【正文】 是否是 白噪聲可進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn) ：假設(shè)原假設(shè) 認(rèn)為它 是白噪聲，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件求出 P 值，觀察 P 值是否小于顯著性水平，如果小于，那就拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列是非白噪聲 ，有研究價(jià)值 。 模型的識(shí)別是時(shí)間序列法的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一 ， 原因在于時(shí)間序列模型有很多種，而每種模型又有各自的特點(diǎn)。最基本的模型有三種， AR(p)、 MA(q)、ARMA(p,q)。它們各自的特點(diǎn)如圖： 表 1 模型特點(diǎn) 自相關(guān)系數(shù) 偏相關(guān)系數(shù) 模型定階 拖尾 p 階截尾 AR(p)模型 q 階截尾 拖尾 MA(q)模型 拖尾 拖尾 ARMA(p,q)模型 AR 模型 AR 模型是自回歸模型，常用于線性預(yù)測。已知 N 個(gè)數(shù)據(jù)，可以通過它推出第 N 個(gè)數(shù)據(jù)前或后的數(shù)據(jù)，它將時(shí)間序列看成是前期值和隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)，其目的是為了增加有效數(shù)據(jù)。常用于數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的應(yīng)用。 令 ， ，?， 為自回歸系數(shù)，則 AR 模型的數(shù)學(xué)公式為： 式中， p 為差分階數(shù)。簡記為 AR（ p） 模型。 該模型有三個(gè)限制條件： 1. ，即模型的最高階為 p； 2. ， ， ，其中 ，即要求 為零均值的白噪聲序列； 3. ， 。即現(xiàn)在的隨機(jī)干擾和過去的序列值無關(guān)。 MA 模型 MA 模型是滑動(dòng)平均模型，是現(xiàn)代譜估中常用的模型，它是將時(shí)間序列看成是當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項(xiàng)的線性函數(shù)。同樣適用于數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)等學(xué)科。 令 ， ，? 為滑動(dòng)平均系數(shù)，則 MA 模型的數(shù)學(xué)公式為： 式中， q 為自回歸模型的階數(shù)。簡記為 MA（ q）模型。 該模型有兩個(gè)限制條件： 1. ，最高階只能為 q； 2. ， ， ，其中 ，即要求 為零均值的白噪聲序列。 ARMA 模型 以 AR 模型（自回歸模型）與 MA 模型（滑動(dòng)平均模型）為基礎(chǔ)，共同“混合”構(gòu)成 ARMA 模型（自回歸滑動(dòng)平均模型），它將時(shí)間序列看成是當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項(xiàng)以及前期值的線性函數(shù)，是時(shí)間序列中重要的研究方法之一。ARMA 模型是研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有理譜的典型方法，它同樣也適用于很多實(shí)際問題。 由 AR 模型和 MA 模型可以得出 ARMA 模型的數(shù)學(xué)公式為： 其中， 是在 時(shí)刻預(yù)測對(duì)象的預(yù)測值。， ? ，是預(yù)測對(duì)象的觀測值。該時(shí)間序列 為服從（ p,q）階的自回歸滑動(dòng)平均混合模型。簡記為 ARMA（ p,q）模型。 參數(shù)估計(jì)（ parameter estimation）指的是從總體中抽取樣本來估計(jì)總體分布中所包含的未知參數(shù)的方法。本文運(yùn)用 SAS 軟件對(duì)確定的模型進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，同時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)顯著性。參數(shù)估計(jì)的方法也有很多種，如：最小二乘估計(jì)、極大似然估計(jì)等，本文所采用的是最小二乘估計(jì)。 模型檢驗(yàn)主要包括兩部分：模型的顯著性檢 驗(yàn)和參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。前者是用來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裼行?，具體方法就是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械臍埐钚蛄惺欠袷前自肼暎前自肼暷Ｐ筒潘銛M合成功，模型中數(shù)據(jù)所包含的規(guī)律才能被發(fā)掘，此模型才算有效。而后者則是要對(duì)不必要的參數(shù)進(jìn)行篩選剔除，為了讓模型更加精準(zhǔn)可靠。 因?yàn)闀r(shí)間序列所能確立的模型不是唯一的，雖然這些模型也都能對(duì)未來進(jìn)行預(yù)測，但是也有優(yōu)劣之分。為此，就必須按照一定的準(zhǔn)則來選擇最佳的模型。為了解決該問題，引進(jìn) AIC 和 SBC 信息準(zhǔn)則的概念，進(jìn)行模型優(yōu)化。 AIC 準(zhǔn)則是由日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Akaike 于 1973 年提出的，其全稱為最小信息準(zhǔn)則（ An Information Criterion）。通常似然函數(shù)值越大說明模型擬合效果越好。模型中的未知參數(shù)個(gè)數(shù)越多，說明模型擬合的準(zhǔn)確度也越高。但是未知參數(shù)越多，也說明模型中未知的風(fēng)險(xiǎn)也多。一個(gè)好的擬合模型應(yīng)該是擬合精度和未知參數(shù)個(gè)數(shù)的綜合最優(yōu)配置。 AIC 模型也正是在這種考慮下提出的，它是要讓擬合精度和位置參數(shù)個(gè)數(shù)的加權(quán)函數(shù)達(dá)到最小。但 AIC 準(zhǔn)則也有不足之處，在樣本容量趨于無窮大時(shí)， AIC 準(zhǔn)則選擇的模型不收斂于真是模型。為了彌補(bǔ)不足， Schwartz于 1978 年提出根據(jù) Bayes 理論得出 SBC 準(zhǔn)則。 SBC 準(zhǔn)則是最優(yōu)模型的真實(shí)階數(shù) 相合估計(jì)。在所有通過檢驗(yàn)的模型中使得 AIC 或 SBC 函數(shù)達(dá)到最小的模型為相對(duì)最優(yōu)模型，即選擇 AIC 和 SBC 值中較小的那個(gè)。 模型建立確定好之后，將數(shù)據(jù)帶入模型進(jìn)行運(yùn)算即可。如今只需將適當(dāng)?shù)牟襟E代碼以及數(shù)據(jù)鍵入相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件便可得到預(yù)測值，本文所運(yùn)用的統(tǒng)計(jì)軟件是SAS 統(tǒng)計(jì)軟件。 