【正文】 集。局中人 1 可以選擇 mXS206。 使 式 ()為最大，即它可以保證自己能得到的期望支付不小于 11m a x m innmmnij i jYSXS ij a x y206。206。 ==邋 式 (210) 其中，121 1 1 1m a x m i n m i n m a xnnmmm n m ni j i j i j i jY S Y SX S X Si j i jv a x y a x y v撾撾 = = = ==?邋邋 混合策略下的均衡與鞍點存在性 定理 ：矩陣對策 ( )ijAa= 有鞍點的充要條件是 11m a x m innmmnij i jYSXS ij a x y206。206。 ==邋和11m in m a xn mmnij i jYS XS ij a x y206。 206。 ==邋 式 (211) 存在且相等。 證明：必要性。 ()中二式顯然存在。設(shè) 39。XAY 有鞍點，并設(shè) ( )*, *XY 是一個鞍點。這就是說，不等 式 * * * *X A Y X A Y X A Y＃ 式 (212) 對于一切 mXS206。 和一切 nYS206。 成立。由 式 ()左邊的不等式有 m a x * * *mttXS X A Y X A Y206。 163。 因而 南京郵電大學 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 m in m a x 39。 * *n mtYS XS X A Y X A Y206。 206。 163。 式 (213) 同理，有 式 ()右邊的不等式有 * * m in * m a x m in *mm nttY S Y SXSX A Y X A Y X A Y撾 206。＃ 式 (214) 由 式 ()和 式 ()得到 m in m a x m a x m inmmnnttY S Y SX S X SX A Y X A Y撾 撾 163。 式 (215) 但已知 反方向的不等式成立，因此， m in m a x m a x m inmmnnttY S Y SX S X SX A Y X A Y撾 撾 = 式 (216) 必要性得證。 充分性。設(shè) 式 ()中二式相等，并設(shè) m a x m in m in *mmnttY S Y SXS X A Y X A Y撾206。 = 式 (217) m in m a x m a x *m nmttYS X S X SX A Y X A Y206。 撾 = 式 (218) 則由最小、最大值的定義， m i n * 39。 * * 39。nYS X A Y X A Y206。 163。 式 (219) * * m a x *mttYSX A Y X A Y206。163。 式 (220) 由假設(shè)， 式 ()和 式 ()兩式的左邊相等，因為 式 ()， 式 (218)， 式 (219)， 式 (220)四式 中的各項都 相等 ，特別是 m a x * * *mttYS X A Y X A Y206。 = 因此，對于一切 mXS206。 有 * * *ttX A Y X A Y163。 式 (221) 同理，對于一切 nYS206。 有 * * *ttX A Y X A Y163。 式 (222) 式 ()和 式 ()表明， ( )*, *XY 是 tXAY 的一個鞍點。 南京郵電大學 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 第三章 連續(xù)對策 零和二人無限對策 矩陣對策最簡單的推廣，就是把每個局中人的策略集從一個有限集換成一個無限集，例如換成一個區(qū)間 [0,1]中的全體實數(shù)。 定義 ： 局中人 1 從區(qū)間 [0,1]中選擇一個數(shù) x ,局中人 2 完全獨立的 從區(qū)間 [0,1]中選擇一個數(shù) y 。 x 和 y 稱為局中人 1 和 2 的純策略。選定 x 和 y 后，就確定了對策的一個局，其結(jié)果用一個支付函數(shù) ( ),Pxy ，局中人 2得到支付 ( ),P x y ，或者 說局 2付給局中人 ( ),Pxy .這種對策稱為無限對策。由于局中人 1,2 得到的支付之和恒為 零，所以這種無限對策也是零和二人對策。 例如，局中人 1,2 互相獨立地從 [0,1]中分別選擇一個實數(shù) x 和 y ，支付函數(shù) ( ) ( )2,P x y x y= 這樣確定的對策就是定義在正方形 0 1, 0 1xy＃＃ 上的一個零和二人無限對策。 對于局中人 1 選定的一個固定的 [ ]0,1x206。 ，他至少可以得到支付 ( )01min ,y P x y＃ 式 (31) 局中人 1 希望支付越大越好，因此，他將選擇 ? ?0,1x? 使得上面這個最小值為最大，即 ( )0101max min ,yx P x y＃＃ 式 (3 .2) 不論局中人 2 采用什么策略，局中人 1 至少可以得到支付 式 ((3 . 2) . 同樣，對于局中人 2 選定的一個固定的 [ ]0,1y206。 ，他最多付出 ( )01max ,x P x y＃ 式 (3 3) 局中人 2 希望支付越小越好，因此，他講選擇 [ ]0,1y206。 使 得上面 這個最大值為最小，即 ( )0101min max ,y x P x y＃ ＃ 式 (34) 不論局中人 1 采取什么策略，局中人 2 最多付出 式 (),或者說，局中人 1 得到的支付不會超過 式 ()。 同矩陣對策的情況一樣，下面的不等式必定成立： 南京郵電大學 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 ( ) ( )0 1 0 10 1 0 1m a x m in , m in m a x ,yyxxP x y P x y＃＃＃＃163。 