三角函數(shù)高考試題精選(含詳細答案)-閱讀頁
2025-07-08 04:03本頁面
【正文】 f（x）=2sinx，則f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依題意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），當(dāng)k=0時，正數(shù)φmin=，故答案為：． 26．（2016?新課標Ⅲ）函數(shù)y=sinx﹣cosx的圖象可由函數(shù)y=sinx+cosx的圖象至少向右平移 個單位長度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），則﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），當(dāng)k=0時，正數(shù)φmin=，故答案為：． 27．（2016?江蘇）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是 8 ．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC為銳角三角形，則cosB＞0，cosC＞0，在①式兩側(cè)同時除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，則tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C為銳角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值為8，另解：由已知條件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，兩邊同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值為8．當(dāng)且僅當(dāng)t=2時取到等號，此時tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互換），此時A，B，C均為銳角． 三．解答題（共3小題）28．（2017?北京）已知函數(shù)f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求證：當(dāng)x∈[﹣，]時，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期為π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣ 29．（2016?山東）設(shè)f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2?﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的圖象；再把得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sinx+﹣1的圖象，∴g（）=2sin+﹣1=． 30．（2016?北京）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[]（k∈Z）． 第20頁（共20頁）
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