【正文】 運(yùn)算結(jié)果 加數(shù) 無(wú)用 減法 被減數(shù) 運(yùn)算結(jié)果 減數(shù) 無(wú)用 乘法 部分積乘積高位 被乘數(shù) 乘數(shù)，乘積低位 除法 被除數(shù) 余數(shù) 除數(shù) 商 計(jì)算機(jī)組成原理 52 圖 33中的數(shù)據(jù)傳送門(mén)僅畫(huà)出了一位，實(shí)際上應(yīng)該有 n位 (設(shè) n為字長(zhǎng) )。 C為移位寄存器，乘法運(yùn)算時(shí)左移一位，乘數(shù)左移一位后，其空出來(lái)的高位接受 ALU最低位，到乘法結(jié)束時(shí)， C寄存器內(nèi)保存了乘積的低 n位。計(jì)數(shù)器是用來(lái)控制乘／除法運(yùn)算是否結(jié)束，在運(yùn)算開(kāi)始時(shí)，置 n值，每進(jìn)行一次加／減和移位操作后計(jì)數(shù)器一 1，當(dāng)減到 0時(shí)，表示乘/除法運(yùn)算結(jié)束。例如，當(dāng)執(zhí)行加法運(yùn)算時(shí)，應(yīng)送來(lái)A→ALU、 B→ALU、 ALU→S、 S→A信號(hào) (高電位 )，另外還應(yīng)向 ALU發(fā)出加法運(yùn)算命令 (圖中未畫(huà)出 ) 計(jì)算機(jī)組成原理 53 浮點(diǎn)數(shù)描述 浮點(diǎn)數(shù)的表示形式（以 2為底） N＝ M 用浮點(diǎn)數(shù)表示一個(gè)數(shù)值數(shù)據(jù)時(shí)，實(shí)際上是用兩個(gè)定點(diǎn)數(shù)來(lái)表示的。一般浮點(diǎn)數(shù)的階碼都是用一種稱(chēng)之為“移碼”的編碼方式表示的。為簡(jiǎn)化比較操作，使操作過(guò)程不涉及階的符號(hào)，我們可以對(duì)每個(gè)階都加上一個(gè)正的常數(shù)（稱(chēng)為偏置常數(shù)），使所有階都轉(zhuǎn)化為正整數(shù)，這就是階碼的移碼表示。因而可將移碼看成無(wú)符號(hào)數(shù)。即： [2n1]移 =00…0 （ 3）零的移碼表示是唯一的。 計(jì)算機(jī)組成原理 55 2. 浮點(diǎn)數(shù)的“規(guī)格化” 浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)的位數(shù)表示數(shù)的有效數(shù)位，有效數(shù)位越多，數(shù)據(jù)的精度越高。 從理論上來(lái)講，規(guī)格化數(shù)的標(biāo)志是真值的尾數(shù)部分中最高位具有非零數(shù)字。 …b 2E（這里 b是 0或 1）。即：尾數(shù) M≤1/R 或 M1/R。這種規(guī)定簡(jiǎn)化了補(bǔ)碼表示時(shí)規(guī)格化數(shù)的判斷過(guò)程，但使得（ 1/2）被排除在規(guī)格化數(shù)的范圍之外。因?yàn)檠a(bǔ)碼可以表示最小負(fù)數(shù) 1，所以遇到這種情況時(shí)，可將尾數(shù)（ 1/2）擴(kuò)大到原來(lái)的 2倍，即將尾數(shù)變?yōu)?1，而使階碼減 1。若采用變形補(bǔ)碼表示尾數(shù)，則當(dāng)結(jié)果的尾數(shù)出現(xiàn) ...x或 ...x的形式時(shí)，需將尾數(shù)左移，階減 1，直到尾數(shù)為規(guī)格化數(shù)形式為止。 如下表所示 32位浮點(diǎn)數(shù)格式，任意一個(gè)數(shù)表示為浮點(diǎn)數(shù)時(shí)，必須確定數(shù)的符號(hào) S、尾數(shù) M和階碼 E，要規(guī)定它們各自所用的位數(shù)、編碼方式和所在的位置。每種計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)數(shù)表示格式各不相同。如圖 34所示。