3 城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)性支出的實(shí)證分析 在中國改革開放之前，由于三年自然災(zāi)害、文化大革命、四人幫等 特殊 事件，國家經(jīng)濟(jì)處于一個(gè)相對(duì)比較混亂的階段，而且城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)性支出的統(tǒng)計(jì)也不完善，為了確保研究的嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)據(jù)的有效，故本文對(duì) 1978年之前的數(shù)據(jù)不進(jìn)行選取。作者在翻閱各大權(quán)威統(tǒng)計(jì)網(wǎng)站之后決定選取從 1978年到 2020 年這 36 年之間的相關(guān)數(shù)據(jù)。（數(shù)據(jù)源于中國經(jīng)濟(jì)信息網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫2020 年數(shù)據(jù) ）數(shù)據(jù)如下所示： 表二 1978 年到 2020 年中國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)性支出數(shù)據(jù) 年份 城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入 城鎮(zhèn)居民家庭人均消費(fèi)性支出 年份 城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入 城鎮(zhèn)居民家庭人均消費(fèi)性支出 1978 343 311 1996 4839 3919 1979 405 400 1997 5160 4186 1980 478 412 1998 5425 4332 1981 500 457 1999 5854 4616 1982 535 471 2020 6280 4998 1983 565 506 2020 6860 5309 1984 652 559 2020 7703 6030 1985 739 673 2020 8472 6511 1986 901 799 2020 9422 7182 1987 1002 884 2020 10493 7943 1988 1180 1104 2020 11759 8697 1989 1374 1211 2020 13786 9997 1990 1510 1279 2020 15781 11243 1991 1701 1454 2020 17175 12265 1992 2027 1672 2020 19109 13471 1993 2577 2111 2020 21810 15161 1994 3496 2851 2020 24565 16674 1995 4283 3538 2020 26955 18023 資料來源： 中國經(jīng)濟(jì)信息網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫 （ 2020 年） 將表一中的城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)性支出數(shù)據(jù)分別繪制成時(shí)序圖： 圖 1 城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)性支出數(shù)據(jù)時(shí)序圖 由圖一可以看出：城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)性支出這兩者都有明顯的增長趨勢，且人均可支配收入均大于人均消費(fèi)性支，未來的發(fā)展是否也會(huì)延續(xù)這樣的趨勢 ？還是會(huì)有其他的變化？ 在未做科學(xué)的統(tǒng)計(jì)分析之前 還 不敢妄下結(jié)論。 根據(jù)上文所做的時(shí)序圖可以判斷出無論是城鎮(zhèn)居民人均可支配收入還是人均消費(fèi)性支出都是具有明顯的增長趨勢，即非平穩(wěn)的。分別對(duì)這兩組數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)再進(jìn)行二階差分， 得到差分結(jié)果如下兩圖所示。 圖 2 城鎮(zhèn)居民人均可支配收入二階差分走勢圖 圖 3 城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)性支出二階差分走勢圖 由以上兩張圖可以得知：該兩組數(shù)據(jù)經(jīng)過處理之后均在某一特定值附近上下波動(dòng)，沒有明顯的趨勢，即具有平穩(wěn)性。再對(duì)其進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，得到如下所示兩張檢驗(yàn)結(jié)果圖： 圖 4 城鎮(zhèn)居民人均可支配收入白噪聲檢驗(yàn) 圖 5 城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)性支出白噪聲檢驗(yàn) 從兩張檢驗(yàn)結(jié)果圖中可以看出， p 值均遠(yuǎn) ，故拒絕原假設(shè)，即這兩組數(shù)據(jù)均為 非 白噪聲，均有研究價(jià)值。可以進(jìn)行下一步研究。 本文之前在 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行白噪聲 檢驗(yàn) 的同時(shí) ， 也 得到了相應(yīng)的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，通過這兩張圖，可以用來確定模型。 城鎮(zhèn)居民人均可支配收入時(shí)序模型分析及建立 圖 6 城鎮(zhèn)居民人均可支配收入自相關(guān)圖 圖 7 城鎮(zhèn)居民人均可支配收入偏自相關(guān)圖 從圖六的城鎮(zhèn)居民人均可支配收入自相關(guān)圖中可以看出，在經(jīng)過一階延遲后，自相關(guān)系數(shù)都落在 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)。而且自相關(guān)系數(shù)總體呈現(xiàn)出向零衰減的趨勢，三階延遲過后，自相關(guān)系數(shù)大體在零附近波動(dòng)。由此可以知道：數(shù)據(jù)是平滑的，且短期相關(guān)；從偏自相關(guān)圖中可以看出：在經(jīng)過二階延遲后，偏自相關(guān)系數(shù)都落在 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)，而且偏自相關(guān)系數(shù)大體都在零附近波動(dòng)。綜合以上分析，能確定使用的模型有 AR(1)模型、 MA(2)模型和 ARMA(1,2)模型。 城鎮(zhèn)居民人均可支配收入時(shí)序模型檢驗(yàn)及優(yōu)化 在對(duì)以上三個(gè)模型進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)以及殘差 分析后發(fā)現(xiàn)只有 MA(2)模型合適，MA(2)的參