高中數(shù)學(xué)：斯蒂芬矩陣教案蘇教版選修-閱讀頁
2025-06-22 23:21本頁面
【正文】 個積才即使平移又是旋轉(zhuǎn)。進一步研究兩個不同中心的旋轉(zhuǎn)，可以發(fā)現(xiàn)下面有意義的事實：一個角的旋轉(zhuǎn)與一個角的旋轉(zhuǎn)的復(fù)合，不管中心是否相同，總是一個角的旋轉(zhuǎn)；但在時，就是一個平移。半轉(zhuǎn)，顧名思義，就是轉(zhuǎn)半周的意思，即把平面上的每個點都繞一個定點按一定的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動180度，這樣的旋轉(zhuǎn)就是一個半轉(zhuǎn)。半轉(zhuǎn)不但具有一般旋轉(zhuǎn)所共有的性質(zhì)，還具有一般旋轉(zhuǎn)所沒有的特殊性質(zhì)。經(jīng)過一個半轉(zhuǎn)，能使這個半轉(zhuǎn)的中心是不動點，以半轉(zhuǎn)中心為圓心的圓是不動圓，過半轉(zhuǎn)中心的直線為不動直線。半轉(zhuǎn)與反射之間有下列關(guān)系：兩個關(guān)于兩條互相垂直的直線的反射的積就是關(guān)于兩直線交點的一個半轉(zhuǎn)；一個半轉(zhuǎn)可以寫成兩個關(guān)于兩條經(jīng)過半轉(zhuǎn)中心而互相垂直的直線的反射的積，這里反射的次序可以任意。三個半轉(zhuǎn)的積是一個半轉(zhuǎn)。13 保距變換反射、平移、旋轉(zhuǎn)都是保距變換。一個圖形經(jīng)過保距變換得到的圖形與原來的圖形全等。兩個保距變換的積仍是保距變換。事實上，（1）作AD的垂直平分線（A與D重合時跳過，下同），得反射，；（2）作的垂直平分線,易知,D在上,得反射。也就是說，一個不是恒等變換的保距變換是一個反射，平移，旋轉(zhuǎn)，平移與其后反射的積，或者旋轉(zhuǎn)與其后反射的積。167。而相似變換是范圍更廣的變換。這個常數(shù)等于1時即為保距變換。相似變換的逆變換仍為相似變換，對應(yīng)的常數(shù)為原來常數(shù)的倒數(shù)。相似變換與保距變換有許多相似的性質(zhì)，但相似變換不一定把線段變成相等的線段。兩個多邊形相似，對應(yīng)角相等對應(yīng)邊成比例。兩個相似變換的乘積是一個相似變換，其相似比為原來兩個相似比的乘積。設(shè)有一個變換，把一個定點C變成這點本身，而把平面內(nèi)的其它點P變成射線CP上的一點，使得，那么這樣的變換叫做以C為中心比為r的位似變換。位似變換將任意兩點的距離等比例放大或縮小，因此位似變換是相似變換的一種特例。兩個位似圖形一定是相似圖形，但反過來，兩個相似圖形卻未必為位似圖形。因此，兩個相似圖形未必有位似變換把其中一個圖形變成另一個圖形。相似變換是一個位似變換與一個保距變換的積，這個結(jié)果刻畫了相似變換與位似變換和保距變換之間的一個重要關(guān)系。167。[例1]擠壓變換，即。這里。因此，變換與矩陣對應(yīng)，逆變換與相應(yīng)的逆矩陣對應(yīng)，逆變換可以用逆矩陣來表示。怎樣用矩陣來表示反射、平移、旋轉(zhuǎn)等保距變換呢？[例3]對x軸的反射，y軸反射，對直線的反射，對直線的反射，對直線的反射，即，為便于記憶，可記為。[例4]一條直線經(jīng)過原點，與x軸所成的夾角為，求關(guān)于這條直線的反射的矩陣。[例5]從O(0,0)到A(a,0)的平移，矩陣為；從O(0,0)到B(0,b)的平移，矩陣為；從O(0,0)到P(a,b) 的平移，矩陣為。[例6]求證：對兩條平行直線反射的積是一個平移。先對直線反射，再對反射，它們的積的矩陣表示為=，表示從O(0,0)到(2(ba),0)的一個平移，方向由直線到直線，平移距離為2|ba|.[例7]以原點為中心，旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的矩陣為；以C(h,k)為中心，旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換可以分解為先從C點O點的平移，再以原點為中心，旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)，最后從O點到C點的平移，因此，這個矩陣是三個變換矩陣的乘積，即： =為便于記憶，可以寫成，再寫成，相應(yīng)的矩陣為。建立坐標系，原點為這兩條直線的交點，一條直線為x軸，另一條記為直線。[例9]位似中心在原點的位似變換，對應(yīng)的矩陣為；位似中心不在原點，而在C(h,k)的位似變換可分解成三個變換的積=。設(shè)這個相似變換的矩陣為，可得三組方程組，解得：，從而，所求相似變換為 ；又這個相似變換的矩陣也可設(shè)為，可得三組方程組，解得：，從而，所求相似變換為 。參考文獻：《代數(shù)矩陣與幾何變換淺說》，呂學(xué)禮，吉林教育出版社?！蹲鴺讼蹬c參數(shù)方程》，伍家德，湖北教育出版社。
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