平穩(wěn)時間序列分析-閱讀頁
2025-07-10 06:50本頁面
【正文】 ， ，二、MA模型（一）定義：具有如下結構的模型稱為q階移動平均模型，簡記為MA(q)：2. MA(q)的限制條件：（1），保證了模型的最高階數(shù)為q。2. 中心化的MA(q)模型如果則以上移動平均模型稱為中心化的MA(q)模型：，后面的分析都是針對中心化的模型進行的。（二）MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)當時(有限階)，當時，且q階截尾例如：MA（1）MA（2）模型： 例如：MA（1）MA（2）模型： MA模型的拖尾（證明略）綜上，得出以下結論：第一， 有限階的MA模型一定是平穩(wěn)的（因為均值和方差均為常數(shù)）第二， MA模型q階截尾，拖尾（AR模型是拖尾，p階截尾）：繪制下列MA模型的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)，直觀考察MA模型自相關系數(shù)的截尾性和偏自相關系數(shù)的拖尾性。（三）MA模型的可逆性，（1）與（2）具有相同的自相關圖，經(jīng)計算自相關系數(shù)也相同；模型（3） 和（4）也具有相同的自相關圖，經(jīng)計算系數(shù)也相同。因為將來我們是通過樣本自相關系數(shù)顯示出額特征選擇合適的模型擬合序列的發(fā)展，如果自相關系數(shù)和模型之間不是一一對應關系，就導致序列與模型之間不是一一對應的。可逆的定義可以驗證。MA（q）模型的逆轉(zhuǎn)形式及可逆函數(shù)MA模型可寫作設為MA(q)模型的特征根，即的特征根。任取帶入方程得：，兩邊同時除以得: （2）可見，MA (q)模型移動平均系數(shù)多項式的根是齊次線性差分方程的特征根的倒數(shù)。其中為可逆函數(shù)。MA (3)：q=3總結：AR（p）模型的傳遞形式：是把AR模型寫作無窮階的MA模型。 這就是說，要判斷一個MA模型是否可逆，需解其特征方程，判斷特征根的情況。（2），要求隨機干擾序列為零均值白噪聲序列。2. 中心化的模型如果，則以上自回歸模型稱為中心化的ARMA(p,q)模型：，后面的分析都是針對中心化的模型進行的。成為q階移動平均系數(shù)多項式當q=0時，ARMA(p,q)模型就退化成了AR(p)模型。所以，AR(p) 和MA(q)模型實際上是ARMA(p,q)模型的特例。而ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)也正是AR(p) 和MA(q)模型統(tǒng)計性質(zhì)的有機結合。與分析AR(p)模型平穩(wěn)性完全類似，容易推出ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件是：P階自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外，或者齊次線性差分方程的特征根都在單位圓內(nèi)。：同理，令，與的性質(zhì)完全類似，則ARMA(p,q)模型可寫作。當以及的根都在單位圓外時，ARMA(p,q)模型稱為平穩(wěn)可逆的模型，這是一個由自相關系數(shù)唯一識別的模型。通過待定系數(shù)法（略），得到ARMA(p,q)模型格林函數(shù)的遞推公式為：其中，同理可得到RMA(p,q)模型的逆轉(zhuǎn)形勢：，其中為可逆函數(shù)。ARMA模型的逆轉(zhuǎn)形式就是把ARMA模型寫作無窮階的AR模型（四）ARMA（p，q）模型的統(tǒng)計性質(zhì)：對于一個非中心化的平穩(wěn)可逆的ARMA（p，q）模型：兩邊同時取期望，有 ：擬合ARMA(1,1)模型，并直觀考察該模型自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)，均不截尾，見圖37（p69）綜合考察AR（p）、MA（q）和ARMA（p,q）模型自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質(zhì)，得出以下規(guī)律：模型自相關系數(shù)偏自相關系數(shù)AR（p）拖尾P階截尾MA（q）q階截尾拖尾ARMA（p,q）拖尾拖尾30 / 30
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