近世代數(shù)期末考試題庫【整理版】(已改無錯字)
2023-04-26 04:30:28 本頁面
【正文】 b∈S1∩S2：因為S1，S2是A的子環(huán)，故ab, ab∈S1和ab, ab∈S2 ，因而ab, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：解： 1．，；2．兩個都是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）證明：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a，由理想的定義，因而R的任意元這就是說=R，證畢。證 必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，所以b=a1。近 世 代 數(shù) 試 卷一、判斷題（下列命題你認為正確的在題后括號內(nèi)打“√”，錯的打“”；每小題1分，共10分）設(shè)與都是非空集合，那么。 （ f ）設(shè)、都是非空集合，則到的每個映射都叫作二元運算。（ f ） 只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ t ）如果循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。 （t ）如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。 （ f ）群的子群是不變子群的充要條件為。 （ t ）如果環(huán)的階，那么的單位元。 （ t ）若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒有右零因子。 （ t ）中滿足條件的多項式叫做元在域上的極小多項式。 （ f ）若域的特征是無限大，那么含有一個與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，是由素數(shù)生成的主理想。 （ f ）二、單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼寫在題干后面的括號內(nèi)。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共10分）設(shè)和都是非空集合，而是到的一個映射，那么（ 2 ）①集合中兩兩都不相同；②的次序不能調(diào)換；③中不同的元對應(yīng)的象必不相同；④一個元的象可以不唯一。指出下列那些運算是二元運算（ 3 ）4①在整數(shù)集上，； ②在有理數(shù)集上，；③在正實數(shù)集上，；④在集合上。設(shè)是整數(shù)集上的二元運算，其中（即取與中的最大者），那么在中（ 4 ）3①不適合交換律；②不適合結(jié)合律；③存在單位元；④每個元都有逆元。設(shè)為群，其中是實數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（ 4 ）①0和； ②1和0； ③和； ④和。設(shè)和都是群中的元素且，那么（ 2 ）1①； ②； ③； ④。設(shè)是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（ 3 ）2①6； ②24； ③10； ④12。設(shè)是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（2 ）4①的同態(tài)核是的不變子群； ②的不變子群的逆象是的不變子群；③的子群的象是的子群； ④的不變子群的象是的不變子群。設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，那么下列錯誤的結(jié)論為（ 4 ）3①若是零元，則是零元； ②若是單位元，則是單位元；③若不是零因子，則不是零因子；④若是不交換的，則不交換。下列正確的命題是（ 4 ）1①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)； ②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)； ④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。若是域的有限擴域，是的有限擴域，那么（1 ）4①； ②；③； ④。三、填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯或未填者，該空無分。每空1分，共10分）設(shè)集合；，則有 。如果是與間的一一映射，是的一個元，則 a 。設(shè)集合有一個分類，其中與是的兩個類，如果，那么 0 。設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為 。凱萊定理說：任一個子群都同一個 同構(gòu)。給出一個5循環(huán)置換，那么 。若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達為 x 。若是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想，那么是一個域當且僅當是 一個最大理想 。整環(huán)的一個元叫做一個素元，如果 、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子 。若域的一個擴域叫做的一個代數(shù)擴域，如果 。四、改錯題（請在下列命題中你認為錯誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預(yù)備的橫線上面。指出錯誤1分，更正錯誤2分。每小題3分，共15分）如果一個集合的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。 結(jié)合律與交換律 有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合作成一個群，如果滿足對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。 消去律成立 設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。 S=I或S=R
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