【正文】 合起來(lái)；⑸方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼猓}精講：模塊一、時(shí)間相同速度比等于路程比【例 33】 甲、乙二人分別從 A、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后繼續(xù)行進(jìn)，甲到達(dá) B 地和乙到達(dá) A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地點(diǎn)距第一次相遇的地點(diǎn) 30千米，則 A、 B 兩地相距多少千米？【解析】 兩個(gè)人同時(shí)出發(fā)相向而行，相遇時(shí)時(shí)間相等，路程比等于速度之比，即兩個(gè)人相遇時(shí)所走過(guò)的路程比為 4 : 3．第一次相遇時(shí)甲走了全程的4/7；第二次相遇時(shí)甲、乙兩個(gè)人共走了 3個(gè)全程，三個(gè)全程中甲走了個(gè)全程，與第一次相遇地點(diǎn)的距離為個(gè)全程．所以 A、 B兩地相距 (千米)．【例 34】 B地在A，C兩地之間．甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過(guò)來(lái)．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過(guò)來(lái)后返回B地至少要用多少時(shí)間?！窘馕觥?根據(jù)題意當(dāng)丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了此時(shí)甲、乙位置如下：因?yàn)楸乃俣仁羌?、乙?倍，分步討論如下：（1） 若丙先去追及乙，因時(shí)間相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走兩倍乙走需要10分鐘，所以丙用時(shí)間為：10247。（3－1）=5（分鐘）此時(shí)拿上乙拿錯(cuò)的信當(dāng)丙再回到B點(diǎn)用5分鐘，此時(shí)甲已經(jīng)距B地有10＋10＋5＋5＝30（分鐘），同理丙追及時(shí)間為30247。（3－1）=15（分鐘），此時(shí)給甲應(yīng)該送的信，換回乙應(yīng)該送的信在給乙送信，此時(shí)乙已經(jīng)距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分鐘），此時(shí)追及乙需要：50247。（3－1）=25（分鐘），返回B地需要25分鐘所以共需要時(shí)間為5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分鐘）（2） 同理先追及甲需要時(shí)間為120分鐘【例 35】 (“圓明杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽) 甲、乙兩人同時(shí)從、兩點(diǎn)出發(fā)，甲每分鐘行米，乙每分鐘行米，出發(fā)一段時(shí)間后，兩人在距中點(diǎn)的處相遇；如果甲出發(fā)后在途中某地停留了分鐘，兩人將在距中點(diǎn)的處相遇，且中點(diǎn)距、距離相等，問(wèn)、兩點(diǎn)相距多少米？【分析】 甲、乙兩人速度比為，相遇的時(shí)候時(shí)間相等，路程比等于速度之比，相遇時(shí)甲走了全程的，乙走了全程的．第二次甲停留，乙沒(méi)有停留，且前后兩次相遇地點(diǎn)距離中點(diǎn)相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的．由于甲、乙速度比為，根據(jù)時(shí)間一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期間乙走了，所以甲停留期間乙行了，所以、兩點(diǎn)的距離為(米)．【例 36】 甲、乙兩車分別從 A、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度減少 20%，乙的速度增加 20%．這樣當(dāng)甲到達(dá) B 地時(shí)，乙離 A地還有 10 千米．那么 A、B 兩地相距多少千米？【解析】 兩車相遇時(shí)甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度減少 20%，乙的速度增加 20%，此時(shí)甲、乙的速度比為 ，所以甲到達(dá) B 地時(shí)，乙又走了，距離 A地，所以 A、 B 兩地的距離為 (千米)．【例 37】 早晨，小張騎車從甲地出發(fā)去乙地．下午 1 點(diǎn)，小王開車也從甲地出發(fā)，前往乙地．下午 2 點(diǎn)時(shí)兩人之間的距離是 15 千米．下午 3 點(diǎn)時(shí)，兩人之間的距離還是 l5 千米．下午 4 點(diǎn)時(shí)小王到達(dá)乙地，晚上 7 點(diǎn)小張到達(dá)乙地．小張是早晨幾點(diǎn)出發(fā)？【解析】 從題中可以看出小王的速度比小張塊．下午 2 點(diǎn)時(shí)兩人之間的距離是 l5 千米．下午 3 點(diǎn)時(shí)，兩人之間的距離還是 l5 千米，所以下午 2 點(diǎn)時(shí)小王距小張 15 千米，下午 3 點(diǎn)時(shí)小王超過(guò)小張 15千米，可知兩人的速度差是每小時(shí) 30 千米．由下午 3 點(diǎn)開始計(jì)算，小王再有 1 小時(shí)就可走完全程，在這 1 小時(shí)當(dāng)中，小王比小張多走 30 千米，那小張 3 小時(shí)走了15 30 45= + 千米，故小張的速度是 45 247。