【正文】 第 17 頁 23 3ΔhΔq=R （ 55） 定義輸入為 1q ， 輸出為 1h 、 h2 ，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程 為： 1111 1222 2 2 31 0 1ARhh A= + q11 hhA R A R20??? ??????? ?? ???? ?? ????? ?????? ??????? （ 55） 12h10y=0 1 h???????????? （ 57） 在 參 考 各 種 資 料 和 數(shù) 據(jù) 的 基 礎(chǔ) 上 ， 可 設(shè) 定 該 雙 容 水 箱 的 參 數(shù)212A = A = ， 23R = R = 2，則系 統(tǒng)的狀態(tài)方程可具體化為： 11122hh 0 2= + q1 1 hh10??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ? ????? （ 58） 12h10y=0 1 h???????????? （ 59） 運動分析 為了更好的利用 Matlab 分析，我們可將系統(tǒng)的狀態(tài)方程的輸出分解為： ? ?112hy = 1 0h?????? （ 510） ? ? 122hy = 0 1h?????? （ 511） 在 Matlab 中輸入下列指令，可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 A=[1 0。1 1]。 B=[2。0]。 C1=[1 0]。 安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 18 頁 C2=[0 1]。 D=0。 [num1,den1]=ss2tf(A,B,C1,D)。 [num2,den2]=ss2tf(A,B,C2,D)。 G1=tf(num1,den1) Transfer function: 2 s + 2 s^2 + 2 s + 1 G2=tf(num2,den2) Transfer function: 2 s^2 + 2 s + 1 由上述代碼可知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 1 2 2s + 2G= s + 2s + 1 （ 512） 1 2 2s + 2G= s + 2s + 1 （ 513） 輸入下列指令可得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)： step(G1) 得到輸出 1y 響應(yīng)曲線如圖 52 所示， 安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 19 頁 圖 52 1y 響應(yīng)曲線 step(G2) 得到輸出 2y 響應(yīng)曲線如圖 53 所示： 安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 20 頁 圖 53 2y 響應(yīng)曲線 當然，我們也也可以搭建下列 simulink 模型，如圖 4，達到仿真的目的，其仿真結(jié)果與上面相同。 圖 54 xxxxxxxxxxx 從上述仿真結(jié)果可知，在階躍響應(yīng)下， 1h 、 h2 都趨于穩(wěn)態(tài) 2，且無超調(diào)。 能控能觀性 首先能控性判斷，繼續(xù)上面的 Matlab 中輸入的系統(tǒng)模型，可繼續(xù)輸入下列代碼，利用秩判據(jù)得到系統(tǒng)的能控性。 Qc=ctrb(A,B) Qc = 2 2 0 2 rank(Qc) ans = 2 安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 21 頁 由上述結(jié)果可知，系統(tǒng)的可控性判別矩陣的秩為 2，與系統(tǒng)維數(shù)相同，所以系統(tǒng)是能控的。 下面利用秩判據(jù)判斷系統(tǒng)的能觀 性： Qo1=obsv(A,C1) Qo1 = 1 0 1 0 Qo2=obsv(A,C2) Qo2 = 0 1 1 1 rank(Qo1) ans = 1 rank(Qo2) ans = 2 由上述結(jié)果可知，輸出 1y 是不可觀的，而輸出 2y 是可觀的。由于整個系統(tǒng)包含1y 2y ，所以就整個系統(tǒng)而言是不可觀的。 穩(wěn)定性分析 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析歸結(jié)為求解李雅普洛夫方程。在 Matlab 中使用函數(shù)lyap（）來求解連續(xù)時間系統(tǒng)的李雅普洛夫方程，然后根據(jù)所求實對稱矩陣 P 的定號性判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面給出具體計算過程： 安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 22 頁 由于 1 0A = = 1 01 1 ?唯一平衡狀態(tài)。