【正文】 xx? ? 解：原式 = 2 2 2220 sin co slim sinx x x xxx? ? 2 2 2220303200si n c o sl i msi n c o s si n c o sl i msi n c o s c o s c o s si n 22 l i m 2 l i m33xxxxx x xxxx x x x x xxxx x x x x x xxx???????????? ? ?? ? ? 【 例 24】 1120limx x x xnxa a an???? ? ???????? 提示：利用 1ln~ ?axax 解：原式 = 1 12 121 1 1l n 1 l n 1 l n ln120 0 0l im l im l imxx nn na a n x xa a a a a axn xn xn n nx x xe e e a a a??? ???? ? ????? ? ??? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? 【 例 25】 32l im ( 2 2 1 )x x x x x?? ? ? ? ? 解：原式 = 32 11l im2 1 1x x x x x x?? ?????? ? ? ? ??? 17 3232322l i m( 2 1) ( 1 )2l i m( 2 1) ( 1 ) ( 2 )21l i m4222xxxxxxx x x xxx x x x x xxxxx??????????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ??? 【 例 26】 21lim (s in c o s ) xxI xx???? 解： 21l im e x p l n s in c o sxIx xx???????????????? 00221si n c os 11 si n 2 c os 1e xp l i m e xp( l i m l i m )1e xp( 2 0)x t tttxx tx t txe? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? 【 例 27】 設(shè) ? ? ? ?111 7 , 7 , 1 , 2 ,n n na a a a n?? ? ? ? ?，證明 limnn a??存在，并求此極限。 證明： 采用歸納法，先考慮 ??na 的有界性，再考慮單調(diào)性。 ? ? ? ?2 1 1 1 1177722a a a a a? ? ? ? ? ? 假設(shè)： 72na?，則 ? ?1 17722n n na a a? ? ? ? ?，故 ??na 有界。 又， ? ?1 7 7 1 2 1 1nnnn n naaaa a a??? ? ? ? ? ?， 故 ??na 單調(diào)。 所以， limnn a??存在。記 limnn aA?? ?。 由極限的唯一性，對 ? ?1 7n n na a a? ??兩邊同時取極限，得 ? ? 77 0 , .2A A A A? ? ? ? 再由極限的保序性。得 1A? ，所以 7lim 2nn a?? ?。 【 例 28】 已知 ??fx在 ? ?0, ?? 內(nèi)可導(dǎo)， ? ? ? ?0 , lim 1xf x f x????，且有 ? ?? ? 1 10limh xhf x hx efx???? ?????，求 ? ?y f x? 。 解： 18 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1120 0 011l im 12l n l n l n l n11l i m l i m l i mln 1xhxh h hfxxxf x hx f x hx f x f x hx f xef x h x hx xd f x f x C e f x edx x??? ? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ? ????? ? 【 例 29】 求 ? ?666 5 6 5l imxI x x x x? ??? ? ? ? 解： 661211l i m 1 11 1 1 1 2 1 l i m 1 1 l i m6 6 6 3xxxIx xxx o o xx x x x x? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 【 例 30】 求 02limxIxx???? ???? 解：對于取整函數(shù)有以下兩個結(jié)論： 1） ? ?1x x x? ? ? 2） ? ? ? ?0 0 lim 0 。 lim 1xxxx? ? ?? ? ? 21 ) 0 2 22 2 2122) 0 2 2x x xxx x x x x xx? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ???? ? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ???? ??? ? ?lim 2 x 2x?? ?? 利用夾逼 準則 得：02I lim x 2xx????????? 【 例 31】 已知 ? ?210ln 1li mln 1xxxeI a xe???????????????????????存在，求 I ， a 。 19 解： ? ?2 21 222102l n 121l i m l i m l i m 01l n 11 uxu uuxuu ux u ux ueeeeee eee?? ? ?? ? ??????? ???? ???????? ???? ? ?0limx a x a?? ?? ? ? ? ?2 21 222 2102l n 12 2 11l i m l i m l i m l i m 211l n 11 uxu u u uxuu uux u u ux ueee e eee eeee?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????? ? ? ???????? ???? ? ?0lim 0x ax?? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 2a?? 時，原極限存在，故 2I? 【 例 32】 設(shè) ??fx在 0x? 某鄰域可導(dǎo)， ? ? ? ?0 1, 0 2ff???，求 2 11 c os1lim n nnIf n????????? ????? ???????? 解： 根據(jù)極限的唯一性，令 1x n? ，等價求 ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?21 c o s00 2002l im 11 c o s02l im 1 1 01 4 l im 4 l im40 802l imxxxxxxxfxxxxfxf x f x fxfxxI f x I ee e e e e?????????? ????? ?? ? ? ? ?陳 氏 第 一 技 【 例 33】30 a rc ta n s inlimx xxI x? ?? 解： ? ? ? ?? ? ? ?3 3 3 3123 3 3 312330011a r c t a n , si n 3 3!11a r c t a n si n 13 3!l i m l i m6xxx x x o x x x x o xx x o x x x o xxxI??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?根 據(jù) 泰 勒 定 理 中 的 麥 克 勞 林 展 開 的 佩 亞 若 余 項 形 式 【 例 34】求 ? ?40s in s in s in s inl imxx x xI x??????? 解： 20 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3 3 3 312330033333 3 30 0 011 si n si nsi n si n si n 66l i m l i m11si n si n si n 166l i m l i m l i m6xxx x xx x o x x x o xxxIxxx x x o xx x x xxxx x x??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? 【 例 35】 747645 1 1 s in 8l im 13xx x xI xx? ? ?? ? ? ?? ? 解：此類極限的求解一般方法是，將無窮大量換成無窮小量 ? ?? ?4 7767444741 11 si n 855l i m13113xxxxx xxIxx x? ? ?????? ? ? ? ??????? 如果分子和分母都是一個整式，則直接比較最高次項的系數(shù)，如求 784 4745 si n 11 5l i m 1313xx x xIxx? ? ?? ? ?? ? ?? 【 例 36】設(shè) 0?? ， ??fx在區(qū)間 ? ?, ??? 內(nèi)有定義，若當(dāng) ? ?, x ???? 時，恒有 ? ? 2f x x? ，求? ?0f? 。 解： ? ? ? ?? ? ? ?20000 l im = 0xf x x ff x f xxxx ?? ? ?? ? ????? 夾 逼 準 則 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 200 0 0l i m 000l i m l i m l i m 0 000xx x xf x f xf x x x f x x x xxxf x f x f x f fx x x?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? 【 例 37】設(shè) ? ?fx在 ? ?, ab上一階可導(dǎo)，在 ? ?, ab內(nèi)二階可導(dǎo)， ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0f a f b f a f b????? ? ?，證明： ? ? ? ?, f x a b?? 在 內(nèi)恰有一個零點。 證：不妨設(shè) ? ? 0fa?? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 l im 0 , l im 0x a x bf x f a f x f bfb x a x b??? ????? ? ? ? ? 由極限的 保 序性 知，存在 0?? ，使得 21 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?112212, 0, 0, , 0x a a f x f ax b b f x f bx x a b f????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ?零 點 定 理 又因為 ? ? ? ? ? ?f a f b f ???，所以： ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?112212, 0, 0, , 0y a f yy a f yx y y a b f x???? ? ????? ??? ? ????? ???? ? ? ? ?羅 爾 定 理羅 爾 定 理 【 例 38】設(shè) ??fx在 ? ?, ab上連續(xù)，在 ? ?, ab內(nèi)二階可導(dǎo)， ? ? ? ? ? ?, 0f a f b f a????，證明：