3 =15千米/時(shí)，小王的速度是15 ＋30 =45千米/時(shí)．全程是 45 3 =135千米，小張走完全程用了135 ＋15= 9小時(shí)，所以他是上午 10 點(diǎn)出發(fā)的?！纠?38】 從甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路與上坡路的距離相等。陳明開車從甲地到乙地共用了 3 小時(shí)，其中第一小時(shí)比第二小時(shí)多走 15 千米，第二小時(shí)比第三小時(shí)多走 25 千米。如果汽車走上坡路比走平路每小時(shí)慢 30 千米，走下坡路比走平路每小時(shí)快 15 千米。那么甲乙兩地相距多少千米？ 【解析】 ⑴由于3個(gè)小時(shí)中每個(gè)小時(shí)各走的什么路不明確，所以需要先予以確定．從甲地到乙地共用3小時(shí)，如果最后一小時(shí)先走了一段平路再走上坡路，也就是說(shuō)走上坡路的路程不需要1小時(shí)，那么由于下坡路與上坡路距離相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小時(shí)，這說(shuō)明第一小時(shí)既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小時(shí)則是全在走平路．這樣的話，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小時(shí)走的路程小于以下坡的速度走1小時(shí)的路程，而這個(gè)路程恰好比以平路的速度走1小時(shí)的路程(即第二小時(shí)走的路程)多走15千米，所以這樣的話第一小時(shí)走的路程比第二小時(shí)走的路程多走的少于15千米，不合題意，所以假設(shè)不成立，即第三小時(shí)全部在走上坡路．如果第一小時(shí)全部在走下坡路，那么第二小時(shí)走了一段下坡路后又走了一段平路，這樣第二小時(shí)走的路程將大于以平路的速度走1小時(shí)的路程，而第一小時(shí)走的路程比第二小時(shí)走的路程多走的少于15千米，也不合題意，所以假設(shè)也不成立，故第一小時(shí)已走完下坡路，還走了一段平路．所以整個(gè)行程為：第一小時(shí)已走完下坡路，還走了一段平路；第二小時(shí)走完平路，還走了一段上坡路；第三小時(shí)全部在走上坡路．⑵由于第二小時(shí)比第三小時(shí)多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小時(shí)30千米．所以第二小時(shí)內(nèi)用在走平路上的時(shí)間為小時(shí)，其余的小時(shí)在走上坡路；因?yàn)榈谝恍r(shí)比第二小時(shí)多走了15千米，而小時(shí)的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小時(shí)余下的下坡路所用的時(shí)間為小時(shí)，所以在第一小時(shí)中，有小時(shí)是在下坡路上走的，剩余的小時(shí)是在平路上走的．因此，陳明走下坡路用了小時(shí)，走平路用了小時(shí)，走上坡路用了小時(shí)．⑶因?yàn)橄缕侣放c上坡路的距離相等，所以上坡路與下坡路的速度比是．那么下坡路的速度為千米/時(shí)，平路的速度是每小時(shí)千米，上坡路的速度是每小時(shí)千米．那么甲、乙兩地相距(千米)．模塊二、路程相同速度比等于時(shí)間的反比【例 39】 甲、乙兩人同時(shí)從地出發(fā)到地，經(jīng)過(guò)3小時(shí)，甲先到地，乙還需要1小時(shí)到達(dá)地，此時(shí)甲、乙共行了35千米．求，兩地間的距離．【分析】 甲用3小時(shí)行完全程，而乙需要4小時(shí)，說(shuō)明兩人的速度之比為，那么在3小時(shí)內(nèi)的路程之比也是；又兩人路程之和為35千米，所以甲所走的路程為千米，即，兩地間的距離為20千米．【例 40】 在一圓形跑道上，甲從 A 點(diǎn)、乙從 B 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，6 分后兩人相遇，再過(guò)4 分甲到達(dá) B 點(diǎn)，又過(guò) 8 、乙環(huán)行一周各需要多少分？【解析】 由題意知，甲行 4 分相當(dāng)于乙行 6 分.（抓住走同一段路程時(shí)間或速度的比例關(guān)系） 從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相當(dāng)于甲行 8 分，所以甲環(huán)行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20247。46＝30（分）.【例 41】 上午 8 點(diǎn)整，甲從 A地出發(fā)勻速去 B 地，8 點(diǎn) 20 分甲與從 B 地出發(fā)勻速去 A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來(lái)的 3 倍，乙速度不變；8 點(diǎn) 30 分，甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)各自的目的地．那么，乙從 B 地出發(fā)時(shí)是 8 點(diǎn)幾分．