【正文】 x為目標(biāo)函數(shù)， nDR? 為約束集或可行域。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為線(xiàn)性函數(shù)時(shí)，問(wèn)題 和 稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃。 最優(yōu)化問(wèn)題 的 解法 線(xiàn)性規(guī)劃是最優(yōu)化方法中理論完整、方法成熟、應(yīng)用最廣泛的一個(gè)分支。 對(duì)于非線(xiàn)性規(guī)劃的求解還沒(méi)有一種通用的方法，在面對(duì)不同的問(wèn)題求解時(shí)，用到的方法可能也 不同。 各種 求解方法中一維搜索法的作用范圍很窄缺點(diǎn)也明顯，二分法只具有線(xiàn)線(xiàn)性收斂速度， Newton 法、 法和 Fibonacci 法只適合于單峰函數(shù)，也即只有局部收斂性；其它方法在求解時(shí)又大都要計(jì)算函數(shù) 的梯度，在維數(shù)很高的情況下是相當(dāng)麻煩的。 運(yùn)用 PSO 算法求解最優(yōu)化 函數(shù) ，只需把評(píng)價(jià)函數(shù)設(shè)置為 要進(jìn)行優(yōu)化的函數(shù)即可 。由 小節(jié)部分可以看出，最大速度 maxv 決定當(dāng)前 位置與最好位置之間的區(qū)域精度， maxv 的取值對(duì)求解結(jié)果會(huì)有很大的影響。 簡(jiǎn)單問(wèn)題 在進(jìn)行求解具體優(yōu)化函數(shù)前， 我們不妨對(duì)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的算法程序進(jìn)行測(cè)試一下看其準(zhǔn)確性。 取 函數(shù) ()fx為 21( ) ( 2 0 0 )niif x x???? (4. 4) 則測(cè)試最優(yōu)化問(wèn)題表述 為： 2 ()minxRfx? (4. 5) 函數(shù) ()fx為球面模型，它是單峰 函數(shù)，用來(lái)區(qū)分局部?jī)?yōu)化器的優(yōu)劣。測(cè)試數(shù)據(jù)如表 。在文獻(xiàn) [19]中，推薦第二組， 故在下面的實(shí)驗(yàn)中我們 取權(quán)重系數(shù)為重慶大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) （論文） 4 基于 PSO 算法的函數(shù)優(yōu)化 18 ?? ， 1 ? ， 2 ? 。 我們把式 作 為程序 中 的評(píng)價(jià)函數(shù) ， 用 PSO程序 求其極值點(diǎn) ，在初始化時(shí)用一大點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)（ 100，100）進(jìn)行標(biāo)注，如圖 所示，其中解空間為整個(gè)可 視化平面。 圖 隨機(jī)選取坐標(biāo)點(diǎn)實(shí)例化微粒群 重慶大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) （論文） 4 基于 PSO 算法的函數(shù)優(yōu)化 19 執(zhí)行結(jié)果如圖 所示。 各個(gè)粒子最后都聚集到了我們開(kāi)始標(biāo)志的坐標(biāo)點(diǎn)（ 200， 200） ，即最優(yōu)點(diǎn) 。vv? ? ? 復(fù)雜 函數(shù)優(yōu)化 由一小節(jié)我們可以看出，算法的正確性。 1． Rastrigrin 函數(shù) 21( ) ( 1 0 c o s ( 2 ) 1 0 )niiif x x x??? ? ?? (4. 7) 為了方便圖形化顯示，我們不妨把該函數(shù)進(jìn)行平移，結(jié)果如式 所示。對(duì)比圖 和圖 的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，最小值相差 ) ? ? ? ?，位置 Y 方向相差 ，均在誤差允許范圍內(nèi)，故我們認(rèn)為在二維情況下用 PSO 算法解函數(shù) Rastrigrin 是可取的。 重慶大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) （論文） 4 基于 PSO 算法的函數(shù)優(yōu)化 21 圖 Rastrigrin 函數(shù)測(cè)試二 三維（更高維）情況在 MFC 中不好顯示，故我們用程序把三維情況運(yùn)行產(chǎn)生的數(shù)據(jù)保存于 TXT 文檔中，并用 MATLAB 對(duì)其圖形 化，其結(jié)果如圖 所示。其最小值m in ( ) 19 .6 68 01 8fx ? ， 最小值 位置 (316 201 201)， ， 。 2211( ) ( 1 0 0 ( 2 0 0 ) ( 1 2 0 0 ) )ni i iif x x x x??? ? ? ? ? ?? (4. 10) 二維情況下求得結(jié)果如圖 所示。 重慶大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) （論文） 4 基于 PSO 算法的函數(shù)優(yōu)化 23 020040060080002004006008000200400600800xR o s e n b r o c k （香蕉）函數(shù)三維情況粒子位置圖yz 圖 Rosenbrock 函數(shù)三維情況 其中每條連續(xù)的線(xiàn)表示一個(gè)粒子在三維空間中的一條運(yùn)動(dòng)軌跡。 2 2 22 2 2( s in ( 2 0 0 ) ( 2 0 0 ) ) 0 . 5( ) 0 . 5 ( 1 . 0 0 . 0 0 1 ( ( 2 0 0 ) ( 2 0 0 ) ) )xyfx xy? ? ? ??? ? ? ? ? (4. 12) 用程序優(yōu)化的 情況如圖 所示。如果所討論的函數(shù)受到嚴(yán)重的噪音干擾而呈現(xiàn)非常不規(guī)則的形狀，同時(shí) 所求的不一定是精確的最優(yōu)值，則 PSO 算法能得到很好的應(yīng)用。然而，在每一代， PSO 算法中的每個(gè)微粒只朝一些根據(jù)群體的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為是好的方向飛行，而不像在演化規(guī)劃中可通過(guò)一個(gè)隨機(jī)函數(shù)變異到任何方向。從理論上講，演化規(guī)劃具有更多的機(jī)會(huì)在優(yōu)化 點(diǎn)附近開(kāi)發(fā)，而 PSO 則有更多的機(jī)會(huì)更快地飛到有更好解的區(qū)域，如果“意識(shí)”能提供有用的信息。 重慶大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) （論文） 5 結(jié)論 25 5 結(jié) 論 PS0 算法是一種相當(dāng)簡(jiǎn)單的算法，只需很少的代碼和參數(shù)，但在各種問(wèn)題的求解與應(yīng)用中卻展現(xiàn)了它的特點(diǎn)和魅力。 本文在對(duì)標(biāo)準(zhǔn)微粒群算法進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上用 C++語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)了其算法。 重慶大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) （論文） 致謝 26 致 謝 在論文的書(shū)寫(xiě)過(guò)程中胡小兵老師給了我很大的幫助， 感謝胡小兵老師的悉心指導(dǎo) 。在此謹(jǐn)向?qū)熤乱宰钪孕牡母兄x。 重慶大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì) （論文） 參考文獻(xiàn) 27 參 考 文 獻(xiàn) [1] KENNEDY J, EBERHART, R. Particle swarm optimization. Proc IEEE In: Conf on Neural Networks. 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