【正文】 并將實驗數據代入法方程 （ 118） 就可以求出方程 （ 116） 中的系數 。 對于變量數多于 2個 ， 并且擬合曲線模型是非線性型時 ， 可參照本節(jié)的方法 ， 推導得到法方程 ， 通過對法方程的求解就可以求得各種擬合曲線參數 。靈活運用上面介紹的方法 ， 可以解決大部分實驗數據及模型參數的擬合問題 。 多變量的曲線擬合 PrcReccNu lnlnln)l n ( 321 ???32221110 ln lnln )l n (caPrxcaRexcaNuy??????多變量的曲線擬合 — VB程序清單 多變量的曲線擬合 實例 根據某傳熱實驗測得如下數據，請用方程（ 116 ）的形式擬合實驗曲線。 解：利用上面的 VB程序 ， 將數據依次輸入 ， 就可以得到方程 （ 116） 中的三個參數 C1= C2= C3= 則式 （ 116 ） 就變成了常見的光滑管傳熱方程 N u 1 .1 2 7 2 .4 1 6 2 .2 0 5 2 .3 1 2 1 ,4 8 4 6 .0 3 8 7 .3 2 5 Re 100 200 300 500 100 700 800 Pr 2 4 1 0 .3 5 3 4 PrReNu ?多變量的曲線擬合 實例 值得注意的是程序中對 c2(1)的處理，不是直接將計算結果顯示出來，而是進行指數運算后才顯示出來。這是由于我們在進行擬合計算的時候，對方程（ 116 ）進行了對數運算。如果擬合方程的形式和方程（ 116 ）不同，則需對上面提供的程序作適當修改。例如以下兩個自變量的擬合函數 2221110 nn x a x a ap ( x ) ???第四節(jié) 解矛盾方程組 第四節(jié) 解矛盾方程組 本節(jié)中將用最小二乘法求解線性矛盾方程的方法來構造擬合函數 ， 并將其推廣至任意次和任意多個變量的擬合函數 ， 為在化學化工中實驗數據處理及模型參數擬合提供更為一般性的方法 。 給定數據序列 （ xi,yi） ,i=1, 2 , … , m ， 做擬合直線 p (x) = a0 + a1x ， 如果要直線 p (x)過這些點 ， 那么就有 p (xi ) = a0 + a1xi =yi, i=1, 2 , … , m , 即 ?????????????mm yxaayxaayxaa1022101110 ????????????????????????????????mm yyyaax???211021 1x1x1寫成矩陣形式 為 上述方程組中有 2個未知量 m個方程 ( m2 )。 一般地 ，將含有 n個未知量 m個方程的線性方程組其一般形式為 第四節(jié) 解矛盾方程組 ???????????????????mnmnmmnnnnyxaxaxayxaxaxayxaxaxa?????22112222212111212111 ?????????????????????????????????????mnmnmmnnyyyxxxaaaaaaaaa???????2121212222111211 寫成矩陣形為 一般情況下，當方程數 m多于變量數 n ，且 m個方程之間線性無關 , 則方程組無解，這時方程組稱為矛盾方程組。方程組在一般意義下無解，也即無法找到 n個變量同時滿足 m個方程。這種情況和擬合曲線無法同時滿足所有的實驗數據點相仿，故可以通過求解均方誤差 極小意義下矛盾方程的解來獲取擬合曲線。 由數學知識還可證明：方程組 ATAX = ATY的解就是矛盾方程組 AX = Y 在最小二乘法意義下的解。這樣我們只要通過求解 ATAX = ATY就可以得到矛盾方程組的解，進而得到各種擬合曲線，為擬合曲線的求解提供了另一種方法。 第四節(jié) 解矛盾方程組 min║ AXB║ 22 例如，擬合直線 p (x ) = a0 +a1x的矛盾方程組 ATAX = ATY的形式如下： 化簡得到與式 (112)相同的法方程 第四節(jié) 解矛盾方程組 ???????????????????????????????????????????mmmmyyyxxxaaxxxxxx ??????? 2121102121 111111 111???????????????????????????????????????????miiimiimiimiimiiyxyaaxxxm11101211 這里需要注意的是變量 X和系數（ a0 ， a1）之間的相互轉換關系。即 對于 n次多項式曲線擬合，要計算 Q ( a0 ,a1 , …, an ) 的極小值問題 ,這與解矛盾方程組 第四節(jié) 解矛盾方程組 ??????????????????????mxxxAaaX111 , 2110????? mi inini yx+ a+ x + a a1 210 ) ( ????????????????????mnmnmnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa?????102221011110 ?????????????????????????mn yyyaaaA??2110 與求 的極小問題是一回事。 ? ??????minaaa12ini110 yxx ?或 在這里 ???????????????nmmnnxxxxxxA?????111 2211故對離散數據（ xi,yi） ,i=1, 2 , …, m ；所作的 n次擬合曲線 y= xa + +xa +a nini10 ?，可通過解下列方程組求得： ?????????????????????????mTnTyyy A aaaAA??2110 （ 121） 第四節(jié) 解矛盾方程組 ? 如果擬合函數有 n個自變量并進行一次擬合，則其擬合函數為： （ 122） ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????