【解析】 甲、乙相遇時(shí)甲走了 20 分鐘，之后甲的速度提高到原來(lái)的 3 倍，又走了 10 分鐘到達(dá)目的地，根據(jù)路程一定，時(shí)間比等于速度的反比，如果甲沒(méi)提速，那么后面的路甲需要走10 3= 30分鐘，所以前后兩段路程的比為 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分鐘的路程乙要走 10 分鐘，所以甲走 30 分鐘的路程乙要走 15 分鐘，也就是說(shuō)與甲相遇時(shí)乙已出發(fā)了 15 分鐘，所以乙從 B 地出發(fā)時(shí)是 8 點(diǎn)5 分．【例 42】 小芳從家到學(xué)校有兩條一樣長(zhǎng)的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路．小芳上學(xué)走這兩條路所用的時(shí)間一樣多． 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 設(shè)小芳上學(xué)路上所用時(shí)間為 2，那么走一半平路所需時(shí)間是1．由于下坡路與一半平路的長(zhǎng)度相同，根據(jù)路程一定，時(shí)間比等于速度的反比，走下坡路所需時(shí)間是，因此，走上坡路需要的時(shí)間是，那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時(shí)間的反比，為，所以，上坡速度是平路速度的倍．【例 43】 一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行750米，預(yù)計(jì)50分鐘到達(dá)．但汽車行駛到路程的時(shí)，出了故障，用5分鐘修理完畢，如果仍需在預(yù)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)乙地，汽車行駛余下的路程時(shí)，每分鐘必須比原來(lái)快多少米？【分析】 當(dāng)以原速行駛到全程的時(shí)，總時(shí)間也用了，所以還剩下分鐘的路程；修理完畢時(shí)還剩下分鐘，在剩下的這段路程上，預(yù)計(jì)時(shí)間與實(shí)際時(shí)間之比為，根據(jù)路程一定，速度比等于時(shí)間的反比，實(shí)際的速度與預(yù)定的速度之比也為，因此每分鐘應(yīng)比原來(lái)快米．小結(jié)：本題也可先求出相應(yīng)的路程和時(shí)間，再采用公式求出相應(yīng)的速度，最后計(jì)算比原來(lái)快多少，但不如采用比例法簡(jiǎn)便．【例 44】 (“我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽)一列火車出發(fā)小時(shí)后因故停車小時(shí)，然后以原速的前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚小時(shí)．若出發(fā)小時(shí)后又前進(jìn)公里因故停車小時(shí)，然后同樣以原速的前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚小時(shí)，那么整個(gè)路程為________公里．【解析】 如果火車出發(fā)小時(shí)后不停車，然后以原速的前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚小時(shí)，在一小時(shí)以后的那段路程，原計(jì)劃所花的時(shí)間與實(shí)際所花的時(shí)間之比為，所以原計(jì)劃要花小時(shí)，現(xiàn)在要花小時(shí)，若出發(fā)小時(shí)后又前進(jìn)公里不停車，然后同樣以原速的前進(jìn)，則到達(dá)目的地僅晚小時(shí)，在一小時(shí)以后的那段路程，原計(jì)劃所花的時(shí)間與實(shí)際所花的時(shí)間之比為，所以原計(jì)劃要花小時(shí)，現(xiàn)在要花小時(shí)．所以按照原計(jì)劃公里的路程火車要用小時(shí)，所以火車的原速度為千米／小時(shí)，整個(gè)路程為千米．【例 45】 王叔叔開車從北京到上海，從開始出發(fā)，車速即比原計(jì)劃的速度提高了1/9，結(jié)果提前一個(gè)半小時(shí)到達(dá)；返回時(shí)，按原計(jì)劃的速度行駛 280 千米后，將車速提高1/6，于是提前1 小時(shí) 40 分到達(dá)北京．北京、上海兩市間的路程是多少千米？【解析】 從開始出發(fā)，車速即比原計(jì)劃的速度提高了1/9，即車速為原計(jì)劃的10/9，則所用時(shí)間為原計(jì)劃的1247。10/9=9/10，即比原計(jì)劃少用1/10的時(shí)間，所以一個(gè)半小時(shí)等于原計(jì)劃時(shí)間的1/10，原計(jì)劃時(shí)間為：247。1/10=15(小時(shí))；按原計(jì)劃的速度行駛 280 千米后，將車速提高1/6，即此后車速為原來(lái)的7/6，則此后所用時(shí)間為原計(jì)劃的1247。7/6=6/7，即此后比原計(jì)劃少用1/7的時(shí)間，所以1 小時(shí) 40 分等于按原計(jì)劃的速度行駛 280 千米后余下時(shí)間的1/7，則按原計(jì)劃的速度行駛 280 千米后余下的時(shí)間為：5/3247。1/7=35/3(小時(shí))，所以，原計(jì)劃的速度為：84(千米/時(shí))，北京、上海兩市間的路程為：84 15= 1260(千米)．【例 46】 一輛汽車從甲地開往乙地，如果車速提高 20%可以提前1小時(shí)到達(dá)．如果按原速行駛一段距