所以只需判定系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定性。 在 Matlab 命令窗口中輸入： Q=eye(2) Q = 1 0 0 1 X=lyap(A,Q) X = 顯然， 11X 0 ， de t(X ) = 5 0，故 X 正定，可判定系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定。 綜合 下面討論極點配置問題，根據(jù)指定極點所設(shè)計的狀態(tài)反饋增益矩陣是惟一的。 對于上面我們所構(gòu)建的系統(tǒng)模型，首先我們知道它是可控的，所以選擇反饋矩陣 K，引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的閉環(huán)極點可任意配置。 若我們想把極點配置在 1， 2 ，則操作可具體如下： rank(ctrb(A,B)) ans = 2 顯見，系統(tǒng)狀態(tài)可控，可以對其閉環(huán)極點進行任意配置。 下面求其反饋增益矩陣 K， p=[1 2] p = 1 2 安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 23 頁 K=acker(A,B,p) K = 0 即狀態(tài)反饋矩陣 K=[ 0],配置完畢。 安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 24 頁 第 6 章 三容水箱數(shù)理模型的建立 三容水箱數(shù)理模型 當某種形式的擾動作用于被控制對象時 , 就會引起對象的輸出發(fā)生相應(yīng)的變化。這種變化在時域或頻域上可用微分方程或傳遞函數(shù)進行描述 , 稱為被控對象的數(shù)學(xué)模型。它反映了對象的特性 , 特別是動態(tài)特性。在過程控制系統(tǒng)的設(shè)計中 , 主要的依據(jù)就是被控制對象的特性。所以通過實驗來建立三容水箱的數(shù)學(xué)模型為液位控制提供了理論依據(jù)。 [ 圖 61 三容水箱的數(shù)學(xué)模型 三容水箱是液位控制系統(tǒng)中的被控對象，若流入量和流出量相同，水箱的液位不變，平衡后當流入側(cè)閥門開大時，流入量大于流出量導(dǎo)致液位上升。同時由于出水壓力的增大使流出量逐漸增大，其趨勢是重新建立起流入量與流出量之間的平衡關(guān)系，即液位上升到一定高度使流出量增大到與流入量相等而重新建立起平衡關(guān)系，液位最后穩(wěn)定在某一高度上；反之，液位會下降，并最終穩(wěn)定在另一高度上。由于水箱的流入量可以調(diào)節(jié)，流出量隨液位高度的變化而變化，所以只需 建立流入量與液位高度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系就可以建立該水箱對象的 數(shù)學(xué)模型。 安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 25 頁 實驗步驟 該實驗中上、中、下三個水箱的負載閥開度分別設(shè)置為 11mm、 14mm、 9mm。 被控量為下水箱水位 h3。上水箱的注水量通過上位機對電磁閥的開度進行調(diào)節(jié)。 ( 1) 實驗系統(tǒng)上電 , 上位機進入監(jiān)控畫面 , 并設(shè)定調(diào)節(jié)閥 FV101 具有較小的開度 。 ( 2) 啟動水泵 , 上水箱注水 。 ( 3) 觀察監(jiān)控畫面 , 一段時間后水位在比較低時達到平衡狀態(tài) 。 ( 4) 增大調(diào)節(jié)閥的開度 , 記錄水位隨時間的數(shù)據(jù)直至液位再次達到平衡。 數(shù)學(xué)模型公式推導(dǎo) 通過三水槽物料平衡可得的公式： 水槽 1： （ 61） 水槽 2： （ 62） 水槽 3： （ 63） 其中 是入水量，被控量 為下水箱水位 ； 分別為上、中、下三個水箱截面積， 這里 的 為上中下三個水箱的液位。 水槽 1： 39。11( ) /ih Q Q A?? （ 64） 水槽 2： 39。2 1 2( ) /h Q Q A?? （ 65） 水槽 3： 39。3 2 3( ) /h Q Q A?? （ 66） 其中： )(1 111 Fdtdh i ??)(1 2122 Fdtdh ??)(1 3233 Fdtdh ??iQ 3h 1F 2F 3F21 mF ? 22 mF ? 23 mF ?iii RhQ? )321( 、?ihi安徽工業(yè)大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 第 26 頁 111 /RhQ ? (67) 222 /RhQ ? (68) 333 /RhQ ? (69) R R2 、 R3 分別為上、中、下三個水箱的線性水阻 。 h h h 3 分別為上、中、下三個水箱的液位。 對上面的公式經(jīng)過一系列的微分和積分計算和整理后得到一個復(fù)雜的三階微分方程得： 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39