這些區(qū)間稱(chēng)為溢出區(qū)，接近 0的區(qū)間為下溢區(qū)，向無(wú)窮大方向延伸的區(qū)間為上溢區(qū)。也就是說(shuō)浮點(diǎn)數(shù)在數(shù)軸上的分布變稀疏了。即：表示的數(shù)范圍越大，則精度越差（數(shù)變稀疏）。所以，大多數(shù)計(jì)算機(jī)都至少提供單精度和雙精度兩種浮點(diǎn)數(shù)格式。所以，對(duì)一種固定格式的浮點(diǎn)數(shù)而言，更大的基能給出更大的表示范圍，但是以犧牲精度為代價(jià)的。被廣泛采用的浮點(diǎn)數(shù)編碼標(biāo)準(zhǔn)是 IEEE754標(biāo)準(zhǔn)。另外，還提供了單、雙精度兩種格式的擴(kuò)展形式。雙精度格式的52位尾數(shù)實(shí)際上表示了 53位有效數(shù)字。 Y運(yùn)算，其中： X＝ Mx2EY。 執(zhí)行以下五步完成運(yùn)算。階碼的比較是通過(guò)兩階碼的減法來(lái)實(shí)現(xiàn)，統(tǒng)一取大的階碼，小階碼的尾數(shù)按兩階碼的差值決定右移的數(shù)量。 若 ?E0， 則 Eb?Ex， Ey?Ex， My?My 2EyEx。小階碼的尾數(shù)右移時(shí)應(yīng)注意： （ 1）原碼形式的尾數(shù)右移時(shí)，符號(hào)位不參加移位，數(shù)值位右移，空出位補(bǔ) 0。 （ 2）尾數(shù)的右移，使得尾數(shù)中原來(lái) |?E |位有效位移出。這對(duì)運(yùn)算結(jié)果的精確度有一定影響。 計(jì)算機(jī)組成原理 62 第 2步：尾數(shù)加減 完成上一步操作、將兩數(shù)的階碼調(diào)整一致后，就可以實(shí)現(xiàn)尾數(shù)的加、減運(yùn)算 : Mb?Mx ?My 至此，已完成浮點(diǎn)數(shù)加、減法運(yùn)算的基本操作。因此，浮點(diǎn)數(shù)的加、減法運(yùn)算進(jìn)入結(jié)果的后處理階段。其中，高位的 00為雙符號(hào)位，其后的 1為最高數(shù)值位的值，再后面的數(shù)值位的值可以是任意值，這里用 x表示。其中，高位的 11為雙符號(hào)位，其后的 0為最高數(shù)值位的值，再后面的數(shù)值位的值可以是任意值，這里用 x表示。表現(xiàn)為尾數(shù)中符號(hào)位的異常。負(fù)溢出時(shí)，符號(hào)位為10。這種規(guī)格化就是右規(guī)。 （ 2）尾數(shù)的絕對(duì)值小于二進(jìn)制的 。 此時(shí)，規(guī)格化采取的方法是：符號(hào)位不動(dòng)，數(shù)值位逐次左移，階碼逐次減 1，直到滿(mǎn)足規(guī)格化形式的尾數(shù)，即最高數(shù)值位與符號(hào)位不同值為止?？梢员硎緸椋? Mb?Mb*2k， Eb?Ebk。常用的舍入方法有多種，每種方法都有各自的優(yōu)點(diǎn)，要根據(jù)實(shí)際條件進(jìn)行比較和選擇。警戒位中的最高位為 1時(shí)，就在尾數(shù)末尾加 1，警戒位中的最高位為 0時(shí)，舍去所有的警戒位。 （ 2）恒置 1法 這是一種簡(jiǎn)單易行的舍入方法，又稱(chēng)馮諾依曼舍入法。恒置 1法產(chǎn)生的最大誤差為 ?2n， n為有效尾數(shù)位數(shù)。尾數(shù)的結(jié)果就取其有效的 n位的值。 計(jì)算機(jī)組成原理 65 第 5步：檢查階碼是否溢出 階碼溢出表示浮點(diǎn)數(shù)溢出。若階碼下溢，則置運(yùn)算結(jié)果為機(jī)器零，若上溢，則置溢出標(biāo)志。 圖 37 規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算流程 (見(jiàn)下頁(yè)） 計(jì)算機(jī)組成原理 66 計(jì)算機(jī)組成原理 67 【 例 320】 兩浮點(diǎn)數(shù)相加，求 X+Y。 [MX]補(bǔ) =00 00 110 110 11 下劃線(xiàn)上的數(shù)是右移出去而保留的附加位。 計(jì)算機(jī)組成原理 68 （ 4）舍入 附加位最高位為 1，在所得結(jié)果的最低位 +1，得到新結(jié)果： [M]補(bǔ)=1100010110， M=－ 。(－ 0． 11101010) 思考： 結(jié)合實(shí)例，請(qǐng)總結(jié)浮點(diǎn)運(yùn)算的階碼采用移碼的優(yōu)點(diǎn)有那些？ 計(jì)算機(jī)組成原理 69 浮點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算 兩浮點(diǎn)數(shù)相乘，其乘積的階碼為相乘兩數(shù)階碼之和，其尾數(shù)應(yīng)為相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積。參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)都為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。規(guī)格化時(shí)要修改階碼。在計(jì)算機(jī)中，階碼通常用補(bǔ)碼或移碼形式表示。這里討論移碼的運(yùn)算規(guī)則和判定溢出的方法。 根據(jù)補(bǔ)碼定義： [Y]補(bǔ) =2n+1+Y mod 2n+1 對(duì)同一個(gè)數(shù)值，移碼和補(bǔ)碼的數(shù)值位完全相同，而符號(hào)位正好相反。 計(jì)算機(jī)組成原理 71 2．浮點(diǎn)乘法運(yùn)算步驟 下面舉例說(shuō)明浮點(diǎn)乘法的運(yùn)算步驟。運(yùn)算結(jié)果仍取 8位尾數(shù)。運(yùn)算過(guò)程中階碼取雙符號(hào)位。乘積的階碼為兩數(shù)階碼之和。用定點(diǎn)數(shù)相乘的辦法，此處僅列出結(jié)果，不進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算。本例尾數(shù)已規(guī)格化，不需要再處理。 （ 4）舍入。階碼未溢出，故結(jié)果為正確。（－ ） 說(shuō)明：浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算步驟與乘法運(yùn)算類(lèi)似，也分求商的階碼、尾數(shù)相除、規(guī)格化、舍入判溢出 5個(gè)步驟，不再詳細(xì)討論。但階碼部分僅執(zhí)行加減法運(yùn)算。為加速移位過(guò)程，有的機(jī)器設(shè)置了可移動(dòng)多位的電路。為減少和避免這類(lèi)錯(cuò)誤，一方面是精心設(shè)計(jì)各種電路，提高計(jì)算機(jī)硬件的可靠性；另一方面是在數(shù)據(jù)編碼上找出路，即采用某種編碼法，通過(guò)少量的附加電路，使之能發(fā)現(xiàn)某些錯(cuò)誤，甚至能確定出錯(cuò)位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自動(dòng)改錯(cuò)的能力。它的實(shí)現(xiàn)原理，是加進(jìn)一些冗余碼，使合法數(shù)據(jù)編碼出現(xiàn)某些錯(cuò)誤時(shí)，就成為非法編碼。 碼距是根據(jù)任意兩個(gè)合法碼之間至少有幾個(gè)二進(jìn)制位不相同而確定的，僅有一位不同，稱(chēng)其碼距為 1。奇偶校驗(yàn)法的基本思想是通過(guò)在原數(shù)據(jù)信息中增加一位奇校驗(yàn)位（或偶校驗(yàn)位），然后將原數(shù)據(jù)和得到的奇（偶）校驗(yàn)位一起進(jìn)行存取或傳送，對(duì)存取后或在傳送的目標(biāo)部件得到的相應(yīng)數(shù)據(jù)和奇（偶）校驗(yàn)位，再進(jìn)行一次編碼，求出新的奇校驗(yàn)位（或偶校驗(yàn)位），最后根據(jù)得到的這個(gè)新的校驗(yàn)位的值，確定是否發(fā)生了錯(cuò)誤。