【正文】 為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點F的坐標(biāo)為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標(biāo)，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點B的坐標(biāo)可得出點B′的坐標(biāo)，根據(jù)點A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點P的坐標(biāo)；（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可得出（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2．∵該拋物線經(jīng)過點（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x2）2=x2x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，∴點A的坐標(biāo)為（1，），點B的坐標(biāo)為（4，1）．作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點B（4，1），直線l為y=1，∴點B′的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=x+，當(dāng)y=1時，有x+=1，解得：x=，∴點P的坐標(biāo)為（，1）．（3）∵點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，∴（mx0）2+（ny0）2=（n+1）2，∴m22x0m+x022y0n+y02=2n+1．∵M(jìn)（m，n）為拋物線上一動點，∴n=m2m+1，∴m22x0m+x022y0（m2m+1）+y02=2（m2m+1）+1，整理得：（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點F的坐標(biāo)為（2，1）．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據(jù)點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于x0、y0的方程組．10．如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為，對稱軸是直線，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，且與直線關(guān)于的對稱直線交于點．（1）點的坐標(biāo)是 ______；（2）直線與直線交于點，是線段上一點（不與點、重合），點的縱坐標(biāo)為．過點作直線與線段、分別交于點，使得與相似．①當(dāng)時，求的長；②若對于每一個確定的的值，有且只有一個與相似，請直接寫出的取值范圍 ______．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）直接用頂點坐標(biāo)公式求即可；（2）由對稱軸可知點C（2，），A（，0），點A關(guān)于對稱軸對稱的點（，0），借助AD的直線解析式求得B（5，3）；①當(dāng)n=時，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，當(dāng)PQ∥AB時，△DPQ∽△DAB，DP=9；當(dāng)PQ與AB不平行時，DP=9；②當(dāng)PQ∥AB，DB=DP時，DB=3，DN=，所以N（2，），則有且只有一個△DPQ與△DAB相似時，＜n＜.【詳解】（1）頂點為；故答案為；（2）對稱軸，由已知可求，點關(guān)于對稱點為，則關(guān)于對稱的直線為，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，；當(dāng)與不平行時，，；綜上所述；②當(dāng)，時，，，∴有且只有一個與相似時，；故答案為；【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形的相似；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖所示拋物線過點，點，且（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點的坐標(biāo).【答案】（1），對稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）【解析】【分析】（1）OB=OC，則點B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x3）=a（x22x3）=ax22ax3a，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點共線時，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，即可求解；（3）S△PCB：S△PCA=EB（yCyP）：AE（yCyP）=BE：AE，即可求解．【詳解】（1）∵OB=OC，∴點B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x3）=a（x22x3）=ax22ax3a，故3a=3，解得：a=1，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+2x+3…①；對稱軸為：直線（2）ACDE的周長=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數(shù)，故CD+AE最小時，周長最小，取點C關(guān)于函數(shù)對稱點C（2，3），則CD=C′D，取點A′（1，1），則A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點共線時，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA=EB（yCyP）：AE（yCyP）=BE：AE，則BE：AE，=3：5或5：3，則AE=或，即：點E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），將點E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3，解得：k=6或2，故直線CP的表達(dá)式為：y=2x+3或y=6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點P的坐標(biāo)為（4，5）或（8，45）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計算、點的對稱性等，其中（1），通過確定點A′點來求最小值，是本題的難點．12．如圖，已知拋物線的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）。（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標(biāo)?！敬鸢浮浚?）（2）（3）P的坐標(biāo)為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）【解析】【分析】（1）由B（5，0），C（0，5），應(yīng)用待定系數(shù)法即可求直線BC與拋物線的解析式。（2）構(gòu)造MN關(guān)于點M橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解。（3）根據(jù)S1=6S2求得BC與PQ的距離h，從而求得PQ由BC平移的距離，根據(jù)平移的性質(zhì)求得PQ的解析式，與拋物線聯(lián)立，即可求得點P的坐標(biāo)?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)直線BC的解析式為，將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。∴直線BC的解析式為。將B（5，0），C（0，5）代入，得，得?！鄴佄锞€的解析式。（2）∵點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，∴設(shè)M。∵點N是直線BC上與點M橫坐標(biāo)相同的點，∴N?！?