1-6章數(shù)學分析課件第6章微分中值定理及其應用6--閱讀頁
2024-08-11 14:11本頁面
【正文】 區(qū)間 [a, b](a 0) 上連續(xù) , 在 (a, b) .ln)()()( abfafbf ?? ???證 設 , 顯然 f (x), g(x) 在 [a, b] 上 滿足 xxg ln)( ?柯西中值定理的條件 ,于是存在 , 使得 ),( ba??,1)(lnln)()(??fabafbf ????變形后即得所需的等式 . ),( ba??上可導 , 則存在 , 使得 返回 后頁 前頁 在極限的四則運算中 , 往往遇到分子 , 分母均為無 01.0 型 不 定 式 極 限二、不定式極限 究這類極限 , 這種方法統(tǒng)稱為洛必達法則 . 稱為不定式極限 . 現(xiàn)在我們將用柯西中值定理來研 比較復雜，各種結(jié)果均會發(fā)生 . 我們將這類極限統(tǒng) 窮小量 (無窮大量 ) 的表達式 . 這種表達式的極限 返回 后頁 前頁 定理 滿足：和若函數(shù) gf000( i ) lim ( ) lim ( ) 。 (iii) 。返回 后頁 前頁 167。 2 柯西中值定理和 不定式極限 一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一 定式極限的問題 . 般的中值定理，本節(jié)用它來解決求不 二、不定式極限 返回 后頁 前頁 定理 (柯西中值定理 ) 設函數(shù) , 在區(qū)間 )(xf )(xg],[ ba 上滿足 : (i) f(x) , g(x) 在閉區(qū)間 [a, b] 上連續(xù) 。0)()( 22 ???? xgxf(iv) .)()( bgag ?則在開區(qū)間 內(nèi)必定 (至少 ) 存在一點 , 使得 ),( ba ?一、柯西中值定理 (ii) f(x) , g(x) 在開區(qū)間 (a, b) 上可導 。x x x xf x g x?? ??00( ii ) ( )x U x在 點 的 某 空 心 鄰 域 內(nèi) 兩 者 均 可 導 ，0( ) 。gx? ?且? ?0()( ii i ) li m , , .()xxfx AAgx?? ? ?? ?? 可以為實數(shù)則 00( ) ( )lim lim .( ) ( )x x x xf x f x Ag x g x????????返回 后頁 前頁 證 100. ( ) ,A x U x? ?? ? ?設 為 實 數(shù) 對 于 任 意 的 ，01 ,x x x x??滿 足 不 等 式 的 每 一 個() ,()fx Agx ?? ???? ? 使由柯西中值定理，存在 , 1xx??11( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )f x f x fg x g x g???? ???從而有 11( ) ( ) ( ) , ( 1 )( ) ( ) ( )f x f x fAAg x g x g? ???? ? ? ? ???返回 后頁 前頁 另一方面， 111111111()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ().()( ) ( ) ( ) ( ) ( )()gxf x f x f x f x f x gxfxg x g x g x g x g xfx???? ? ????上式的右邊的第一個因子有界
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