴ ABC?∴ ∠A＝∠P ， ∴ sinA＝sin P．在 Rt△ ABC 中， sinA＝ ，BCAB∵ sinP＝ ， ∴ ＝ ．35 BCAB 35又∵ BC＝3， ∴ AB ＝5．即⊙O 的直徑為 5．9． （2022 邵陽）閱讀下列材料，然后解答問題。經(jīng)過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫作這個正四邊形的外接圓。圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫作這個圓的內(nèi)接正四邊形。如圖（十三） ，已知正四邊形 ABCD 的外接圓⊙O ，⊙O 的面積為 S ， 正四邊形 ABCD1的面積為 S ，以圓心 O 為頂點作 ∠MON ，使∠MON=90176。，將∠MON 繞點 O 旋轉(zhuǎn)，2OM、 ON 分別與⊙O 相交于點 E、 F，分別與正四邊形 ABCD 的邊相交于點 G、 H。設(shè)OE、 OF、 及正四邊形 ABCD 的邊圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為 SAEF（1）當(dāng) OM 經(jīng)過點 A 時（如圖①） ，則 S、 S 、 S 之間的關(guān)系為：S＝ 12（用含 S 、 S 的代數(shù)式表示） ；12（2）當(dāng) OM⊥ AB 時（如圖②） ，點 G 為垂足，則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由。（3）當(dāng) ∠ MON 旋轉(zhuǎn)到任意位置時（如圖 ③， ）則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由．第 19 題圖史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 37 頁 共 51 頁 圖（十三）【答案】解：（1） 124S?（2）成立。理由：連 OB，可證圖中的兩個陰影部分的面積之和等于圖①的陰影部分的面積（3）成立。過點 O 分別作 AB、 BC 的垂線交 AB、 BC 于點 P、 Q，交圓于點 X、 Y，可證直角三角形 OPG 全等于直角三角形 OQH，可說明兩陰影部分面積之和等于圖①的陰影部分面積．10． （2022 年上海）機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走” ，如圖 5 所示， “海寶”從圓心 O 出發(fā)，先沿北偏西 176。方向行走 13 米至點 A 處，再沿正南方向行走 14米至點 B 處，最后沿正東方向行走至點 C 處，點 B、C 都在圓 O 上.（1）求弦 BC 的長；（2）求圓 O 的半徑長.（本題參考數(shù)據(jù)：sin 176。 = ，cos 176。 = ，tan 176。 = ）1213 513 125?AC北北BONS圖 5【答案】(1)過 A 作 AH 垂直 NS 于點 H，∴∠AHO=90 176。, sin 176。 = = ,1213 AHO∵OA=13 米,∴ AH=12 米,∵AB ∥OS, 記 BC 與 OS 交于點 D，∴AH=BD=12 米,∵OS⊥BC 于點 D，∴BD=CD=12 米,∴BC=24 米.（2）由（1）可得 OH=5 米，∵AB=14 米，∴HD=9 米，聯(lián)接 OB，∵∠ODB=90176。,∴OB= 2915??11． （2022 廣東珠海）如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D 是 AB 邊上一點，P 是優(yōu)弧史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 38 頁 共 51 頁BAC 的中點，連結(jié) PA、PB、PC、PD.(1)當(dāng) BD 的長度為多少時，△PAD 是以 AD 為底邊的等腰三角形？并證明；（2）若 cos∠PCB= ，求 PA 【答案】解：（1）當(dāng) BD＝AC＝4 時，△PAD 是以 AD 為底邊的等腰三角形∵P 是優(yōu)弧 BAC 的中點 ∴弧 PB＝弧 PC∴PB＝PC∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA∴△PBD≌△PCA∴PA=PD 即△PAD 是以 AD 為底邊的等腰三角形（2）由（1）可知，當(dāng) BD＝4 時，PD＝PA，AD＝ABBD＝64＝2過點 P 作 PE⊥AD 于 E，則 AE＝ AD=11∵∠PCB=∠PAD∴cos∠PAD=cos∠PCB= 5?PA∴PA= 512． （2022 湖北荊門）如圖，圓 O 的直徑為 5，在圓 O 上位于直徑 AB 的異側(cè)有定點 C 和動點 P，已知 BC：CA =4：3，點 P 在半圓弧 AB 上運動（不與 A、B 兩點重合） ，過點 C 作 CP 的垂線 CD 交 PB 的延長線于 D 點．（1）求證：A CCD=PCBC；（2）當(dāng)點 P 運動到 AB 弧中點時，求 CD 的長； （3）當(dāng)點 P 運動到什么位置時，△PCD 的面積最大？并求出這個最大面積 S。史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 39 頁 共 51 頁北23北北PODCBA【答案】 （1）由題意，AB 是⊙O 的直徑；∴∠ACB =90。 ，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90 ?！唷螦CP+ ∠BCD= ∠PCB +∠ DCB=90。 ，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP= ∠D+ ∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC ，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△ DCB；∴ ， 全品中考網(wǎng)CPBA?∴A CCD=PCBC（2）當(dāng) P 運動到 AB 弧的中點時,連接 AP，∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠APB=90 。 ，又∵P 是弧 AB 的中點， ∴弧 PA=弧 PB，∴AP =BP，∴∠ PAB=∠PBA =45.,又 AB=5，∴PA=，過 A 作 AM⊥CP，垂足為 M，在 Rt△AMC 中，∠ACM=45 5，∴∠CAM=45 ，∴AM=CM= ，在 Rt△AMP 中，23AM2+AP2=PM2，∴PM = ，∴PC=PM+ = 。由（1）知：A CCD=PCBC 27， 3CD=PC4，∴CD＝ 3214（3）由（1）知：A CCD=PCBC，所以 AC： BC=CP： CD； 所以 CP： CD=3： 4，而 △PCD 的面積等于 = ， CP 是圓 O 的弦，當(dāng) CP 最長時，△PCD 的面積最大，而此CP2D2時 CP 就是圓 O 的直徑；所以 CP=5，∴3：4=5：CD；∴CD= ，△PCD 的面積等于320 = = ；1051?史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 40 頁 共 51 頁 PODCBA13． （2022 四川成都） 已知：如圖， 內(nèi)接于⊙O ， 為直徑，弦 于ABC?ABCEAB?， 是 AD 的中點，連結(jié) 并延長交 的延長線于點 ，連結(jié) ，分別交 、FCDEGD于點 、 ．BQ （1）求證： 是 的外心；PAC? （2）若 ,求 的長；3tan,84BF??Q （3）求證： ．2()G?【答案】 （1）證明：∵C 是 AD 的中點，∴AC=CD，∴∠CAD=∠ABC∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠ACB=90176?！唷螩AD+∠AQC=90176。又 CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90176?！唷螦QC=∠PCQ∴在△PCQ 中， PC=PQ，∵CE⊥直徑 AB，∴AC=AE∴AE=CD∴∠CAD=∠ACE?！小?⌒⌒ ⌒史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 41 頁 共 51 頁∴在△APC 中，有 PA=PC，∴PA=PC=PQ∴P 是△ACQ 的外心。（2）解：∵CE⊥直徑 AB 于 F，∴在 Rt△BCF 中，由 tan∠ABC= ，CF=8，34CB?得 。432BFC?∴由勾股定理，得 203F?∵AB 是⊙O 的直徑，∴在 Rt△ACB 中，由 tan∠ABC= ，4ACB?得 。3104ACB?易知 Rt△ACB∽Rt△QCA，∴ 2Q?∴ 。25QB?（3）證明：∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠ACB=90 176?！唷螪AB+∠ABD=90176。又 CF⊥ AB，∴∠ABG+ ∠G=90176。∴∠DAB=∠G ；∴Rt△AFP∽Rt△GFB，∴ ，即AFPB?FPG???易知 Rt△ACF∽Rt△CBF，∴ 2?∴ FCP?由（1） ，知 PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC∴ 。2()PQG?A14． （2022 山東濰坊）如圖，AB 是⊙O 的直徑，C、D 是⊙O 上的兩點，且 AC＝CD．（1）求證：OC∥BD；（2）若 BC 將四邊形 OBDC 分成面積相等的兩個三角形，試確定四邊形 OBDC 的形狀．史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 42 頁 共 51 頁【答案】 （1） ⊙O 中，AC＝CD，則∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，則∠ABC＝ ∠OAB ，∴∠OCB＝∠DBC，則 OC∥BD ；（2）∵OC∥BD，不妨設(shè)平行線 OC 與 BD 之間的距離為 h，又 S△OBC ＝ OCh，S △12OBC＝ OCh，∵BC 將四邊形 OBDC 分成面積相等的兩個三角形，即 S△OBC ＝ S△DBC ，則 OC＝BD，∴四邊形 OBDC 為平行四邊形，因為 OC＝OB ，所以四邊形 OBDC 為菱形．15． （2022 廣東中山）如圖，PA 與⊙O 相切于 A 點，弦 AB⊥OP，垂足為 C，OP 與⊙O 相交于 D 點，已知 OA=2，OP=4．（1）求∠POA 的度數(shù)；（2）計算弦 AB 的長．【答案】解：（1）∵PA 與⊙O 相切于 A 點，∴∠PAO= 09在 RtΔ PAO 中， OA=2，OP=4∴∠POA= 06（2）∵AB⊥OP∴AC=BC，∠OCA= 09在 RtΔ AOC 中，OA=2，∠AOC= 06∴AC= 3∴AB=2史老師數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第 43 頁 共 51 頁16． （2022 黑龍江哈爾濱）如圖，AB、AC 為⊙O 的弦，連接 CO、BO 并延長分別交弦AB、AC 于點 E、F ，∠B= ∠C。求證：CE