式 () 如果 ( ) ( )0 1 0 10 1 0 1m a x m in , m in m a x ,yyxxP x y P x y＃＃＃＃= 式 (36) 則存在點 ( )*, *xy 是支付函數(shù) ( ),Pxy 或?qū)Σ叩囊粋€鞍點， ( ),Pxy 在鞍點處的值 ( )*, *v P x y= 式 (37) 稱為對策的值。有 ( ) ( ) ( )0 1 0 10 1 0 1m a x m in , * , * m in m a x ,yyxxP x y P x y v P x y＃＃＃＃= = = 式 (38) ( ) ( ) ( )0 1 0 10 1 0 1m a x m in , * , * m in m a x ,P x y P x y P x y== 式 (39) 連續(xù)策略 局中人 1 的一個混合策略 是定義在 [0,1]上的一個分布函數(shù) ()Fx：對于每一個 [ ]0,1x206。 ，是用某種隨機的方法選出的數(shù)小于或等于 x 的概率，也就是隨機變量的值小于或等于 x 的概率。 定理 ：設(shè)無限對策的支付函數(shù) ( , )Pxy 是定義在 0 1, 0 1xy＃＃ 上的連續(xù)函數(shù)，則 ( ) ( ) ( )111 00m a x m in ,GFv P x y d F x d G y= 蝌 和 ( ) ( ) ( )112 00m in m a x ,G Fv P x y d F x d G y= 蝌 存在且相等。 定義 ：稱支付函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的無限對策為 連續(xù)對策。 南京郵電大學 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 第四章 非合作 n 人對策 引言 定義 ： 非合作博弈 是指一種參與者不可能達成具有約束力的協(xié)議的 博弈 類型，這是一種具有互不相容味道的情形。非合作博弈研究人們在利益相互影響的局勢中如何選決策使自己的收益最大，即策略選擇問題。 納什的非合作博弈論是給經(jīng)濟分析的一個抽象的數(shù)學框架 ,它不是經(jīng)濟分析本身。要應(yīng)用非合作博弈論的方法，經(jīng)濟學家有必要概括和分析市場和其他社會制度的博弈模型。非合作博弈論抽象的一般性意味著能夠應(yīng)用各種類型的模型研究廣泛的應(yīng)用局勢。 在納什之前，價格理論是經(jīng)濟學所能得到的一個一般性分析方法。價格理論分析的力量 使經(jīng)濟學家成為實際政策制定方面非常有價值的指導者，其他任何社會科學領(lǐng)域內(nèi)的學者都不能望其項背。 納什的非合作博弈論概括應(yīng)該被看成經(jīng)濟學和社會科學在長期演化中的一個偉大轉(zhuǎn)折點。在亞當 ?斯密的經(jīng)典時代，通過在商品配置的向量空間應(yīng)用價格和數(shù)量的線性代數(shù)，經(jīng)濟理論首先取得了更高形式分析水平的精確性，這種數(shù)學方法反過來鼓勵經(jīng)濟學家把研究領(lǐng)域局限在物質(zhì)商品。 前兩章討論的都是由兩個局中人參加的對策，并且都是零和對策。零和的意義就是說，雙方的利害關(guān)系是對抗性的 ： 有利于一個局中人，必然不利于另一個局中人。每個局中人尋求一個對自己一方最有利的策略，這個策略必然也是對另一方損害最大的策略。 我們現(xiàn)在要轉(zhuǎn)而討論人對策，就是 n 有 n 個局中人參加的對策， n 人對策 ( 2n179。 )又可以分為非合作對策和合作對策。所謂非合作對策，顧名思義，就是局中人之間互不合作，對于策略的選擇不容許在事先有任何交換、傳遞信息的行為，不許可訂立任何強制性的約定。每個局中人的目標也是希望自己得到盡可能多的支付，尋求一個對自己盡可能最有利的策略。在一個非合作 n 人對策中，有利于一個局中人的，并不一定不利于其他局中人。即使是一個非合作二人對策，兩個局中人的利害關(guān)系也可能不是絕對對抗性的 .當然，這時對策不再是零和的，因為零和必然是對抗性的。 多維博弈及特征 多維博弈 當局中人在多個方面 或多個領(lǐng)域內(nèi)同時進行博弈，且博弈的各個方面或領(lǐng)域之間可能南京郵電大學 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 存在著一定的相互聯(lián)系和影響。如兩個國家 (或多個國家 )同時在經(jīng)濟 、科技和軍事領(lǐng)域內(nèi)競爭和對抗；兩個企業(yè) (或多個企業(yè) )同時進行多種產(chǎn)品的價格 (或產(chǎn)量 )博弈，且產(chǎn)品之間存在著一定的相互的影響 (或替代性 )；兩個企業(yè) (或多個企業(yè) )關(guān)于某一種產(chǎn)品同時在廣告中投入、服務(wù)投入和價格方面進行博弈；等等。 定義 ： 在現(xiàn)實社會中，這類在多個方面或多個領(lǐng)域內(nèi)同時進行 的 博弈 稱 為多維博弈。 特征 假設(shè)有 n 個 局中人在 m 個領(lǐng)域內(nèi)（或在 m 個方面）同時進行多維博弈，那么，其具體的特征可以描述為： (1) 在 博 弈 的 每 個 階 段 ， 局 中 人 i 選 擇 一 個 m ( )2m179。 維行動向量( )12, ,...,i i ims s s ( )1,2,...,in= ，下標 i 表示第 i 個局中人， m 表示博弈領(lǐng)域數(shù)，也是參與人選擇的行動向量的位數(shù)； n 表示局中人數(shù) ； ijs 和 iks ( )jk185。 分別是參與人 i 和 j 領(lǐng)域內(nèi)和 k 領(lǐng)域內(nèi)的行動，且行動 ijs 和 iks 可能存在著一定的相互聯(lián)系或影響，即在一個領(lǐng)域內(nèi)所選擇的行動可能影響到其他領(lǐng)域內(nèi)行動的選擇。 (2) 在