在終部件接收到的數(shù)據(jù)為 B39。bn239。b039。 計(jì)算機(jī)組成原理 75 第 1步：在源部件求出奇（偶）校驗(yàn)位 P。 即：若 B有奇數(shù)個(gè) 1，則 P取 0，否則， P取 1。 例如，若傳送的字符碼是： 1000001，則增加奇校驗(yàn)位后的編碼為：11000001，而加上偶校驗(yàn)位后的編碼為： 01000001。 若采用奇校驗(yàn)位，則 P39。⊕ bn239。⊕ b039。 若采用偶校驗(yàn)位，則 P39。⊕ bn2 39。⊕ b039。 P與 B是一起從源部件傳到目標(biāo)部件的，假定 P在目標(biāo)部件接受到的值為 P，則采用異或操作 P*=P39。和 P進(jìn)行下列比較，確定有無(wú)奇偶錯(cuò)： (1)若 P*=1，則表示目標(biāo)部件接受的數(shù)據(jù)有奇數(shù)位錯(cuò)。 計(jì)算機(jī)組成原理 76 在奇偶校驗(yàn)碼中，若兩個(gè)數(shù)據(jù)中有奇數(shù)位不同，則它們相應(yīng)的校驗(yàn)位就不同；若有偶數(shù)位不同，則雖校驗(yàn)位相同，但至少有兩位數(shù)據(jù)位不同。因而只能發(fā)現(xiàn)奇數(shù)位出錯(cuò)，不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)位出錯(cuò)，而且也不能確定發(fā)生錯(cuò)誤的位置，因而不具有糾錯(cuò)能力。它主要用于存儲(chǔ)器中數(shù)據(jù)存取校驗(yàn)。因此這種校驗(yàn)碼檢錯(cuò)能力差，并且沒(méi)有糾錯(cuò)能力。海明校驗(yàn)碼實(shí)質(zhì)上就是一種多重奇偶校驗(yàn)碼。最終進(jìn)行比較時(shí)，按位進(jìn)行異或操作，根據(jù)異或操作的結(jié)果，確定是否發(fā)生了差錯(cuò)。顯然，校驗(yàn)位和故障字的位數(shù)是相同的 計(jì)算機(jī)組成原理 78 1. 校驗(yàn)位位數(shù)的確定 假設(shè)校驗(yàn)位的個(gè)數(shù)為 r。然而錯(cuò)誤也可能發(fā)生在校驗(yàn)位，因此只有 k＝ 2r1r個(gè)信息能用于糾正被傳送數(shù)據(jù)的位數(shù)，也就是說(shuō)要滿(mǎn)足關(guān)系： 2r≥k+r+1 (公式 1) 如要能檢測(cè)與自動(dòng)校正一位錯(cuò)，并發(fā)現(xiàn)兩位錯(cuò)，此時(shí)校驗(yàn)位的位數(shù) r和數(shù)據(jù)位的位數(shù) k是應(yīng)滿(mǎn)足下述關(guān)系： 2r1≥k+r (公式 2) 計(jì)算機(jī)組成原理 79 2．分組方式的確定 數(shù)據(jù)位和校驗(yàn)位是一起被存儲(chǔ)的，通過(guò)將它們中的各位按某種方式排列為一個(gè) n+k的碼字，將該字中每一位的出錯(cuò)位置與故障字的數(shù)值建立關(guān)系，這樣就可通過(guò)故障字的值很快確定是該碼字中的哪一位發(fā)生了錯(cuò)誤，并能很容易地將其取反來(lái)糾正。 （ 1）如果故障字各位全部是 0，則表示沒(méi)有發(fā)生錯(cuò)誤。 （ 3）如果故障字中多位為 1，則表示有一個(gè)數(shù)據(jù)位出錯(cuò)，其在碼字中的出錯(cuò)位置由故障字的數(shù)值來(lái)確定。 為了介紹海明校驗(yàn)碼的原理，以 8位數(shù)據(jù)進(jìn)行檢測(cè)與自動(dòng)校正一位錯(cuò)的代碼為例說(shuō)明。 計(jì)算機(jī)組成原理 80 假若海明碼表示為 M＝ HmHm1…H2H1 ，其最高位號(hào)為 m，最低位號(hào)為 1，則此海明碼的編碼規(guī)律通常是： (1)校驗(yàn)位與數(shù)據(jù)位之和為 m，每個(gè)校驗(yàn)位 Pi在海明碼中被分在位號(hào) 2i1位置，其余各位為數(shù)據(jù)位，并按從低向高逐位依次排列的關(guān)系分配各數(shù)據(jù)位 — 。