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np完整性理論ppt課件(已改無錯(cuò)字)

2023-06-05 18:18:47 本頁面
  

【正文】 G=(V, E)和一個(gè)整數(shù) k。 要求判定圖 G是否包含一個(gè) k頂點(diǎn)的 完全子圖 (團(tuán) ),即判定是否存在 V’?V, |V’|=k, 且對于所有的u, v∈V ’, 有 (u, v)∈E 。 若用鄰接矩陣表示圖 G, 用二進(jìn)制串表示整數(shù) k, 則團(tuán)問題的一個(gè)實(shí)例可以用長度為 的二進(jìn)位串表示。因此,團(tuán)問題可表示為語言: CLIQUE={wv|w, v∈{0 , 1}*, 以 w為鄰接矩陣的圖 G有一個(gè) k頂點(diǎn)的團(tuán),其中 v是 k的二進(jìn)制表示。 } 1log2 ?? kn25 P類與 NP類語言 接受該語言 CLIQUE的 非確定性算法 :用非確定性選擇指令選出包含 k個(gè)頂點(diǎn)的候選頂點(diǎn)子集 V, 然后確定性地檢查該子集是否是團(tuán)問題的一個(gè)解。算法分為 3個(gè)階段: 算法的第一階段將輸入串 wv分解,并計(jì)算出 n= , 以及用 v表示的整數(shù) k。 若輸入不具有形式 wv或 |w|不是一個(gè)平方數(shù)就拒絕該輸入。顯而易見,第一階段可 在時(shí)間內(nèi)完成。 ||w)( 2nO 在算法的第二階段中,非確定性地選擇 V的一個(gè) k元子集 V’?V。 算法的第三階段是確定性地檢查 V’的團(tuán)性質(zhì)。若 V’是一個(gè)團(tuán)則接受輸入,否則拒絕輸入。這顯然可以在 時(shí)間內(nèi)完成。因此,整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜性為 。 )( 4nO)( 4nO非確定性算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)接受語言 CLIQUE, 故 CLIQUE∈NP 。 26 多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證 VP={L|L∈∑* , ∑ 為一有限字符集,存在一個(gè)多項(xiàng)式 p和一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間驗(yàn)證算法 A(X, Y)使得對任意 X∈∑* , X∈L 當(dāng)且僅當(dāng)存在 Y∈∑* , |Y|≤p(|X|) 且 A(X, Y)=1}。 多項(xiàng)式時(shí)間可驗(yàn)證語言類 VP可定義為: 定理 85: VP=NP。( 證明見書本) 例如 (哈密頓回路問題 ):一個(gè)無向圖 G含有哈密頓回路嗎 ? 無向圖 G的哈密頓回路是通過 G的每個(gè)頂點(diǎn)恰好一次的簡單回路 。可用語言 HAMCYCLE 定義該問題如下: HAMCYCLE={G|G含有哈密頓回路 } 27 NP完全問題 ? 多項(xiàng)式時(shí)間變換 ? Cook定理 28 多項(xiàng)式時(shí)間變換 定義: 語言 L是 NP完全的當(dāng)且僅當(dāng) (1)L∈NP ; (2)對于所有 L’∈NP 有 L’ ∝ p L。 如果有一個(gè)語言 L滿足上述性質(zhì) (2),但不一定滿足性質(zhì) (1),則稱該語言是 NP難 的。所有 NP完全語言構(gòu)成的語言類稱為 NP完全語言類 ,記為 NPC。 設(shè) , 是 2個(gè)語言。所謂語言 能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)變換為語言 (簡記為 ∝ p )是指存在映身 f: ,且 f滿足: (1)有一個(gè)計(jì)算 f的多項(xiàng)式時(shí)間確定性圖靈機(jī); (2)對于所有 x∈ , x∈ , 當(dāng)且僅當(dāng) f(x)∈ 。 *11 ??L *22 ??L 1L2L 1L2L*2*1 ???1L 2L*1?29 多項(xiàng)式時(shí)間變換 定理 86:設(shè) L是 NP完全的,則 (1)L∈P 當(dāng)且僅當(dāng) P= NP; (2)若 L∝ p , 且 ∈ NP, 則 是 NP完全的。 1L 1L 1L定理 86的 (2)可用來證明問題的 NP完全性。但前提是:要有第一個(gè) NP完全問題 L。 30 Cook定理 定理 87(Cook定理 ): 布爾表達(dá)式的可滿足性問題 SAT是 NP完全的。 證明: SAT的一個(gè)實(shí)例是 k個(gè)布爾變量 , … , 的 m個(gè)布爾表達(dá)式 , … , 若存在各布爾變量 (1≤ i≤k) 的 0, 1賦值,使每個(gè)布爾表達(dá)式 (1≤ i≤m) 都取值 1,則稱布爾表達(dá)式 … 是可滿足的。 1x kx1A mA ix1A 2A mAiA SAT∈NP 是很明顯的 。 對于任給的布爾變量 , … , 的 0,1賦值 , 容易在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證相應(yīng)的 … 的取值是 否為 1。 因此 , SAT∈NP 。 現(xiàn)在只要證明對任意的 L∈NP 有 L∝ pSAT即可 。 ( 詳細(xì)證明見書本 P307~ 310) 1x kx1A 2A mA31 一些典型的 NP完全問題 部分 NP
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