蘇教版必修4高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)本章知識整合-閱讀頁
2024-12-25 03:23本頁面
【正文】 in＝ 1－ 4a； ③ 若 a2－ 1， 則當(dāng) cos x＝－ 1時 ， f(x)min＝ 1. 因此 g(a)＝?????1， a－ 2，－ a22－ 2a－ 1， － 2≤ a≤2 ，1－ 4a， a2. (2)∵ g(a)＝ 12， ∴ 若 a2， 則有 1－ 4a＝ 12?a＝ 18， 矛盾；若－ 2≤ a≤ 2， 則有－ a22－ 2a－ 1＝12?a＝－ 1或 a＝－ 3(舍 )． ∴ 當(dāng) g(a)＝ 12時 ， a＝－ 1， 此時 f(x)＝ 2??? ???cos x＋ 12 ＋ 12， 故當(dāng) cos x＝ 1 時 ， f(x)max＝5. 三、函數(shù)與方程的思想 是否存在 α ∈ ??? ???－ π2 ， π2 ， β ∈ (0，π )， 使等式 sin(3π － α )＝ 2cos??? ???π 2－ β ，3cos(－ α )＝－ 2cos(π ＋ β )同時成立？若存在 ， 求出 α 、 β 的值；若不存在 ， 則請說明理由． 分析：本題屬探索性問題 ，應(yīng)將 α 、 β 滿足的關(guān)系當(dāng)作條件 ，從而去求 α 、 β ；因條件式較繁瑣 ，故先化簡，再求出 α 與 β 的一個三角函數(shù)值和其范圍 ，進(jìn)而求角． 解析： 由條件得???sin α ＝ 2sin β ， ①3cos α ＝ 2cos β . ② ① 2＋ ② 2， 得 sin2α ＋ 3cos2α ＝ 2， ∴ sin2α ＝ 12. 又 ∵ α ∈ ??? ???－ π2 ， π2 ， ∴ α ＝ π4 或 α ＝－ π4 . 將 α ＝ π4 代入 ② ， 得 cos β ＝ 32 ， 又 β ∈(0 ，π )， ∴ β ＝ π6 ， 代入 ① 可知符合． 將 α ＝－ π4 代入 ② ， 得 cos β ＝ 32 ， 又 β ∈(0 ，π )， ∴ β ＝ π6 ， 代入 ① 可知不符合． 綜上可知 ， 存在 α ＝ π4 ， β ＝ π6 滿足條件． ◎ 規(guī)律總結(jié)：函數(shù)、方程、不等式三者密不可分．在三角中 ， 已知條件等式 ， 求一個三角函數(shù)值的問題 ， 常采用方程的思想 ， 把某一三角函數(shù)看做未知數(shù) ， 解三角方程．在求角的問題時要注意兩點：一是求一個三角函數(shù)值 ， 二是求該角的范圍． 變式訓(xùn)練 9． 設(shè)有函數(shù) f(x)＝ asin??? ???kx＋ π3 和 g(x)＝ btan??? ???kx－ π3 (a＞ 0， b＞ 0， k＞ 0)．若它們的最小周期之和為 32π， 且 f??? ???π2 ＝ g??? ???π2 ， f??? ???π 4 ＝－ 3g??? ???π 4 ＋ ． 分析：欲求兩個函數(shù)解析式 ， 只需利用兩個函數(shù)的周期和兩個函數(shù)對應(yīng)兩個值的關(guān)系 ，用待定系數(shù)法求解． 解析： 由題意 2πk ＋ πk ＝ 3π2 ， 得 k＝ 2. 由?????asin??? ???2 π 2＋ π 3 ＝ btan??? ???2 π2 － π3 ，asin??? ???2 π4＋ π 3 ＝－ 3btan??? ???2 π 4－ π3 ＋ 1， 解得?????a＝ 2b，a＝－ 2b＋ 2， 得 a＝ 1， b＝12. 因此 f(x)＝ sin??? ???2x＋ π3 ， g(x)＝ 12tan??? ???2x－ π 3 . 四、轉(zhuǎn)化與化歸的思想 求函數(shù) f(x)＝ sin xcos x1＋ sin x＋ cos x的最大值和最小值． 解析： 設(shè) sin x＋ cos x＝ t， 則 sin xcos x＝ t2－ 12 ， t∈ [－ 2， 2]且 t≠ － 1， 則 f(x)＝ t2－ 12（ 1＋ t） ＝（ t＋ 1）（ t－ 1）2（ 1＋ t） ＝t－ 12 ， t∈ [－ 2， 2]． 解得 x＝ 2kπ ＋ π4 (k∈Z) 時 ， f(x)的最大值為 2－ 12 . 當(dāng) x＝ 2kπ － 34π (k∈Z) 時 ， f(x)的最小值為－ 2＋ 12 . ◎ 規(guī)律總結(jié)：在三角函數(shù)式中 ， 若同時含有 sin α 1
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