專題06三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)-20xx年高考數(shù)學(xué)理備考易錯(cuò)點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-閱讀頁
2024-12-16 00:22本頁面
【正文】 in??? ???π2 － x sinx－ 3cos2x ＝ cosxsinx－ 32 (1＋ cos2x)＝ 12sin2x－ 32 cos2x－ 32 ＝ sin??? ???2x－ π3 － 32 ， 因此 f(x)的最小正周期為 π ，最大值為 2－ 32 . 【變式探究】 設(shè)函數(shù) f(x)＝ 2cos2x＋ sin2x＋ a(a∈ R)． (1)求函數(shù) f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當(dāng) x∈[0 ， π6 ]時(shí)， f(x)的最大值為 2，求 a的值，并求出 y＝ f(x)(x∈ R)的對(duì)稱軸方程． 解 (1)f(x)＝ 2cos2x＋ sin2x＋ a＝ 1＋ cos2x＋ sin2x＋ a＝ 2sin(2x＋ π4 )＋ 1＋ a， 則 f(x)的最小正周期 T＝ 2π2 ＝ π ， 且當(dāng) 2kπ － π2 ≤2 x＋ π4 ≤2 kπ ＋ π2 (k∈ Z)， 即 kπ － 3π8 ≤ x≤ kπ ＋ π8 (k∈ Z)時(shí)， f(x)單調(diào)遞增． 所以 [kπ － 3π8 ， kπ ＋ π8 ](k∈ Z)為 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． (2)當(dāng) x∈[0 ， π6 ]時(shí) ?π4 ≤2 x＋ π4 ≤ 7π12， 當(dāng) 2x＋ π4 ＝ π2 ，即 x＝ π8 時(shí)， sin(2x＋ π4 )＝ 1. 所以 f(x)max＝ 2＋ 1＋ a＝ 2?a＝ 1－ 2. 由 2x＋ π4 ＝ kπ ＋ π2 (k∈ Z)， 得 x＝ kπ2 ＋ π8 (k∈ Z)， 故 y＝ f(x)的對(duì)稱軸方程為 x＝ kπ2 ＋ π8 ， k∈ Z. 【名師點(diǎn)睛】 函數(shù) y＝ Asin(ωx ＋ φ )的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成 y＝ Asin(ωx ＋ φ )＋ B 的形式； 第二步：把 “ ωx ＋ φ ” 視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求 y＝ Asin(ωx ＋ φ )＋ B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問題． 【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】 1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y＝ sinx 的單調(diào)遞增區(qū)間是 [2kπ － π2 ， 2kπ ＋ π2 ](k∈ Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是 [2kπ ＋ π2 ， 2kπ＋ 3π2 ](k∈ Z)； y＝ cosx 的單調(diào)遞增區(qū)間是 [2kπ － π ， 2kπ]( k∈ Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是 [2kπ ， 2kπ ＋π]( k∈ Z)； y＝ tanx的遞增區(qū)間是 (kπ － π2 ， kπ ＋ π2 )(k∈ Z)． 2． y＝ Asin(ωx ＋ φ )，當(dāng) φ ＝ kπ( k∈ Z)時(shí)為奇函數(shù)； 當(dāng) φ ＝ kπ ＋ π2 (k∈ Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由 ωx ＋ φ ＝ kπ ＋ π2 (k∈ Z)求得． y＝ Acos(ωx ＋ φ )，當(dāng) φ ＝ kπ ＋ π2 (k∈ Z)時(shí)為奇函數(shù)； 當(dāng) φ ＝ kπ( k∈ Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由 ωx ＋ φ ＝ kπ( k∈ Z)求得． y＝ Atan(ωx ＋ φ )，當(dāng) φ ＝ kπ( k∈ Z)時(shí)為奇函數(shù)．
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