這樣安排的目的，是希望校驗(yàn)的結(jié)果能正確反映出出錯(cuò)位的位號(hào)。其余為數(shù)據(jù)位 Di，則 H12～ H1有如下排列關(guān)系： D8 D7 D6 D5 P4 D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1 計(jì)算機(jī)組成原理 81 按照前面敘述的規(guī)則解釋上述編碼，將數(shù)據(jù) D和校驗(yàn)位P按照一定的規(guī)律排到一個(gè) 12位的碼字中。根據(jù)第二個(gè)規(guī)則，故障字中有且僅有一位為 1時(shí)，表示校驗(yàn)位中有一位出錯(cuò)，此時(shí)，故障字只可能是 000 00 0100、 1000四種情況，將這四種狀態(tài)分別代表校驗(yàn)位中第 P P PP4位發(fā)生錯(cuò)誤的情況，因此，校驗(yàn)位 P P P P4應(yīng)分別位于碼字的第 000 00 0100、 1000位。因此，數(shù)據(jù)位 D1～ D88應(yīng)分別位于碼字的第001 010 01 011 100 10 101 1100位。如 P1參與對(duì)數(shù)據(jù)位 Dl， D2， D4， D5和 D7的校驗(yàn)， P4參與對(duì) D5 D6 D7 和 D8 的校驗(yàn)等等。當(dāng)任一位數(shù)據(jù)碼發(fā)生變化時(shí)，必將引起 3個(gè)或 4個(gè) Pi值跟著變化。結(jié)合式子()～ ()可得到故障字和海明碼偶校驗(yàn)關(guān)系如下： S1= P1 ⊕ D1⊕ D2⊕ D4⊕ D5⊕ D7 () S2= P2 ⊕ D1⊕ D3⊕ D4⊕ D6⊕ D7 () S3= P3 ⊕ D2⊕ D3⊕ D4⊕ D8 () S4= P4 ⊕ D5⊕ D6⊕ D7⊕ D8 () S5= P5⊕ P4⊕ P3⊕ P2⊕ P1⊕ D8⊕ D7⊕ D6⊕ D5⊕ D4⊕ D3⊕ D2⊕ D1 () 則校驗(yàn)得到的結(jié)果值 S4～ S1能反映 12位海明碼的出錯(cuò)情況。 計(jì)算機(jī)組成原理 84 圖 39是 H＝ 12，數(shù)據(jù)位 k＝ 8，校驗(yàn)位 r=4的海明校驗(yàn)線(xiàn)路，記作 (12， 8)分組碼。循環(huán)冗余校驗(yàn)碼常用于外存儲(chǔ)器的數(shù)據(jù)校驗(yàn)，在計(jì)算機(jī)通信中，也被廣泛采用。 CRC碼可以發(fā)現(xiàn)并糾正信息存儲(chǔ)或傳送過(guò)程中連續(xù)出現(xiàn)的多位錯(cuò)誤，其實(shí)現(xiàn)方法主要是 在 k位信息碼之后拼接 r位校驗(yàn)碼。 因?yàn)?CRC碼的編碼原理復(fù)雜，它是通過(guò)某種數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)建立數(shù)據(jù)和校驗(yàn)位之間的約定關(guān)系，這里僅對(duì)其編碼方式和實(shí)現(xiàn)過(guò)程作簡(jiǎn)單介紹，而不詳細(xì)進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)。 模 2運(yùn)算是指以按位模 2相加為基礎(chǔ)的四則運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)不考慮進(jìn)位和借位。模 2加與模 2減的結(jié)果相同， 即 0177。 1=1， 1177。 1=0。 (2)模 2乘 ―― 按模 2加求部分積之和 . 例如： 1 1 1 0 ) 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0